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Theorem f1omvdconj

Description: Conjugation of a permutation takes the image of the moved subclass. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015)

Ref Expression
Assertion f1omvdconj 
|- ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) -> dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) = ( G " dom ( F \ _I ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 difss 
 |-  ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) C_ ( ( G o. F ) o. `' G )
2 dmss 
 |-  ( ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) C_ ( ( G o. F ) o. `' G ) -> dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) C_ dom ( ( G o. F ) o. `' G ) )
3 1 2 ax-mp 
 |-  dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) C_ dom ( ( G o. F ) o. `' G )
4 dmcoss 
 |-  dom ( ( G o. F ) o. `' G ) C_ dom `' G
5 3 4 sstri 
 |-  dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) C_ dom `' G
6 f1ocnv 
 |-  ( G : A -1-1-onto-> A -> `' G : A -1-1-onto-> A )
7 6 adantl 
 |-  ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) -> `' G : A -1-1-onto-> A )
8 f1odm 
 |-  ( `' G : A -1-1-onto-> A -> dom `' G = A )
9 7 8 syl 
 |-  ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) -> dom `' G = A )
10 5 9 sseqtrid 
 |-  ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) -> dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) C_ A )
11 10 sselda 
 |-  ( ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ x e. dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) ) -> x e. A )
12 imassrn 
 |-  ( G " dom ( F \ _I ) ) C_ ran G
13 f1of 
 |-  ( G : A -1-1-onto-> A -> G : A --> A )
14 13 adantl 
 |-  ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) -> G : A --> A )
15 14 frnd 
 |-  ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) -> ran G C_ A )
16 12 15 sstrid 
 |-  ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) -> ( G " dom ( F \ _I ) ) C_ A )
17 16 sselda 
 |-  ( ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( G " dom ( F \ _I ) ) ) -> x e. A )
18 simpl 
 |-  ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) -> F : A --> A )
19 fco 
 |-  ( ( G : A --> A /\ F : A --> A ) -> ( G o. F ) : A --> A )
20 14 18 19 syl2anc 
 |-  ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) -> ( G o. F ) : A --> A )
21 f1of 
 |-  ( `' G : A -1-1-onto-> A -> `' G : A --> A )
22 7 21 syl 
 |-  ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) -> `' G : A --> A )
23 fco 
 |-  ( ( ( G o. F ) : A --> A /\ `' G : A --> A ) -> ( ( G o. F ) o. `' G ) : A --> A )
24 20 22 23 syl2anc 
 |-  ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) -> ( ( G o. F ) o. `' G ) : A --> A )
25 24 ffnd 
 |-  ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) -> ( ( G o. F ) o. `' G ) Fn A )
26 fnelnfp 
 |-  ( ( ( ( G o. F ) o. `' G ) Fn A /\ x e. A ) -> ( x e. dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) <-> ( ( ( G o. F ) o. `' G ) ` x ) =/= x ) )
27 25 26 sylan 
 |-  ( ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ x e. A ) -> ( x e. dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) <-> ( ( ( G o. F ) o. `' G ) ` x ) =/= x ) )
28 f1ofn 
 |-  ( `' G : A -1-1-onto-> A -> `' G Fn A )
29 7 28 syl 
 |-  ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) -> `' G Fn A )
30 fvco2 
 |-  ( ( `' G Fn A /\ x e. A ) -> ( ( ( G o. F ) o. `' G ) ` x ) = ( ( G o. F ) ` ( `' G ` x ) ) )
31 29 30 sylan 
 |-  ( ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ x e. A ) -> ( ( ( G o. F ) o. `' G ) ` x ) = ( ( G o. F ) ` ( `' G ` x ) ) )
32 ffn 
 |-  ( F : A --> A -> F Fn A )
33 32 ad2antrr 
 |-  ( ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ x e. A ) -> F Fn A )
34 ffvelrn 
 |-  ( ( `' G : A --> A /\ x e. A ) -> ( `' G ` x ) e. A )
35 22 34 sylan 
 |-  ( ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ x e. A ) -> ( `' G ` x ) e. A )
36 fvco2 
 |-  ( ( F Fn A /\ ( `' G ` x ) e. A ) -> ( ( G o. F ) ` ( `' G ` x ) ) = ( G ` ( F ` ( `' G ` x ) ) ) )
37 33 35 36 syl2anc 
 |-  ( ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ x e. A ) -> ( ( G o. F ) ` ( `' G ` x ) ) = ( G ` ( F ` ( `' G ` x ) ) ) )
38 31 37 eqtrd 
 |-  ( ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ x e. A ) -> ( ( ( G o. F ) o. `' G ) ` x ) = ( G ` ( F ` ( `' G ` x ) ) ) )
39 38 eqeq1d 
 |-  ( ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ x e. A ) -> ( ( ( ( G o. F ) o. `' G ) ` x ) = x <-> ( G ` ( F ` ( `' G ` x ) ) ) = x ) )
40 simplr 
 |-  ( ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ x e. A ) -> G : A -1-1-onto-> A )
41 simpll 
 |-  ( ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ x e. A ) -> F : A --> A )
42 ffvelrn 
 |-  ( ( F : A --> A /\ ( `' G ` x ) e. A ) -> ( F ` ( `' G ` x ) ) e. A )
43 41 35 42 syl2anc 
 |-  ( ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ x e. A ) -> ( F ` ( `' G ` x ) ) e. A )
44 simpr 
 |-  ( ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ x e. A ) -> x e. A )
45 f1ocnvfvb 
 |-  ( ( G : A -1-1-onto-> A /\ ( F ` ( `' G ` x ) ) e. A /\ x e. A ) -> ( ( G ` ( F ` ( `' G ` x ) ) ) = x <-> ( `' G ` x ) = ( F ` ( `' G ` x ) ) ) )
46 40 43 44 45 syl3anc 
 |-  ( ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ x e. A ) -> ( ( G ` ( F ` ( `' G ` x ) ) ) = x <-> ( `' G ` x ) = ( F ` ( `' G ` x ) ) ) )
47 39 46 bitrd 
 |-  ( ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ x e. A ) -> ( ( ( ( G o. F ) o. `' G ) ` x ) = x <-> ( `' G ` x ) = ( F ` ( `' G ` x ) ) ) )
48 47 necon3bid 
 |-  ( ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ x e. A ) -> ( ( ( ( G o. F ) o. `' G ) ` x ) =/= x <-> ( `' G ` x ) =/= ( F ` ( `' G ` x ) ) ) )
49 necom 
 |-  ( ( `' G ` x ) =/= ( F ` ( `' G ` x ) ) <-> ( F ` ( `' G ` x ) ) =/= ( `' G ` x ) )
50 f1of1 
 |-  ( G : A -1-1-onto-> A -> G : A -1-1-> A )
51 50 ad2antlr 
 |-  ( ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ x e. A ) -> G : A -1-1-> A )
52 difss 
 |-  ( F \ _I ) C_ F
53 dmss 
 |-  ( ( F \ _I ) C_ F -> dom ( F \ _I ) C_ dom F )
54 52 53 ax-mp 
 |-  dom ( F \ _I ) C_ dom F
55 fdm 
 |-  ( F : A --> A -> dom F = A )
56 54 55 sseqtrid 
 |-  ( F : A --> A -> dom ( F \ _I ) C_ A )
57 56 ad2antrr 
 |-  ( ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ x e. A ) -> dom ( F \ _I ) C_ A )
58 f1elima 
 |-  ( ( G : A -1-1-> A /\ ( `' G ` x ) e. A /\ dom ( F \ _I ) C_ A ) -> ( ( G ` ( `' G ` x ) ) e. ( G " dom ( F \ _I ) ) <-> ( `' G ` x ) e. dom ( F \ _I ) ) )
59 51 35 57 58 syl3anc 
 |-  ( ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ x e. A ) -> ( ( G ` ( `' G ` x ) ) e. ( G " dom ( F \ _I ) ) <-> ( `' G ` x ) e. dom ( F \ _I ) ) )
60 f1ocnvfv2 
 |-  ( ( G : A -1-1-onto-> A /\ x e. A ) -> ( G ` ( `' G ` x ) ) = x )
61 60 adantll 
 |-  ( ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ x e. A ) -> ( G ` ( `' G ` x ) ) = x )
62 61 eleq1d 
 |-  ( ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ x e. A ) -> ( ( G ` ( `' G ` x ) ) e. ( G " dom ( F \ _I ) ) <-> x e. ( G " dom ( F \ _I ) ) ) )
63 fnelnfp 
 |-  ( ( F Fn A /\ ( `' G ` x ) e. A ) -> ( ( `' G ` x ) e. dom ( F \ _I ) <-> ( F ` ( `' G ` x ) ) =/= ( `' G ` x ) ) )
64 33 35 63 syl2anc 
 |-  ( ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ x e. A ) -> ( ( `' G ` x ) e. dom ( F \ _I ) <-> ( F ` ( `' G ` x ) ) =/= ( `' G ` x ) ) )
65 59 62 64 3bitr3rd 
 |-  ( ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ x e. A ) -> ( ( F ` ( `' G ` x ) ) =/= ( `' G ` x ) <-> x e. ( G " dom ( F \ _I ) ) ) )
66 49 65 syl5bb 
 |-  ( ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ x e. A ) -> ( ( `' G ` x ) =/= ( F ` ( `' G ` x ) ) <-> x e. ( G " dom ( F \ _I ) ) ) )
67 27 48 66 3bitrd 
 |-  ( ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ x e. A ) -> ( x e. dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) <-> x e. ( G " dom ( F \ _I ) ) ) )
68 11 17 67 eqrdav 
 |-  ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) -> dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) = ( G " dom ( F \ _I ) ) )