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Theorem fiin

Description: The elements of ( fiC ) are closed under finite intersection. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Nov-2013)

Ref Expression
Assertion fiin 
|- ( ( A e. ( fi ` C ) /\ B e. ( fi ` C ) ) -> ( A i^i B ) e. ( fi ` C ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 elfvex 
 |-  ( A e. ( fi ` C ) -> C e. _V )
2 elfi 
 |-  ( ( A e. ( fi ` C ) /\ C e. _V ) -> ( A e. ( fi ` C ) <-> E. x e. ( ~P C i^i Fin ) A = |^| x ) )
3 1 2 mpdan 
 |-  ( A e. ( fi ` C ) -> ( A e. ( fi ` C ) <-> E. x e. ( ~P C i^i Fin ) A = |^| x ) )
4 3 ibi 
 |-  ( A e. ( fi ` C ) -> E. x e. ( ~P C i^i Fin ) A = |^| x )
5 4 adantr 
 |-  ( ( A e. ( fi ` C ) /\ B e. ( fi ` C ) ) -> E. x e. ( ~P C i^i Fin ) A = |^| x )
6 simpr 
 |-  ( ( A e. ( fi ` C ) /\ B e. ( fi ` C ) ) -> B e. ( fi ` C ) )
7 elfi 
 |-  ( ( B e. ( fi ` C ) /\ C e. _V ) -> ( B e. ( fi ` C ) <-> E. y e. ( ~P C i^i Fin ) B = |^| y ) )
8 7 ancoms 
 |-  ( ( C e. _V /\ B e. ( fi ` C ) ) -> ( B e. ( fi ` C ) <-> E. y e. ( ~P C i^i Fin ) B = |^| y ) )
9 1 8 sylan 
 |-  ( ( A e. ( fi ` C ) /\ B e. ( fi ` C ) ) -> ( B e. ( fi ` C ) <-> E. y e. ( ~P C i^i Fin ) B = |^| y ) )
10 6 9 mpbid 
 |-  ( ( A e. ( fi ` C ) /\ B e. ( fi ` C ) ) -> E. y e. ( ~P C i^i Fin ) B = |^| y )
11 elin 
 |-  ( x e. ( ~P C i^i Fin ) <-> ( x e. ~P C /\ x e. Fin ) )
12 elin 
 |-  ( y e. ( ~P C i^i Fin ) <-> ( y e. ~P C /\ y e. Fin ) )
13 pwuncl 
 |-  ( ( x e. ~P C /\ y e. ~P C ) -> ( x u. y ) e. ~P C )
14 unfi 
 |-  ( ( x e. Fin /\ y e. Fin ) -> ( x u. y ) e. Fin )
15 13 14 anim12i 
 |-  ( ( ( x e. ~P C /\ y e. ~P C ) /\ ( x e. Fin /\ y e. Fin ) ) -> ( ( x u. y ) e. ~P C /\ ( x u. y ) e. Fin ) )
16 15 an4s 
 |-  ( ( ( x e. ~P C /\ x e. Fin ) /\ ( y e. ~P C /\ y e. Fin ) ) -> ( ( x u. y ) e. ~P C /\ ( x u. y ) e. Fin ) )
17 11 12 16 syl2anb 
 |-  ( ( x e. ( ~P C i^i Fin ) /\ y e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( ( x u. y ) e. ~P C /\ ( x u. y ) e. Fin ) )
18 elin 
 |-  ( ( x u. y ) e. ( ~P C i^i Fin ) <-> ( ( x u. y ) e. ~P C /\ ( x u. y ) e. Fin ) )
19 17 18 sylibr 
 |-  ( ( x e. ( ~P C i^i Fin ) /\ y e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( x u. y ) e. ( ~P C i^i Fin ) )
20 ineq12 
 |-  ( ( A = |^| x /\ B = |^| y ) -> ( A i^i B ) = ( |^| x i^i |^| y ) )
21 intun 
 |-  |^| ( x u. y ) = ( |^| x i^i |^| y )
22 20 21 eqtr4di 
 |-  ( ( A = |^| x /\ B = |^| y ) -> ( A i^i B ) = |^| ( x u. y ) )
23 inteq 
 |-  ( z = ( x u. y ) -> |^| z = |^| ( x u. y ) )
24 23 rspceeqv 
 |-  ( ( ( x u. y ) e. ( ~P C i^i Fin ) /\ ( A i^i B ) = |^| ( x u. y ) ) -> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z )
25 19 22 24 syl2an 
 |-  ( ( ( x e. ( ~P C i^i Fin ) /\ y e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ ( A = |^| x /\ B = |^| y ) ) -> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z )
26 25 an4s 
 |-  ( ( ( x e. ( ~P C i^i Fin ) /\ A = |^| x ) /\ ( y e. ( ~P C i^i Fin ) /\ B = |^| y ) ) -> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z )
27 26 rexlimdvaa 
 |-  ( ( x e. ( ~P C i^i Fin ) /\ A = |^| x ) -> ( E. y e. ( ~P C i^i Fin ) B = |^| y -> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z ) )
28 27 rexlimiva 
 |-  ( E. x e. ( ~P C i^i Fin ) A = |^| x -> ( E. y e. ( ~P C i^i Fin ) B = |^| y -> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z ) )
29 5 10 28 sylc 
 |-  ( ( A e. ( fi ` C ) /\ B e. ( fi ` C ) ) -> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z )
30 inex1g 
 |-  ( A e. ( fi ` C ) -> ( A i^i B ) e. _V )
31 elfi 
 |-  ( ( ( A i^i B ) e. _V /\ C e. _V ) -> ( ( A i^i B ) e. ( fi ` C ) <-> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z ) )
32 30 1 31 syl2anc 
 |-  ( A e. ( fi ` C ) -> ( ( A i^i B ) e. ( fi ` C ) <-> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z ) )
33 32 adantr 
 |-  ( ( A e. ( fi ` C ) /\ B e. ( fi ` C ) ) -> ( ( A i^i B ) e. ( fi ` C ) <-> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z ) )
34 29 33 mpbird 
 |-  ( ( A e. ( fi ` C ) /\ B e. ( fi ` C ) ) -> ( A i^i B ) e. ( fi ` C ) )