Theorem fimaxg

Description: A finite set has a maximum under a total order. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Jan-2014)

	Ref	Expression
Assertion	fimaxg	|- ( ( R Or A /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> y R x ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fimax2g	|- ( ( R Or A /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A A. y e. A -. x R y )
2		df-ne	|- ( x =/= y <-> -. x = y )
3	2	imbi1i	|- ( ( x =/= y -> y R x ) <-> ( -. x = y -> y R x ) )
4		pm4.64	|- ( ( -. x = y -> y R x ) <-> ( x = y \/ y R x ) )
5	3 4	bitri	|- ( ( x =/= y -> y R x ) <-> ( x = y \/ y R x ) )
6		sotric	|- ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( x R y <-> -. ( x = y \/ y R x ) ) )
7	6	con2bid	|- ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( x = y \/ y R x ) <-> -. x R y ) )
8	5 7	syl5bb	|- ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( x =/= y -> y R x ) <-> -. x R y ) )
9	8	anassrs	|- ( ( ( R Or A /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( ( x =/= y -> y R x ) <-> -. x R y ) )
10	9	ralbidva	|- ( ( R Or A /\ x e. A ) -> ( A. y e. A ( x =/= y -> y R x ) <-> A. y e. A -. x R y ) )
11	10	rexbidva	|- ( R Or A -> ( E. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> y R x ) <-> E. x e. A A. y e. A -. x R y ) )
12	11	3ad2ant1	|- ( ( R Or A /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> ( E. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> y R x ) <-> E. x e. A A. y e. A -. x R y ) )
13	1 12	mpbird	|- ( ( R Or A /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> y R x ) )