Theorem erngmul

Description: Ring addition operation. (Contributed by NM, 10-Jun-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	erngset.h	|- H = ( LHyp ` K )
	erngset.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
	erngset.e	|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
	erngset.d	|- D = ( ( EDRing ` K ) ` W )
	erng.m	|- .x. = ( .r ` D )
Assertion	erngmul	|- ( ( ( K e. X /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) ) -> ( U .x. V ) = ( U o. V ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		erngset.h	|- H = ( LHyp ` K )
2		erngset.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
3		erngset.e	|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
4		erngset.d	|- D = ( ( EDRing ` K ) ` W )
5		erng.m	|- .x. = ( .r ` D )
6	1 2 3 4 5	erngfmul	|- ( ( K e. X /\ W e. H ) -> .x. = ( s e. E , t e. E |-> ( s o. t ) ) )
7	6	oveqd	|- ( ( K e. X /\ W e. H ) -> ( U .x. V ) = ( U ( s e. E , t e. E |-> ( s o. t ) ) V ) )
8		coexg	|- ( ( U e. E /\ V e. E ) -> ( U o. V ) e. _V )
9		coeq1	|- ( s = U -> ( s o. t ) = ( U o. t ) )
10		coeq2	|- ( t = V -> ( U o. t ) = ( U o. V ) )
11		eqid	|- ( s e. E , t e. E |-> ( s o. t ) ) = ( s e. E , t e. E |-> ( s o. t ) )
12	9 10 11	ovmpog	|- ( ( U e. E /\ V e. E /\ ( U o. V ) e. _V ) -> ( U ( s e. E , t e. E |-> ( s o. t ) ) V ) = ( U o. V ) )
13	8 12	mpd3an3	|- ( ( U e. E /\ V e. E ) -> ( U ( s e. E , t e. E |-> ( s o. t ) ) V ) = ( U o. V ) )
14	7 13	sylan9eq	|- ( ( ( K e. X /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) ) -> ( U .x. V ) = ( U o. V ) )