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Theorem fmss

Description: A finer filter produces a finer image filter. (Contributed by Jeff Hankins, 16-Nov-2009) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015)

Ref Expression
Assertion fmss 
|- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> ( ( X FilMap F ) ` B ) C_ ( ( X FilMap F ) ` C ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 simpl2 
 |-  ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> B e. ( fBas ` Y ) )
2 simprl 
 |-  ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> F : Y --> X )
3 simpl1 
 |-  ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> X e. A )
4 eqid 
 |-  ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) = ran ( y e. B |-> ( F " y ) )
5 4 fbasrn 
 |-  ( ( B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X /\ X e. A ) -> ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) e. ( fBas ` X ) )
6 1 2 3 5 syl3anc 
 |-  ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) e. ( fBas ` X ) )
7 simpl3 
 |-  ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> C e. ( fBas ` Y ) )
8 eqid 
 |-  ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) = ran ( y e. C |-> ( F " y ) )
9 8 fbasrn 
 |-  ( ( C e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X /\ X e. A ) -> ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) e. ( fBas ` X ) )
10 7 2 3 9 syl3anc 
 |-  ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) e. ( fBas ` X ) )
11 resmpt 
 |-  ( B C_ C -> ( ( y e. C |-> ( F " y ) ) |` B ) = ( y e. B |-> ( F " y ) ) )
12 11 ad2antll 
 |-  ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> ( ( y e. C |-> ( F " y ) ) |` B ) = ( y e. B |-> ( F " y ) ) )
13 resss 
 |-  ( ( y e. C |-> ( F " y ) ) |` B ) C_ ( y e. C |-> ( F " y ) )
14 12 13 eqsstrrdi 
 |-  ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> ( y e. B |-> ( F " y ) ) C_ ( y e. C |-> ( F " y ) ) )
15 rnss 
 |-  ( ( y e. B |-> ( F " y ) ) C_ ( y e. C |-> ( F " y ) ) -> ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) C_ ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) )
16 14 15 syl 
 |-  ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) C_ ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) )
17 fgss 
 |-  ( ( ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) e. ( fBas ` X ) /\ ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) e. ( fBas ` X ) /\ ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) C_ ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) ) -> ( X filGen ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) ) C_ ( X filGen ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) ) )
18 6 10 16 17 syl3anc 
 |-  ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> ( X filGen ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) ) C_ ( X filGen ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) ) )
19 fmval 
 |-  ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( ( X FilMap F ) ` B ) = ( X filGen ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) ) )
20 3 1 2 19 syl3anc 
 |-  ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> ( ( X FilMap F ) ` B ) = ( X filGen ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) ) )
21 fmval 
 |-  ( ( X e. A /\ C e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( ( X FilMap F ) ` C ) = ( X filGen ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) ) )
22 3 7 2 21 syl3anc 
 |-  ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> ( ( X FilMap F ) ` C ) = ( X filGen ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) ) )
23 18 20 22 3sstr4d 
 |-  ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> ( ( X FilMap F ) ` B ) C_ ( ( X FilMap F ) ` C ) )