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Theorem etransclem34

Description: The N -th derivative of F is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020)

Ref Expression
Hypotheses etransclem34.s 
|- ( ph -> S e. { RR , CC } )
etransclem34.a 
|- ( ph -> X e. ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t S ) )
etransclem34.p 
|- ( ph -> P e. NN )
etransclem34.m 
|- ( ph -> M e. NN0 )
etransclem34.f 
|- F = ( x e. X |-> ( ( x ^ ( P - 1 ) ) x. prod_ k e. ( 1 ... M ) ( ( x - k ) ^ P ) ) )
etransclem34.n 
|- ( ph -> N e. NN0 )
etransclem34.h 
|- H = ( k e. ( 0 ... M ) |-> ( x e. X |-> ( ( x - k ) ^ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) )
etransclem34.c 
|- C = ( n e. NN0 |-> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( c ` k ) = n } )
Assertion etransclem34 
|- ( ph -> ( ( S Dn F ) ` N ) e. ( X -cn-> CC ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 etransclem34.s 
 |-  ( ph -> S e. { RR , CC } )
2 etransclem34.a 
 |-  ( ph -> X e. ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t S ) )
3 etransclem34.p 
 |-  ( ph -> P e. NN )
4 etransclem34.m 
 |-  ( ph -> M e. NN0 )
5 etransclem34.f 
 |-  F = ( x e. X |-> ( ( x ^ ( P - 1 ) ) x. prod_ k e. ( 1 ... M ) ( ( x - k ) ^ P ) ) )
6 etransclem34.n 
 |-  ( ph -> N e. NN0 )
7 etransclem34.h 
 |-  H = ( k e. ( 0 ... M ) |-> ( x e. X |-> ( ( x - k ) ^ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) )
8 etransclem34.c 
 |-  C = ( n e. NN0 |-> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( c ` k ) = n } )
9 1 2 3 4 5 6 7 8 etransclem30 
 |-  ( ph -> ( ( S Dn F ) ` N ) = ( x e. X |-> sum_ c e. ( C ` N ) ( ( ( ! ` N ) / prod_ k e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` k ) ) ) x. prod_ k e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` k ) ) ` ( c ` k ) ) ` x ) ) ) )
10 1 2 dvdmsscn 
 |-  ( ph -> X C_ CC )
11 8 6 etransclem16 
 |-  ( ph -> ( C ` N ) e. Fin )
12 10 adantr 
 |-  ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) -> X C_ CC )
13 6 faccld 
 |-  ( ph -> ( ! ` N ) e. NN )
14 13 nncnd 
 |-  ( ph -> ( ! ` N ) e. CC )
15 14 adantr 
 |-  ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) -> ( ! ` N ) e. CC )
16 fzfid 
 |-  ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) -> ( 0 ... M ) e. Fin )
17 fzssnn0 
 |-  ( 0 ... N ) C_ NN0
18 ssrab2 
 |-  { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( c ` k ) = N } C_ ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) )
19 simpr 
 |-  ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) -> c e. ( C ` N ) )
20 8 6 etransclem12 
 |-  ( ph -> ( C ` N ) = { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( c ` k ) = N } )
21 20 adantr 
 |-  ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) -> ( C ` N ) = { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( c ` k ) = N } )
22 19 21 eleqtrd 
 |-  ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) -> c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( c ` k ) = N } )
23 18 22 sselid 
 |-  ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) -> c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) )
24 elmapi 
 |-  ( c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) -> c : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
25 23 24 syl 
 |-  ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) -> c : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
26 25 ffvelrnda 
 |-  ( ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( c ` k ) e. ( 0 ... N ) )
27 17 26 sselid 
 |-  ( ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( c ` k ) e. NN0 )
28 27 faccld 
 |-  ( ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ! ` ( c ` k ) ) e. NN )
29 28 nncnd 
 |-  ( ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ! ` ( c ` k ) ) e. CC )
30 16 29 fprodcl 
 |-  ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) -> prod_ k e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` k ) ) e. CC )
31 28 nnne0d 
 |-  ( ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ! ` ( c ` k ) ) =/= 0 )
32 16 29 31 fprodn0 
 |-  ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) -> prod_ k e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` k ) ) =/= 0 )
33 15 30 32 divcld 
 |-  ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) -> ( ( ! ` N ) / prod_ k e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` k ) ) ) e. CC )
34 ssid 
 |-  CC C_ CC
35 34 a1i 
 |-  ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) -> CC C_ CC )
36 12 33 35 constcncfg 
 |-  ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) -> ( x e. X |-> ( ( ! ` N ) / prod_ k e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` k ) ) ) ) e. ( X -cn-> CC ) )
37 1 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> S e. { RR , CC } )
38 2 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> X e. ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t S ) )
39 3 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> P e. NN )
40 etransclem5 
 |-  ( k e. ( 0 ... M ) |-> ( x e. X |-> ( ( x - k ) ^ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) ) = ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( y e. X |-> ( ( y - j ) ^ if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) )
41 7 40 eqtri 
 |-  H = ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( y e. X |-> ( ( y - j ) ^ if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) )
42 simpr 
 |-  ( ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> k e. ( 0 ... M ) )
43 37 38 39 41 42 27 etransclem20 
 |-  ( ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( H ` k ) ) ` ( c ` k ) ) : X --> CC )
44 43 3adant2 
 |-  ( ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) /\ x e. X /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( H ` k ) ) ` ( c ` k ) ) : X --> CC )
45 simp2 
 |-  ( ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) /\ x e. X /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> x e. X )
46 44 45 ffvelrnd 
 |-  ( ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) /\ x e. X /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( ( S Dn ( H ` k ) ) ` ( c ` k ) ) ` x ) e. CC )
47 43 feqmptd 
 |-  ( ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( H ` k ) ) ` ( c ` k ) ) = ( x e. X |-> ( ( ( S Dn ( H ` k ) ) ` ( c ` k ) ) ` x ) ) )
48 37 38 39 41 42 27 etransclem22 
 |-  ( ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( H ` k ) ) ` ( c ` k ) ) e. ( X -cn-> CC ) )
49 47 48 eqeltrrd 
 |-  ( ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( x e. X |-> ( ( ( S Dn ( H ` k ) ) ` ( c ` k ) ) ` x ) ) e. ( X -cn-> CC ) )
50 12 16 46 49 fprodcncf 
 |-  ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) -> ( x e. X |-> prod_ k e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` k ) ) ` ( c ` k ) ) ` x ) ) e. ( X -cn-> CC ) )
51 36 50 mulcncf 
 |-  ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) -> ( x e. X |-> ( ( ( ! ` N ) / prod_ k e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` k ) ) ) x. prod_ k e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` k ) ) ` ( c ` k ) ) ` x ) ) ) e. ( X -cn-> CC ) )
52 10 11 51 fsumcncf 
 |-  ( ph -> ( x e. X |-> sum_ c e. ( C ` N ) ( ( ( ! ` N ) / prod_ k e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` k ) ) ) x. prod_ k e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` k ) ) ` ( c ` k ) ) ` x ) ) ) e. ( X -cn-> CC ) )
53 9 52 eqeltrd 
 |-  ( ph -> ( ( S Dn F ) ` N ) e. ( X -cn-> CC ) )