Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fin23lem33.f |
|- F = { g | A. a e. ( ~P g ^m _om ) ( A. x e. _om ( a ` suc x ) C_ ( a ` x ) -> |^| ran a e. ran a ) } |
2 |
|
fin23lem.f |
|- ( ph -> h : _om -1-1-> _V ) |
3 |
|
fin23lem.g |
|- ( ph -> U. ran h C_ G ) |
4 |
|
fin23lem.h |
|- ( ph -> A. j ( ( j : _om -1-1-> _V /\ U. ran j C_ G ) -> ( ( i ` j ) : _om -1-1-> _V /\ U. ran ( i ` j ) C. U. ran j ) ) ) |
5 |
|
fin23lem.i |
|- Y = ( rec ( i , h ) |` _om ) |
6 |
1 2 3 4 5
|
fin23lem38 |
|- ( ph -> -. |^| ran ( c e. _om |-> U. ran ( Y ` c ) ) e. ran ( c e. _om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ) |
7 |
1 2 3 4 5
|
fin23lem35 |
|- ( ( ph /\ e e. _om ) -> U. ran ( Y ` suc e ) C. U. ran ( Y ` e ) ) |
8 |
7
|
pssssd |
|- ( ( ph /\ e e. _om ) -> U. ran ( Y ` suc e ) C_ U. ran ( Y ` e ) ) |
9 |
|
peano2 |
|- ( e e. _om -> suc e e. _om ) |
10 |
|
fveq2 |
|- ( c = suc e -> ( Y ` c ) = ( Y ` suc e ) ) |
11 |
10
|
rneqd |
|- ( c = suc e -> ran ( Y ` c ) = ran ( Y ` suc e ) ) |
12 |
11
|
unieqd |
|- ( c = suc e -> U. ran ( Y ` c ) = U. ran ( Y ` suc e ) ) |
13 |
|
eqid |
|- ( c e. _om |-> U. ran ( Y ` c ) ) = ( c e. _om |-> U. ran ( Y ` c ) ) |
14 |
|
fvex |
|- ( Y ` suc e ) e. _V |
15 |
14
|
rnex |
|- ran ( Y ` suc e ) e. _V |
16 |
15
|
uniex |
|- U. ran ( Y ` suc e ) e. _V |
17 |
12 13 16
|
fvmpt |
|- ( suc e e. _om -> ( ( c e. _om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ` suc e ) = U. ran ( Y ` suc e ) ) |
18 |
9 17
|
syl |
|- ( e e. _om -> ( ( c e. _om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ` suc e ) = U. ran ( Y ` suc e ) ) |
19 |
|
fveq2 |
|- ( c = e -> ( Y ` c ) = ( Y ` e ) ) |
20 |
19
|
rneqd |
|- ( c = e -> ran ( Y ` c ) = ran ( Y ` e ) ) |
21 |
20
|
unieqd |
|- ( c = e -> U. ran ( Y ` c ) = U. ran ( Y ` e ) ) |
22 |
|
fvex |
|- ( Y ` e ) e. _V |
23 |
22
|
rnex |
|- ran ( Y ` e ) e. _V |
24 |
23
|
uniex |
|- U. ran ( Y ` e ) e. _V |
25 |
21 13 24
|
fvmpt |
|- ( e e. _om -> ( ( c e. _om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ` e ) = U. ran ( Y ` e ) ) |
26 |
18 25
|
sseq12d |
|- ( e e. _om -> ( ( ( c e. _om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ` suc e ) C_ ( ( c e. _om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ` e ) <-> U. ran ( Y ` suc e ) C_ U. ran ( Y ` e ) ) ) |
27 |
26
|
adantl |
|- ( ( ph /\ e e. _om ) -> ( ( ( c e. _om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ` suc e ) C_ ( ( c e. _om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ` e ) <-> U. ran ( Y ` suc e ) C_ U. ran ( Y ` e ) ) ) |
28 |
8 27
|
mpbird |
|- ( ( ph /\ e e. _om ) -> ( ( c e. _om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ` suc e ) C_ ( ( c e. _om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ` e ) ) |
29 |
28
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. e e. _om ( ( c e. _om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ` suc e ) C_ ( ( c e. _om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ` e ) ) |
30 |
29
|
adantr |
|- ( ( ph /\ G e. F ) -> A. e e. _om ( ( c e. _om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ` suc e ) C_ ( ( c e. _om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ` e ) ) |
31 |
|
fveq1 |
|- ( d = ( c e. _om |-> U. ran ( Y ` c ) ) -> ( d ` suc e ) = ( ( c e. _om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ` suc e ) ) |
32 |
|
fveq1 |
|- ( d = ( c e. _om |-> U. ran ( Y ` c ) ) -> ( d ` e ) = ( ( c e. _om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ` e ) ) |
33 |
31 32
|
sseq12d |
|- ( d = ( c e. _om |-> U. ran ( Y ` c ) ) -> ( ( d ` suc e ) C_ ( d ` e ) <-> ( ( c e. _om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ` suc e ) C_ ( ( c e. _om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ` e ) ) ) |
34 |
33
|
ralbidv |
|- ( d = ( c e. _om |-> U. ran ( Y ` c ) ) -> ( A. e e. _om ( d ` suc e ) C_ ( d ` e ) <-> A. e e. _om ( ( c e. _om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ` suc e ) C_ ( ( c e. _om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ` e ) ) ) |
35 |
|
rneq |
|- ( d = ( c e. _om |-> U. ran ( Y ` c ) ) -> ran d = ran ( c e. _om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ) |
36 |
35
|
inteqd |
|- ( d = ( c e. _om |-> U. ran ( Y ` c ) ) -> |^| ran d = |^| ran ( c e. _om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ) |
37 |
36 35
|
eleq12d |
|- ( d = ( c e. _om |-> U. ran ( Y ` c ) ) -> ( |^| ran d e. ran d <-> |^| ran ( c e. _om |-> U. ran ( Y ` c ) ) e. ran ( c e. _om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ) ) |
38 |
34 37
|
imbi12d |
|- ( d = ( c e. _om |-> U. ran ( Y ` c ) ) -> ( ( A. e e. _om ( d ` suc e ) C_ ( d ` e ) -> |^| ran d e. ran d ) <-> ( A. e e. _om ( ( c e. _om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ` suc e ) C_ ( ( c e. _om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ` e ) -> |^| ran ( c e. _om |-> U. ran ( Y ` c ) ) e. ran ( c e. _om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ) ) ) |
39 |
1
|
isfin3ds |
|- ( G e. F -> ( G e. F <-> A. d e. ( ~P G ^m _om ) ( A. e e. _om ( d ` suc e ) C_ ( d ` e ) -> |^| ran d e. ran d ) ) ) |
40 |
39
|
ibi |
|- ( G e. F -> A. d e. ( ~P G ^m _om ) ( A. e e. _om ( d ` suc e ) C_ ( d ` e ) -> |^| ran d e. ran d ) ) |
41 |
40
|
adantl |
|- ( ( ph /\ G e. F ) -> A. d e. ( ~P G ^m _om ) ( A. e e. _om ( d ` suc e ) C_ ( d ` e ) -> |^| ran d e. ran d ) ) |
42 |
1 2 3 4 5
|
fin23lem34 |
|- ( ( ph /\ c e. _om ) -> ( ( Y ` c ) : _om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` c ) C_ G ) ) |
43 |
42
|
simprd |
|- ( ( ph /\ c e. _om ) -> U. ran ( Y ` c ) C_ G ) |
44 |
43
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ G e. F ) /\ c e. _om ) -> U. ran ( Y ` c ) C_ G ) |
45 |
|
elpw2g |
|- ( G e. F -> ( U. ran ( Y ` c ) e. ~P G <-> U. ran ( Y ` c ) C_ G ) ) |
46 |
45
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ph /\ G e. F ) /\ c e. _om ) -> ( U. ran ( Y ` c ) e. ~P G <-> U. ran ( Y ` c ) C_ G ) ) |
47 |
44 46
|
mpbird |
|- ( ( ( ph /\ G e. F ) /\ c e. _om ) -> U. ran ( Y ` c ) e. ~P G ) |
48 |
47
|
fmpttd |
|- ( ( ph /\ G e. F ) -> ( c e. _om |-> U. ran ( Y ` c ) ) : _om --> ~P G ) |
49 |
|
pwexg |
|- ( G e. F -> ~P G e. _V ) |
50 |
|
vex |
|- h e. _V |
51 |
|
f1f |
|- ( h : _om -1-1-> _V -> h : _om --> _V ) |
52 |
|
dmfex |
|- ( ( h e. _V /\ h : _om --> _V ) -> _om e. _V ) |
53 |
50 51 52
|
sylancr |
|- ( h : _om -1-1-> _V -> _om e. _V ) |
54 |
2 53
|
syl |
|- ( ph -> _om e. _V ) |
55 |
|
elmapg |
|- ( ( ~P G e. _V /\ _om e. _V ) -> ( ( c e. _om |-> U. ran ( Y ` c ) ) e. ( ~P G ^m _om ) <-> ( c e. _om |-> U. ran ( Y ` c ) ) : _om --> ~P G ) ) |
56 |
49 54 55
|
syl2anr |
|- ( ( ph /\ G e. F ) -> ( ( c e. _om |-> U. ran ( Y ` c ) ) e. ( ~P G ^m _om ) <-> ( c e. _om |-> U. ran ( Y ` c ) ) : _om --> ~P G ) ) |
57 |
48 56
|
mpbird |
|- ( ( ph /\ G e. F ) -> ( c e. _om |-> U. ran ( Y ` c ) ) e. ( ~P G ^m _om ) ) |
58 |
38 41 57
|
rspcdva |
|- ( ( ph /\ G e. F ) -> ( A. e e. _om ( ( c e. _om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ` suc e ) C_ ( ( c e. _om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ` e ) -> |^| ran ( c e. _om |-> U. ran ( Y ` c ) ) e. ran ( c e. _om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ) ) |
59 |
30 58
|
mpd |
|- ( ( ph /\ G e. F ) -> |^| ran ( c e. _om |-> U. ran ( Y ` c ) ) e. ran ( c e. _om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ) |
60 |
6 59
|
mtand |
|- ( ph -> -. G e. F ) |