Theorem fiming

Description: A finite set has a minimum under a total order. (Contributed by AV, 6-Oct-2020)

	Ref	Expression
Assertion	fiming	|- ( ( R Or A /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> x R y ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fimin2g	|- ( ( R Or A /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A A. y e. A -. y R x )
2		nesym	|- ( x =/= y <-> -. y = x )
3	2	imbi1i	|- ( ( x =/= y -> x R y ) <-> ( -. y = x -> x R y ) )
4		pm4.64	|- ( ( -. y = x -> x R y ) <-> ( y = x \/ x R y ) )
5	3 4	bitri	|- ( ( x =/= y -> x R y ) <-> ( y = x \/ x R y ) )
6		sotric	|- ( ( R Or A /\ ( y e. A /\ x e. A ) ) -> ( y R x <-> -. ( y = x \/ x R y ) ) )
7	6	ancom2s	|- ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( y R x <-> -. ( y = x \/ x R y ) ) )
8	7	con2bid	|- ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( y = x \/ x R y ) <-> -. y R x ) )
9	5 8	syl5bb	|- ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( x =/= y -> x R y ) <-> -. y R x ) )
10	9	anassrs	|- ( ( ( R Or A /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( ( x =/= y -> x R y ) <-> -. y R x ) )
11	10	ralbidva	|- ( ( R Or A /\ x e. A ) -> ( A. y e. A ( x =/= y -> x R y ) <-> A. y e. A -. y R x ) )
12	11	rexbidva	|- ( R Or A -> ( E. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> x R y ) <-> E. x e. A A. y e. A -. y R x ) )
13	12	3ad2ant1	|- ( ( R Or A /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> ( E. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> x R y ) <-> E. x e. A A. y e. A -. y R x ) )
14	1 13	mpbird	|- ( ( R Or A /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> x R y ) )