Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
simp1 |
|- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> M e. ZZ ) |
2 |
|
eluzelz |
|- ( N e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) -> N e. ZZ ) |
3 |
2
|
3ad2ant3 |
|- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> N e. ZZ ) |
4 |
|
simp2 |
|- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> K e. ZZ ) |
5 |
3 4
|
zsubcld |
|- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( N - K ) e. ZZ ) |
6 |
|
eluzle |
|- ( N e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) -> ( M + K ) <_ N ) |
7 |
6
|
3ad2ant3 |
|- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( M + K ) <_ N ) |
8 |
|
zre |
|- ( M e. ZZ -> M e. RR ) |
9 |
|
zre |
|- ( K e. ZZ -> K e. RR ) |
10 |
|
eluzelre |
|- ( N e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) -> N e. RR ) |
11 |
|
leaddsub |
|- ( ( M e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( M + K ) <_ N <-> M <_ ( N - K ) ) ) |
12 |
8 9 10 11
|
syl3an |
|- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( ( M + K ) <_ N <-> M <_ ( N - K ) ) ) |
13 |
7 12
|
mpbid |
|- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> M <_ ( N - K ) ) |
14 |
|
eluz2 |
|- ( ( N - K ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ ( N - K ) e. ZZ /\ M <_ ( N - K ) ) ) |
15 |
1 5 13 14
|
syl3anbrc |
|- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( N - K ) e. ( ZZ>= ` M ) ) |