Theorem eqsupd

Description: Sufficient condition for an element to be equal to the supremum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015)

	Ref	Expression
Hypotheses	supmo.1	|- ( ph -> R Or A )
	eqsupd.2	|- ( ph -> C e. A )
	eqsupd.3	|- ( ( ph /\ y e. B ) -> -. C R y )
	eqsupd.4	|- ( ( ph /\ ( y e. A /\ y R C ) ) -> E. z e. B y R z )
Assertion	eqsupd	|- ( ph -> sup ( B , A , R ) = C )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supmo.1	|- ( ph -> R Or A )
2		eqsupd.2	|- ( ph -> C e. A )
3		eqsupd.3	|- ( ( ph /\ y e. B ) -> -. C R y )
4		eqsupd.4	|- ( ( ph /\ ( y e. A /\ y R C ) ) -> E. z e. B y R z )
5	3	ralrimiva	|- ( ph -> A. y e. B -. C R y )
6	4	expr	|- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( y R C -> E. z e. B y R z ) )
7	6	ralrimiva	|- ( ph -> A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) )
8	1	eqsup	|- ( ph -> ( ( C e. A /\ A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) -> sup ( B , A , R ) = C ) )
9	2 5 7 8	mp3and	|- ( ph -> sup ( B , A , R ) = C )