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Theorem eluzaddi

Description: Membership in a later upper set of integers. (Contributed by Paul Chapman, 22-Nov-2007)

Ref Expression
Hypotheses eluzaddi.1 
|- M e. ZZ
eluzaddi.2 
|- K e. ZZ
Assertion eluzaddi 
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 eluzaddi.1 
 |-  M e. ZZ
2 eluzaddi.2 
 |-  K e. ZZ
3 eluzelz 
 |-  ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
4 zaddcl 
 |-  ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N + K ) e. ZZ )
5 3 2 4 sylancl 
 |-  ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + K ) e. ZZ )
6 1 eluz1i 
 |-  ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) )
7 zre 
 |-  ( N e. ZZ -> N e. RR )
8 1 zrei 
 |-  M e. RR
9 2 zrei 
 |-  K e. RR
10 leadd1 
 |-  ( ( M e. RR /\ N e. RR /\ K e. RR ) -> ( M <_ N <-> ( M + K ) <_ ( N + K ) ) )
11 8 9 10 mp3an13 
 |-  ( N e. RR -> ( M <_ N <-> ( M + K ) <_ ( N + K ) ) )
12 7 11 syl 
 |-  ( N e. ZZ -> ( M <_ N <-> ( M + K ) <_ ( N + K ) ) )
13 12 biimpa 
 |-  ( ( N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ( M + K ) <_ ( N + K ) )
14 6 13 sylbi 
 |-  ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M + K ) <_ ( N + K ) )
15 zaddcl 
 |-  ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M + K ) e. ZZ )
16 1 2 15 mp2an 
 |-  ( M + K ) e. ZZ
17 16 eluz1i 
 |-  ( ( N + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) <-> ( ( N + K ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( N + K ) ) )
18 5 14 17 sylanbrc 
 |-  ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )