Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
vex |
|- x e. _V |
2 |
1
|
elintrab |
|- ( x e. |^| { f e. ( UFil ` X ) | F C_ f } <-> A. f e. ( UFil ` X ) ( F C_ f -> x e. f ) ) |
3 |
|
filsspw |
|- ( F e. ( Fil ` X ) -> F C_ ~P X ) |
4 |
3
|
3ad2ant1 |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F /\ x C_ X ) -> F C_ ~P X ) |
5 |
|
difss |
|- ( X \ x ) C_ X |
6 |
|
filtop |
|- ( F e. ( Fil ` X ) -> X e. F ) |
7 |
|
difexg |
|- ( X e. F -> ( X \ x ) e. _V ) |
8 |
6 7
|
syl |
|- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( X \ x ) e. _V ) |
9 |
8
|
3ad2ant1 |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F /\ x C_ X ) -> ( X \ x ) e. _V ) |
10 |
|
elpwg |
|- ( ( X \ x ) e. _V -> ( ( X \ x ) e. ~P X <-> ( X \ x ) C_ X ) ) |
11 |
9 10
|
syl |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F /\ x C_ X ) -> ( ( X \ x ) e. ~P X <-> ( X \ x ) C_ X ) ) |
12 |
5 11
|
mpbiri |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F /\ x C_ X ) -> ( X \ x ) e. ~P X ) |
13 |
12
|
snssd |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F /\ x C_ X ) -> { ( X \ x ) } C_ ~P X ) |
14 |
4 13
|
unssd |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F /\ x C_ X ) -> ( F u. { ( X \ x ) } ) C_ ~P X ) |
15 |
|
ssun1 |
|- F C_ ( F u. { ( X \ x ) } ) |
16 |
|
filn0 |
|- ( F e. ( Fil ` X ) -> F =/= (/) ) |
17 |
|
ssn0 |
|- ( ( F C_ ( F u. { ( X \ x ) } ) /\ F =/= (/) ) -> ( F u. { ( X \ x ) } ) =/= (/) ) |
18 |
15 16 17
|
sylancr |
|- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( F u. { ( X \ x ) } ) =/= (/) ) |
19 |
18
|
3ad2ant1 |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F /\ x C_ X ) -> ( F u. { ( X \ x ) } ) =/= (/) ) |
20 |
|
elsni |
|- ( z e. { ( X \ x ) } -> z = ( X \ x ) ) |
21 |
|
filelss |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ y e. F ) -> y C_ X ) |
22 |
21
|
3adant3 |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ y e. F /\ x C_ X ) -> y C_ X ) |
23 |
|
reldisj |
|- ( y C_ X -> ( ( y i^i ( X \ x ) ) = (/) <-> y C_ ( X \ ( X \ x ) ) ) ) |
24 |
22 23
|
syl |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ y e. F /\ x C_ X ) -> ( ( y i^i ( X \ x ) ) = (/) <-> y C_ ( X \ ( X \ x ) ) ) ) |
25 |
|
dfss4 |
|- ( x C_ X <-> ( X \ ( X \ x ) ) = x ) |
26 |
25
|
biimpi |
|- ( x C_ X -> ( X \ ( X \ x ) ) = x ) |
27 |
26
|
sseq2d |
|- ( x C_ X -> ( y C_ ( X \ ( X \ x ) ) <-> y C_ x ) ) |
28 |
27
|
3ad2ant3 |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ y e. F /\ x C_ X ) -> ( y C_ ( X \ ( X \ x ) ) <-> y C_ x ) ) |
29 |
24 28
|
bitrd |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ y e. F /\ x C_ X ) -> ( ( y i^i ( X \ x ) ) = (/) <-> y C_ x ) ) |
30 |
|
filss |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( y e. F /\ x C_ X /\ y C_ x ) ) -> x e. F ) |
31 |
30
|
3exp2 |
|- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( y e. F -> ( x C_ X -> ( y C_ x -> x e. F ) ) ) ) |
32 |
31
|
3imp |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ y e. F /\ x C_ X ) -> ( y C_ x -> x e. F ) ) |
33 |
29 32
|
sylbid |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ y e. F /\ x C_ X ) -> ( ( y i^i ( X \ x ) ) = (/) -> x e. F ) ) |
34 |
33
|
necon3bd |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ y e. F /\ x C_ X ) -> ( -. x e. F -> ( y i^i ( X \ x ) ) =/= (/) ) ) |
35 |
34
|
3exp |
|- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( y e. F -> ( x C_ X -> ( -. x e. F -> ( y i^i ( X \ x ) ) =/= (/) ) ) ) ) |
36 |
35
|
com24 |
|- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( -. x e. F -> ( x C_ X -> ( y e. F -> ( y i^i ( X \ x ) ) =/= (/) ) ) ) ) |
37 |
36
|
3imp1 |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F /\ x C_ X ) /\ y e. F ) -> ( y i^i ( X \ x ) ) =/= (/) ) |
38 |
|
ineq2 |
|- ( z = ( X \ x ) -> ( y i^i z ) = ( y i^i ( X \ x ) ) ) |
39 |
38
|
neeq1d |
|- ( z = ( X \ x ) -> ( ( y i^i z ) =/= (/) <-> ( y i^i ( X \ x ) ) =/= (/) ) ) |
40 |
37 39
|
syl5ibrcom |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F /\ x C_ X ) /\ y e. F ) -> ( z = ( X \ x ) -> ( y i^i z ) =/= (/) ) ) |
41 |
40
|
expimpd |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F /\ x C_ X ) -> ( ( y e. F /\ z = ( X \ x ) ) -> ( y i^i z ) =/= (/) ) ) |
42 |
20 41
|
sylan2i |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F /\ x C_ X ) -> ( ( y e. F /\ z e. { ( X \ x ) } ) -> ( y i^i z ) =/= (/) ) ) |
43 |
42
|
ralrimivv |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F /\ x C_ X ) -> A. y e. F A. z e. { ( X \ x ) } ( y i^i z ) =/= (/) ) |
44 |
|
filfbas |
|- ( F e. ( Fil ` X ) -> F e. ( fBas ` X ) ) |
45 |
44
|
3ad2ant1 |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F /\ x C_ X ) -> F e. ( fBas ` X ) ) |
46 |
5
|
a1i |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F /\ x C_ X ) -> ( X \ x ) C_ X ) |
47 |
26
|
3ad2ant2 |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X /\ ( X \ x ) = (/) ) -> ( X \ ( X \ x ) ) = x ) |
48 |
|
difeq2 |
|- ( ( X \ x ) = (/) -> ( X \ ( X \ x ) ) = ( X \ (/) ) ) |
49 |
|
dif0 |
|- ( X \ (/) ) = X |
50 |
48 49
|
eqtrdi |
|- ( ( X \ x ) = (/) -> ( X \ ( X \ x ) ) = X ) |
51 |
50
|
3ad2ant3 |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X /\ ( X \ x ) = (/) ) -> ( X \ ( X \ x ) ) = X ) |
52 |
47 51
|
eqtr3d |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X /\ ( X \ x ) = (/) ) -> x = X ) |
53 |
6
|
3ad2ant1 |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X /\ ( X \ x ) = (/) ) -> X e. F ) |
54 |
52 53
|
eqeltrd |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X /\ ( X \ x ) = (/) ) -> x e. F ) |
55 |
54
|
3expia |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) -> ( ( X \ x ) = (/) -> x e. F ) ) |
56 |
55
|
necon3bd |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) -> ( -. x e. F -> ( X \ x ) =/= (/) ) ) |
57 |
56
|
ex |
|- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( x C_ X -> ( -. x e. F -> ( X \ x ) =/= (/) ) ) ) |
58 |
57
|
com23 |
|- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( -. x e. F -> ( x C_ X -> ( X \ x ) =/= (/) ) ) ) |
59 |
58
|
3imp |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F /\ x C_ X ) -> ( X \ x ) =/= (/) ) |
60 |
6
|
3ad2ant1 |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F /\ x C_ X ) -> X e. F ) |
61 |
|
snfbas |
|- ( ( ( X \ x ) C_ X /\ ( X \ x ) =/= (/) /\ X e. F ) -> { ( X \ x ) } e. ( fBas ` X ) ) |
62 |
46 59 60 61
|
syl3anc |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F /\ x C_ X ) -> { ( X \ x ) } e. ( fBas ` X ) ) |
63 |
|
fbunfip |
|- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ { ( X \ x ) } e. ( fBas ` X ) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) <-> A. y e. F A. z e. { ( X \ x ) } ( y i^i z ) =/= (/) ) ) |
64 |
45 62 63
|
syl2anc |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F /\ x C_ X ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) <-> A. y e. F A. z e. { ( X \ x ) } ( y i^i z ) =/= (/) ) ) |
65 |
43 64
|
mpbird |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F /\ x C_ X ) -> -. (/) e. ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) |
66 |
|
fsubbas |
|- ( X e. F -> ( ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) e. ( fBas ` X ) <-> ( ( F u. { ( X \ x ) } ) C_ ~P X /\ ( F u. { ( X \ x ) } ) =/= (/) /\ -. (/) e. ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) ) ) |
67 |
6 66
|
syl |
|- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) e. ( fBas ` X ) <-> ( ( F u. { ( X \ x ) } ) C_ ~P X /\ ( F u. { ( X \ x ) } ) =/= (/) /\ -. (/) e. ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) ) ) |
68 |
67
|
3ad2ant1 |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F /\ x C_ X ) -> ( ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) e. ( fBas ` X ) <-> ( ( F u. { ( X \ x ) } ) C_ ~P X /\ ( F u. { ( X \ x ) } ) =/= (/) /\ -. (/) e. ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) ) ) |
69 |
14 19 65 68
|
mpbir3and |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F /\ x C_ X ) -> ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) e. ( fBas ` X ) ) |
70 |
|
fgcl |
|- ( ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) e. ( fBas ` X ) -> ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) e. ( Fil ` X ) ) |
71 |
69 70
|
syl |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F /\ x C_ X ) -> ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) e. ( Fil ` X ) ) |
72 |
|
filssufil |
|- ( ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) e. ( Fil ` X ) -> E. f e. ( UFil ` X ) ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) C_ f ) |
73 |
|
snex |
|- { ( X \ x ) } e. _V |
74 |
|
unexg |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ { ( X \ x ) } e. _V ) -> ( F u. { ( X \ x ) } ) e. _V ) |
75 |
73 74
|
mpan2 |
|- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( F u. { ( X \ x ) } ) e. _V ) |
76 |
|
ssfii |
|- ( ( F u. { ( X \ x ) } ) e. _V -> ( F u. { ( X \ x ) } ) C_ ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) |
77 |
75 76
|
syl |
|- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( F u. { ( X \ x ) } ) C_ ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) |
78 |
77
|
3ad2ant1 |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F /\ x C_ X ) -> ( F u. { ( X \ x ) } ) C_ ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) |
79 |
78
|
unssad |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F /\ x C_ X ) -> F C_ ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) |
80 |
|
ssfg |
|- ( ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) e. ( fBas ` X ) -> ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) ) |
81 |
69 80
|
syl |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F /\ x C_ X ) -> ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) ) |
82 |
79 81
|
sstrd |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F /\ x C_ X ) -> F C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) ) |
83 |
82
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F /\ x C_ X ) /\ f e. ( UFil ` X ) ) /\ ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) C_ f ) -> F C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) ) |
84 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F /\ x C_ X ) /\ f e. ( UFil ` X ) ) /\ ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) C_ f ) -> ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) C_ f ) |
85 |
83 84
|
sstrd |
|- ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F /\ x C_ X ) /\ f e. ( UFil ` X ) ) /\ ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) C_ f ) -> F C_ f ) |
86 |
|
ufilfil |
|- ( f e. ( UFil ` X ) -> f e. ( Fil ` X ) ) |
87 |
|
0nelfil |
|- ( f e. ( Fil ` X ) -> -. (/) e. f ) |
88 |
86 87
|
syl |
|- ( f e. ( UFil ` X ) -> -. (/) e. f ) |
89 |
88
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F /\ x C_ X ) /\ f e. ( UFil ` X ) ) /\ ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) C_ f ) -> -. (/) e. f ) |
90 |
|
disjdif |
|- ( x i^i ( X \ x ) ) = (/) |
91 |
86
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F /\ x C_ X ) /\ f e. ( UFil ` X ) ) /\ ( ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) C_ f /\ x e. f ) ) -> f e. ( Fil ` X ) ) |
92 |
|
simprr |
|- ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F /\ x C_ X ) /\ f e. ( UFil ` X ) ) /\ ( ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) C_ f /\ x e. f ) ) -> x e. f ) |
93 |
77
|
unssbd |
|- ( F e. ( Fil ` X ) -> { ( X \ x ) } C_ ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) |
94 |
93
|
3ad2ant1 |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F /\ x C_ X ) -> { ( X \ x ) } C_ ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) |
95 |
94
|
adantr |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F /\ x C_ X ) /\ f e. ( UFil ` X ) ) -> { ( X \ x ) } C_ ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) |
96 |
69
|
adantr |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F /\ x C_ X ) /\ f e. ( UFil ` X ) ) -> ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) e. ( fBas ` X ) ) |
97 |
96 80
|
syl |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F /\ x C_ X ) /\ f e. ( UFil ` X ) ) -> ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) ) |
98 |
95 97
|
sstrd |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F /\ x C_ X ) /\ f e. ( UFil ` X ) ) -> { ( X \ x ) } C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) ) |
99 |
98
|
adantr |
|- ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F /\ x C_ X ) /\ f e. ( UFil ` X ) ) /\ ( ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) C_ f /\ x e. f ) ) -> { ( X \ x ) } C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) ) |
100 |
|
simprl |
|- ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F /\ x C_ X ) /\ f e. ( UFil ` X ) ) /\ ( ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) C_ f /\ x e. f ) ) -> ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) C_ f ) |
101 |
99 100
|
sstrd |
|- ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F /\ x C_ X ) /\ f e. ( UFil ` X ) ) /\ ( ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) C_ f /\ x e. f ) ) -> { ( X \ x ) } C_ f ) |
102 |
|
snidg |
|- ( ( X \ x ) e. _V -> ( X \ x ) e. { ( X \ x ) } ) |
103 |
8 102
|
syl |
|- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( X \ x ) e. { ( X \ x ) } ) |
104 |
103
|
3ad2ant1 |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F /\ x C_ X ) -> ( X \ x ) e. { ( X \ x ) } ) |
105 |
104
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F /\ x C_ X ) /\ f e. ( UFil ` X ) ) /\ ( ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) C_ f /\ x e. f ) ) -> ( X \ x ) e. { ( X \ x ) } ) |
106 |
101 105
|
sseldd |
|- ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F /\ x C_ X ) /\ f e. ( UFil ` X ) ) /\ ( ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) C_ f /\ x e. f ) ) -> ( X \ x ) e. f ) |
107 |
|
filin |
|- ( ( f e. ( Fil ` X ) /\ x e. f /\ ( X \ x ) e. f ) -> ( x i^i ( X \ x ) ) e. f ) |
108 |
91 92 106 107
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F /\ x C_ X ) /\ f e. ( UFil ` X ) ) /\ ( ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) C_ f /\ x e. f ) ) -> ( x i^i ( X \ x ) ) e. f ) |
109 |
90 108
|
eqeltrrid |
|- ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F /\ x C_ X ) /\ f e. ( UFil ` X ) ) /\ ( ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) C_ f /\ x e. f ) ) -> (/) e. f ) |
110 |
109
|
expr |
|- ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F /\ x C_ X ) /\ f e. ( UFil ` X ) ) /\ ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) C_ f ) -> ( x e. f -> (/) e. f ) ) |
111 |
89 110
|
mtod |
|- ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F /\ x C_ X ) /\ f e. ( UFil ` X ) ) /\ ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) C_ f ) -> -. x e. f ) |
112 |
85 111
|
jca |
|- ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F /\ x C_ X ) /\ f e. ( UFil ` X ) ) /\ ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) C_ f ) -> ( F C_ f /\ -. x e. f ) ) |
113 |
112
|
exp31 |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F /\ x C_ X ) -> ( f e. ( UFil ` X ) -> ( ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) C_ f -> ( F C_ f /\ -. x e. f ) ) ) ) |
114 |
113
|
reximdvai |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F /\ x C_ X ) -> ( E. f e. ( UFil ` X ) ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) C_ f -> E. f e. ( UFil ` X ) ( F C_ f /\ -. x e. f ) ) ) |
115 |
72 114
|
syl5 |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F /\ x C_ X ) -> ( ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) e. ( Fil ` X ) -> E. f e. ( UFil ` X ) ( F C_ f /\ -. x e. f ) ) ) |
116 |
71 115
|
mpd |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F /\ x C_ X ) -> E. f e. ( UFil ` X ) ( F C_ f /\ -. x e. f ) ) |
117 |
116
|
3expia |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F ) -> ( x C_ X -> E. f e. ( UFil ` X ) ( F C_ f /\ -. x e. f ) ) ) |
118 |
|
filssufil |
|- ( F e. ( Fil ` X ) -> E. f e. ( UFil ` X ) F C_ f ) |
119 |
|
filelss |
|- ( ( f e. ( Fil ` X ) /\ x e. f ) -> x C_ X ) |
120 |
119
|
ex |
|- ( f e. ( Fil ` X ) -> ( x e. f -> x C_ X ) ) |
121 |
86 120
|
syl |
|- ( f e. ( UFil ` X ) -> ( x e. f -> x C_ X ) ) |
122 |
121
|
con3d |
|- ( f e. ( UFil ` X ) -> ( -. x C_ X -> -. x e. f ) ) |
123 |
122
|
impcom |
|- ( ( -. x C_ X /\ f e. ( UFil ` X ) ) -> -. x e. f ) |
124 |
123
|
a1d |
|- ( ( -. x C_ X /\ f e. ( UFil ` X ) ) -> ( F C_ f -> -. x e. f ) ) |
125 |
124
|
ancld |
|- ( ( -. x C_ X /\ f e. ( UFil ` X ) ) -> ( F C_ f -> ( F C_ f /\ -. x e. f ) ) ) |
126 |
125
|
reximdva |
|- ( -. x C_ X -> ( E. f e. ( UFil ` X ) F C_ f -> E. f e. ( UFil ` X ) ( F C_ f /\ -. x e. f ) ) ) |
127 |
118 126
|
syl5com |
|- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( -. x C_ X -> E. f e. ( UFil ` X ) ( F C_ f /\ -. x e. f ) ) ) |
128 |
127
|
adantr |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F ) -> ( -. x C_ X -> E. f e. ( UFil ` X ) ( F C_ f /\ -. x e. f ) ) ) |
129 |
117 128
|
pm2.61d |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ -. x e. F ) -> E. f e. ( UFil ` X ) ( F C_ f /\ -. x e. f ) ) |
130 |
129
|
ex |
|- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( -. x e. F -> E. f e. ( UFil ` X ) ( F C_ f /\ -. x e. f ) ) ) |
131 |
|
rexanali |
|- ( E. f e. ( UFil ` X ) ( F C_ f /\ -. x e. f ) <-> -. A. f e. ( UFil ` X ) ( F C_ f -> x e. f ) ) |
132 |
130 131
|
syl6ib |
|- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( -. x e. F -> -. A. f e. ( UFil ` X ) ( F C_ f -> x e. f ) ) ) |
133 |
132
|
con4d |
|- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( A. f e. ( UFil ` X ) ( F C_ f -> x e. f ) -> x e. F ) ) |
134 |
2 133
|
syl5bi |
|- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( x e. |^| { f e. ( UFil ` X ) | F C_ f } -> x e. F ) ) |
135 |
134
|
ssrdv |
|- ( F e. ( Fil ` X ) -> |^| { f e. ( UFil ` X ) | F C_ f } C_ F ) |
136 |
|
ssintub |
|- F C_ |^| { f e. ( UFil ` X ) | F C_ f } |
137 |
136
|
a1i |
|- ( F e. ( Fil ` X ) -> F C_ |^| { f e. ( UFil ` X ) | F C_ f } ) |
138 |
135 137
|
eqssd |
|- ( F e. ( Fil ` X ) -> |^| { f e. ( UFil ` X ) | F C_ f } = F ) |