Metamath Proof Explorer

Theorem erovlem

Description: Lemma for erov and eroprf . (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010) (Revised by Mario Carneiro, 30-Dec-2014)

Ref Expression
Hypotheses eropr.1 
|- J = ( A /. R )
eropr.2 
|- K = ( B /. S )
eropr.3 
|- ( ph -> T e. Z )
eropr.4 
|- ( ph -> R Er U )
eropr.5 
|- ( ph -> S Er V )
eropr.6 
|- ( ph -> T Er W )
eropr.7 
|- ( ph -> A C_ U )
eropr.8 
|- ( ph -> B C_ V )
eropr.9 
|- ( ph -> C C_ W )
eropr.10 
|- ( ph -> .+ : ( A X. B ) --> C )
eropr.11 
|- ( ( ph /\ ( ( r e. A /\ s e. A ) /\ ( t e. B /\ u e. B ) ) ) -> ( ( r R s /\ t S u ) -> ( r .+ t ) T ( s .+ u ) ) )
eropr.12 
|- .+^ = { <. <. x , y >. , z >. | E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) }
Assertion erovlem 
|- ( ph -> .+^ = ( x e. J , y e. K |-> ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 eropr.1 
 |-  J = ( A /. R )
2 eropr.2 
 |-  K = ( B /. S )
3 eropr.3 
 |-  ( ph -> T e. Z )
4 eropr.4 
 |-  ( ph -> R Er U )
5 eropr.5 
 |-  ( ph -> S Er V )
6 eropr.6 
 |-  ( ph -> T Er W )
7 eropr.7 
 |-  ( ph -> A C_ U )
8 eropr.8 
 |-  ( ph -> B C_ V )
9 eropr.9 
 |-  ( ph -> C C_ W )
10 eropr.10 
 |-  ( ph -> .+ : ( A X. B ) --> C )
11 eropr.11 
 |-  ( ( ph /\ ( ( r e. A /\ s e. A ) /\ ( t e. B /\ u e. B ) ) ) -> ( ( r R s /\ t S u ) -> ( r .+ t ) T ( s .+ u ) ) )
12 eropr.12 
 |-  .+^ = { <. <. x , y >. , z >. | E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) }
13 simpl 
 |-  ( ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) -> ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) )
14 13 reximi 
 |-  ( E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) -> E. q e. B ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) )
15 14 reximi 
 |-  ( E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) -> E. p e. A E. q e. B ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) )
16 1 eleq2i 
 |-  ( x e. J <-> x e. ( A /. R ) )
17 vex 
 |-  x e. _V
18 17 elqs 
 |-  ( x e. ( A /. R ) <-> E. p e. A x = [ p ] R )
19 16 18 bitri 
 |-  ( x e. J <-> E. p e. A x = [ p ] R )
20 2 eleq2i 
 |-  ( y e. K <-> y e. ( B /. S ) )
21 vex 
 |-  y e. _V
22 21 elqs 
 |-  ( y e. ( B /. S ) <-> E. q e. B y = [ q ] S )
23 20 22 bitri 
 |-  ( y e. K <-> E. q e. B y = [ q ] S )
24 19 23 anbi12i 
 |-  ( ( x e. J /\ y e. K ) <-> ( E. p e. A x = [ p ] R /\ E. q e. B y = [ q ] S ) )
25 reeanv 
 |-  ( E. p e. A E. q e. B ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) <-> ( E. p e. A x = [ p ] R /\ E. q e. B y = [ q ] S ) )
26 24 25 bitr4i 
 |-  ( ( x e. J /\ y e. K ) <-> E. p e. A E. q e. B ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) )
27 15 26 sylibr 
 |-  ( E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) -> ( x e. J /\ y e. K ) )
28 27 pm4.71ri 
 |-  ( E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) <-> ( ( x e. J /\ y e. K ) /\ E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) )
29 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 eroveu 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> E! z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) )
30 iota1 
 |-  ( E! z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) -> ( E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) <-> ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) = z ) )
31 29 30 syl 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) <-> ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) = z ) )
32 eqcom 
 |-  ( ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) = z <-> z = ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) )
33 31 32 bitrdi 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) <-> z = ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) ) )
34 33 pm5.32da 
 |-  ( ph -> ( ( ( x e. J /\ y e. K ) /\ E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) <-> ( ( x e. J /\ y e. K ) /\ z = ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) ) ) )
35 28 34 syl5bb 
 |-  ( ph -> ( E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) <-> ( ( x e. J /\ y e. K ) /\ z = ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) ) ) )
36 35 oprabbidv 
 |-  ( ph -> { <. <. x , y >. , z >. | E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) } = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. J /\ y e. K ) /\ z = ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) ) } )
37 df-mpo 
 |-  ( x e. J , y e. K |-> ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) ) = { <. <. x , y >. , w >. | ( ( x e. J /\ y e. K ) /\ w = ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) ) }
38 nfv 
 |-  F/ w ( ( x e. J /\ y e. K ) /\ z = ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) )
39 nfv 
 |-  F/ z ( x e. J /\ y e. K )
40 nfiota1 
 |-  F/_ z ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) )
41 40 nfeq2 
 |-  F/ z w = ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) )
42 39 41 nfan 
 |-  F/ z ( ( x e. J /\ y e. K ) /\ w = ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) )
43 eqeq1 
 |-  ( z = w -> ( z = ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) <-> w = ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) ) )
44 43 anbi2d 
 |-  ( z = w -> ( ( ( x e. J /\ y e. K ) /\ z = ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) ) <-> ( ( x e. J /\ y e. K ) /\ w = ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) ) ) )
45 38 42 44 cbvoprab3 
 |-  { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. J /\ y e. K ) /\ z = ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) ) } = { <. <. x , y >. , w >. | ( ( x e. J /\ y e. K ) /\ w = ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) ) }
46 37 45 eqtr4i 
 |-  ( x e. J , y e. K |-> ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) ) = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. J /\ y e. K ) /\ z = ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) ) }
47 36 12 46 3eqtr4g 
 |-  ( ph -> .+^ = ( x e. J , y e. K |-> ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) ) )