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Theorem fisupg

Description: Lemma showing existence and closure of supremum of a finite set. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009)

Ref Expression
Assertion fisupg 
|- ( ( R Or A /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 fimaxg 
 |-  ( ( R Or A /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> y R x ) )
2 sotrieq2 
 |-  ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( x = y <-> ( -. x R y /\ -. y R x ) ) )
3 2 simprbda 
 |-  ( ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ x = y ) -> -. x R y )
4 3 ex 
 |-  ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( x = y -> -. x R y ) )
5 4 anassrs 
 |-  ( ( ( R Or A /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( x = y -> -. x R y ) )
6 5 a1dd 
 |-  ( ( ( R Or A /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( x = y -> ( ( x =/= y -> y R x ) -> -. x R y ) ) )
7 pm2.27 
 |-  ( x =/= y -> ( ( x =/= y -> y R x ) -> y R x ) )
8 so2nr 
 |-  ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> -. ( x R y /\ y R x ) )
9 pm3.21 
 |-  ( y R x -> ( x R y -> ( x R y /\ y R x ) ) )
10 9 con3d 
 |-  ( y R x -> ( -. ( x R y /\ y R x ) -> -. x R y ) )
11 8 10 syl5com 
 |-  ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( y R x -> -. x R y ) )
12 11 anassrs 
 |-  ( ( ( R Or A /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( y R x -> -. x R y ) )
13 7 12 syl9r 
 |-  ( ( ( R Or A /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( x =/= y -> ( ( x =/= y -> y R x ) -> -. x R y ) ) )
14 6 13 pm2.61dne 
 |-  ( ( ( R Or A /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( ( x =/= y -> y R x ) -> -. x R y ) )
15 14 ralimdva 
 |-  ( ( R Or A /\ x e. A ) -> ( A. y e. A ( x =/= y -> y R x ) -> A. y e. A -. x R y ) )
16 breq2 
 |-  ( z = x -> ( y R z <-> y R x ) )
17 16 rspcev 
 |-  ( ( x e. A /\ y R x ) -> E. z e. A y R z )
18 17 ex 
 |-  ( x e. A -> ( y R x -> E. z e. A y R z ) )
19 18 ralrimivw 
 |-  ( x e. A -> A. y e. A ( y R x -> E. z e. A y R z ) )
20 19 adantl 
 |-  ( ( R Or A /\ x e. A ) -> A. y e. A ( y R x -> E. z e. A y R z ) )
21 15 20 jctird 
 |-  ( ( R Or A /\ x e. A ) -> ( A. y e. A ( x =/= y -> y R x ) -> ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) ) )
22 21 reximdva 
 |-  ( R Or A -> ( E. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> y R x ) -> E. x e. A ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) ) )
23 22 3ad2ant1 
 |-  ( ( R Or A /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> ( E. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> y R x ) -> E. x e. A ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) ) )
24 1 23 mpd 
 |-  ( ( R Or A /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) )