Theorem ffnov

Description: An operation maps to a class to which all values belong. (Contributed by NM, 7-Feb-2004)

	Ref	Expression
Assertion	ffnov	|- ( F : ( A X. B ) --> C <-> ( F Fn ( A X. B ) /\ A. x e. A A. y e. B ( x F y ) e. C ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffnfv	|- ( F : ( A X. B ) --> C <-> ( F Fn ( A X. B ) /\ A. w e. ( A X. B ) ( F ` w ) e. C ) )
2		fveq2	|- ( w = <. x , y >. -> ( F ` w ) = ( F ` <. x , y >. ) )
3		df-ov	|- ( x F y ) = ( F ` <. x , y >. )
4	2 3	eqtr4di	|- ( w = <. x , y >. -> ( F ` w ) = ( x F y ) )
5	4	eleq1d	|- ( w = <. x , y >. -> ( ( F ` w ) e. C <-> ( x F y ) e. C ) )
6	5	ralxp	|- ( A. w e. ( A X. B ) ( F ` w ) e. C <-> A. x e. A A. y e. B ( x F y ) e. C )
7	6	anbi2i	|- ( ( F Fn ( A X. B ) /\ A. w e. ( A X. B ) ( F ` w ) e. C ) <-> ( F Fn ( A X. B ) /\ A. x e. A A. y e. B ( x F y ) e. C ) )
8	1 7	bitri	|- ( F : ( A X. B ) --> C <-> ( F Fn ( A X. B ) /\ A. x e. A A. y e. B ( x F y ) e. C ) )