Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
f1oi |
|- ( _I |` ( A \ { X , Y } ) ) : ( A \ { X , Y } ) -1-1-onto-> ( A \ { X , Y } ) |
2 |
|
f1oprswap |
|- ( ( X e. A /\ Y e. A ) -> { <. X , Y >. , <. Y , X >. } : { X , Y } -1-1-onto-> { X , Y } ) |
3 |
|
disjdifr |
|- ( ( A \ { X , Y } ) i^i { X , Y } ) = (/) |
4 |
|
f1oun |
|- ( ( ( ( _I |` ( A \ { X , Y } ) ) : ( A \ { X , Y } ) -1-1-onto-> ( A \ { X , Y } ) /\ { <. X , Y >. , <. Y , X >. } : { X , Y } -1-1-onto-> { X , Y } ) /\ ( ( ( A \ { X , Y } ) i^i { X , Y } ) = (/) /\ ( ( A \ { X , Y } ) i^i { X , Y } ) = (/) ) ) -> ( ( _I |` ( A \ { X , Y } ) ) u. { <. X , Y >. , <. Y , X >. } ) : ( ( A \ { X , Y } ) u. { X , Y } ) -1-1-onto-> ( ( A \ { X , Y } ) u. { X , Y } ) ) |
5 |
3 3 4
|
mpanr12 |
|- ( ( ( _I |` ( A \ { X , Y } ) ) : ( A \ { X , Y } ) -1-1-onto-> ( A \ { X , Y } ) /\ { <. X , Y >. , <. Y , X >. } : { X , Y } -1-1-onto-> { X , Y } ) -> ( ( _I |` ( A \ { X , Y } ) ) u. { <. X , Y >. , <. Y , X >. } ) : ( ( A \ { X , Y } ) u. { X , Y } ) -1-1-onto-> ( ( A \ { X , Y } ) u. { X , Y } ) ) |
6 |
1 2 5
|
sylancr |
|- ( ( X e. A /\ Y e. A ) -> ( ( _I |` ( A \ { X , Y } ) ) u. { <. X , Y >. , <. Y , X >. } ) : ( ( A \ { X , Y } ) u. { X , Y } ) -1-1-onto-> ( ( A \ { X , Y } ) u. { X , Y } ) ) |
7 |
|
prssi |
|- ( ( X e. A /\ Y e. A ) -> { X , Y } C_ A ) |
8 |
|
undifr |
|- ( { X , Y } C_ A <-> ( ( A \ { X , Y } ) u. { X , Y } ) = A ) |
9 |
7 8
|
sylib |
|- ( ( X e. A /\ Y e. A ) -> ( ( A \ { X , Y } ) u. { X , Y } ) = A ) |
10 |
|
f1oeq23 |
|- ( ( ( ( A \ { X , Y } ) u. { X , Y } ) = A /\ ( ( A \ { X , Y } ) u. { X , Y } ) = A ) -> ( ( ( _I |` ( A \ { X , Y } ) ) u. { <. X , Y >. , <. Y , X >. } ) : ( ( A \ { X , Y } ) u. { X , Y } ) -1-1-onto-> ( ( A \ { X , Y } ) u. { X , Y } ) <-> ( ( _I |` ( A \ { X , Y } ) ) u. { <. X , Y >. , <. Y , X >. } ) : A -1-1-onto-> A ) ) |
11 |
9 9 10
|
syl2anc |
|- ( ( X e. A /\ Y e. A ) -> ( ( ( _I |` ( A \ { X , Y } ) ) u. { <. X , Y >. , <. Y , X >. } ) : ( ( A \ { X , Y } ) u. { X , Y } ) -1-1-onto-> ( ( A \ { X , Y } ) u. { X , Y } ) <-> ( ( _I |` ( A \ { X , Y } ) ) u. { <. X , Y >. , <. Y , X >. } ) : A -1-1-onto-> A ) ) |
12 |
6 11
|
mpbid |
|- ( ( X e. A /\ Y e. A ) -> ( ( _I |` ( A \ { X , Y } ) ) u. { <. X , Y >. , <. Y , X >. } ) : A -1-1-onto-> A ) |
13 |
|
f1oco |
|- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ ( ( _I |` ( A \ { X , Y } ) ) u. { <. X , Y >. , <. Y , X >. } ) : A -1-1-onto-> A ) -> ( F o. ( ( _I |` ( A \ { X , Y } ) ) u. { <. X , Y >. , <. Y , X >. } ) ) : A -1-1-onto-> B ) |
14 |
12 13
|
sylan2 |
|- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. A /\ Y e. A ) ) -> ( F o. ( ( _I |` ( A \ { X , Y } ) ) u. { <. X , Y >. , <. Y , X >. } ) ) : A -1-1-onto-> B ) |
15 |
14
|
3impb |
|- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ X e. A /\ Y e. A ) -> ( F o. ( ( _I |` ( A \ { X , Y } ) ) u. { <. X , Y >. , <. Y , X >. } ) ) : A -1-1-onto-> B ) |
16 |
|
f1ofn |
|- ( F : A -1-1-onto-> B -> F Fn A ) |
17 |
|
coundi |
|- ( F o. ( ( _I |` ( A \ { X , Y } ) ) u. { <. X , Y >. , <. Y , X >. } ) ) = ( ( F o. ( _I |` ( A \ { X , Y } ) ) ) u. ( F o. { <. X , Y >. , <. Y , X >. } ) ) |
18 |
|
fcoconst |
|- ( ( F Fn A /\ Y e. A ) -> ( F o. ( { X } X. { Y } ) ) = ( { X } X. { ( F ` Y ) } ) ) |
19 |
18
|
3adant2 |
|- ( ( F Fn A /\ X e. A /\ Y e. A ) -> ( F o. ( { X } X. { Y } ) ) = ( { X } X. { ( F ` Y ) } ) ) |
20 |
|
xpsng |
|- ( ( X e. A /\ Y e. A ) -> ( { X } X. { Y } ) = { <. X , Y >. } ) |
21 |
20
|
coeq2d |
|- ( ( X e. A /\ Y e. A ) -> ( F o. ( { X } X. { Y } ) ) = ( F o. { <. X , Y >. } ) ) |
22 |
21
|
3adant1 |
|- ( ( F Fn A /\ X e. A /\ Y e. A ) -> ( F o. ( { X } X. { Y } ) ) = ( F o. { <. X , Y >. } ) ) |
23 |
|
fvex |
|- ( F ` Y ) e. _V |
24 |
|
xpsng |
|- ( ( X e. A /\ ( F ` Y ) e. _V ) -> ( { X } X. { ( F ` Y ) } ) = { <. X , ( F ` Y ) >. } ) |
25 |
23 24
|
mpan2 |
|- ( X e. A -> ( { X } X. { ( F ` Y ) } ) = { <. X , ( F ` Y ) >. } ) |
26 |
25
|
3ad2ant2 |
|- ( ( F Fn A /\ X e. A /\ Y e. A ) -> ( { X } X. { ( F ` Y ) } ) = { <. X , ( F ` Y ) >. } ) |
27 |
19 22 26
|
3eqtr3d |
|- ( ( F Fn A /\ X e. A /\ Y e. A ) -> ( F o. { <. X , Y >. } ) = { <. X , ( F ` Y ) >. } ) |
28 |
|
fcoconst |
|- ( ( F Fn A /\ X e. A ) -> ( F o. ( { Y } X. { X } ) ) = ( { Y } X. { ( F ` X ) } ) ) |
29 |
28
|
3adant3 |
|- ( ( F Fn A /\ X e. A /\ Y e. A ) -> ( F o. ( { Y } X. { X } ) ) = ( { Y } X. { ( F ` X ) } ) ) |
30 |
|
xpsng |
|- ( ( Y e. A /\ X e. A ) -> ( { Y } X. { X } ) = { <. Y , X >. } ) |
31 |
30
|
coeq2d |
|- ( ( Y e. A /\ X e. A ) -> ( F o. ( { Y } X. { X } ) ) = ( F o. { <. Y , X >. } ) ) |
32 |
31
|
ancoms |
|- ( ( X e. A /\ Y e. A ) -> ( F o. ( { Y } X. { X } ) ) = ( F o. { <. Y , X >. } ) ) |
33 |
32
|
3adant1 |
|- ( ( F Fn A /\ X e. A /\ Y e. A ) -> ( F o. ( { Y } X. { X } ) ) = ( F o. { <. Y , X >. } ) ) |
34 |
|
fvex |
|- ( F ` X ) e. _V |
35 |
|
xpsng |
|- ( ( Y e. A /\ ( F ` X ) e. _V ) -> ( { Y } X. { ( F ` X ) } ) = { <. Y , ( F ` X ) >. } ) |
36 |
34 35
|
mpan2 |
|- ( Y e. A -> ( { Y } X. { ( F ` X ) } ) = { <. Y , ( F ` X ) >. } ) |
37 |
36
|
3ad2ant3 |
|- ( ( F Fn A /\ X e. A /\ Y e. A ) -> ( { Y } X. { ( F ` X ) } ) = { <. Y , ( F ` X ) >. } ) |
38 |
29 33 37
|
3eqtr3d |
|- ( ( F Fn A /\ X e. A /\ Y e. A ) -> ( F o. { <. Y , X >. } ) = { <. Y , ( F ` X ) >. } ) |
39 |
27 38
|
uneq12d |
|- ( ( F Fn A /\ X e. A /\ Y e. A ) -> ( ( F o. { <. X , Y >. } ) u. ( F o. { <. Y , X >. } ) ) = ( { <. X , ( F ` Y ) >. } u. { <. Y , ( F ` X ) >. } ) ) |
40 |
|
df-pr |
|- { <. X , Y >. , <. Y , X >. } = ( { <. X , Y >. } u. { <. Y , X >. } ) |
41 |
40
|
coeq2i |
|- ( F o. { <. X , Y >. , <. Y , X >. } ) = ( F o. ( { <. X , Y >. } u. { <. Y , X >. } ) ) |
42 |
|
coundi |
|- ( F o. ( { <. X , Y >. } u. { <. Y , X >. } ) ) = ( ( F o. { <. X , Y >. } ) u. ( F o. { <. Y , X >. } ) ) |
43 |
41 42
|
eqtri |
|- ( F o. { <. X , Y >. , <. Y , X >. } ) = ( ( F o. { <. X , Y >. } ) u. ( F o. { <. Y , X >. } ) ) |
44 |
|
df-pr |
|- { <. X , ( F ` Y ) >. , <. Y , ( F ` X ) >. } = ( { <. X , ( F ` Y ) >. } u. { <. Y , ( F ` X ) >. } ) |
45 |
39 43 44
|
3eqtr4g |
|- ( ( F Fn A /\ X e. A /\ Y e. A ) -> ( F o. { <. X , Y >. , <. Y , X >. } ) = { <. X , ( F ` Y ) >. , <. Y , ( F ` X ) >. } ) |
46 |
45
|
uneq2d |
|- ( ( F Fn A /\ X e. A /\ Y e. A ) -> ( ( F o. ( _I |` ( A \ { X , Y } ) ) ) u. ( F o. { <. X , Y >. , <. Y , X >. } ) ) = ( ( F o. ( _I |` ( A \ { X , Y } ) ) ) u. { <. X , ( F ` Y ) >. , <. Y , ( F ` X ) >. } ) ) |
47 |
17 46
|
eqtrid |
|- ( ( F Fn A /\ X e. A /\ Y e. A ) -> ( F o. ( ( _I |` ( A \ { X , Y } ) ) u. { <. X , Y >. , <. Y , X >. } ) ) = ( ( F o. ( _I |` ( A \ { X , Y } ) ) ) u. { <. X , ( F ` Y ) >. , <. Y , ( F ` X ) >. } ) ) |
48 |
|
coires1 |
|- ( F o. ( _I |` ( A \ { X , Y } ) ) ) = ( F |` ( A \ { X , Y } ) ) |
49 |
48
|
uneq1i |
|- ( ( F o. ( _I |` ( A \ { X , Y } ) ) ) u. { <. X , ( F ` Y ) >. , <. Y , ( F ` X ) >. } ) = ( ( F |` ( A \ { X , Y } ) ) u. { <. X , ( F ` Y ) >. , <. Y , ( F ` X ) >. } ) |
50 |
47 49
|
eqtrdi |
|- ( ( F Fn A /\ X e. A /\ Y e. A ) -> ( F o. ( ( _I |` ( A \ { X , Y } ) ) u. { <. X , Y >. , <. Y , X >. } ) ) = ( ( F |` ( A \ { X , Y } ) ) u. { <. X , ( F ` Y ) >. , <. Y , ( F ` X ) >. } ) ) |
51 |
16 50
|
syl3an1 |
|- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ X e. A /\ Y e. A ) -> ( F o. ( ( _I |` ( A \ { X , Y } ) ) u. { <. X , Y >. , <. Y , X >. } ) ) = ( ( F |` ( A \ { X , Y } ) ) u. { <. X , ( F ` Y ) >. , <. Y , ( F ` X ) >. } ) ) |
52 |
51
|
f1oeq1d |
|- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ X e. A /\ Y e. A ) -> ( ( F o. ( ( _I |` ( A \ { X , Y } ) ) u. { <. X , Y >. , <. Y , X >. } ) ) : A -1-1-onto-> B <-> ( ( F |` ( A \ { X , Y } ) ) u. { <. X , ( F ` Y ) >. , <. Y , ( F ` X ) >. } ) : A -1-1-onto-> B ) ) |
53 |
15 52
|
mpbid |
|- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ X e. A /\ Y e. A ) -> ( ( F |` ( A \ { X , Y } ) ) u. { <. X , ( F ` Y ) >. , <. Y , ( F ` X ) >. } ) : A -1-1-onto-> B ) |