Theorem fourierdlem104

Description: The half upper part of the integral equal to the fourier partial sum, converges to half the right limit of the original function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019)

	Ref	Expression
Hypotheses	fourierdlem104.f	|- ( ph -> F : RR --> RR )
	fourierdlem104.xre	|- ( ph -> X e. RR )
	fourierdlem104.p	|- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = ( -u _pi + X ) /\ ( p ` m ) = ( _pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0 ..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
	fourierdlem104.m	|- ( ph -> M e. NN )
	fourierdlem104.v	|- ( ph -> V e. ( P ` M ) )
	fourierdlem104.x	|- ( ph -> X e. ran V )
	fourierdlem104.fcn	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
	fourierdlem104.fbdioo	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> E. w e. RR A. t e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w )
	fourierdlem104.fdvcn	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> RR ) )
	fourierdlem104.fdvbd	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> E. z e. RR A. t e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z )
	fourierdlem104.r	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( V ` i ) ) )
	fourierdlem104.l	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( V ` ( i + 1 ) ) ) )
	fourierdlem104.h	|- H = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
	fourierdlem104.k	|- K = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
	fourierdlem104.u	|- U = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
	fourierdlem104.s	|- S = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
	fourierdlem104.g	|- G = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) )
	fourierdlem104.z	|- Z = ( m e. NN |-> S. ( 0 (,) _pi ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` m ) ` s ) ) _d s )
	fourierdlem104.e	|- E = ( n e. NN |-> ( S. ( 0 (,) _pi ) ( G ` s ) _d s / _pi ) )
	fourierdlem104.y	|- ( ph -> Y e. ( ( F |` ( X (,) +oo ) ) limCC X ) )
	fourierdlem104.w	|- ( ph -> W e. ( ( F |` ( -oo (,) X ) ) limCC X ) )
	fourierdlem104.a	|- ( ph -> A e. ( ( ( RR _D F ) |` ( -oo (,) X ) ) limCC X ) )
	fourierdlem104.b	|- ( ph -> B e. ( ( ( RR _D F ) |` ( X (,) +oo ) ) limCC X ) )
	fourierdlem104.d	|- D = ( n e. NN |-> ( s e. RR |-> if ( ( s mod ( 2 x. _pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. _pi ) ) , ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. _pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
	fourierdlem104.o	|- O = ( U |` ( d [,] _pi ) )
	fourierdlem104.t	|- T = ( { d , _pi } u. ( ran Q i^i ( d (,) _pi ) ) )
	fourierdlem104.n	|- N = ( ( # ` T ) - 1 )
	fourierdlem104.j	|- J = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) )
	fourierdlem104.q	|- Q = ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` i ) - X ) )
	fourierdlem104.1	|- C = ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) )
	fourierdlem104.ch	|- ( ch <-> ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. NN ) /\ ( abs ` S. ( 0 (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
Assertion	fourierdlem104	|- ( ph -> Z ~~> ( Y / 2 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem104.f	|- ( ph -> F : RR --> RR )
2		fourierdlem104.xre	|- ( ph -> X e. RR )
3		fourierdlem104.p	|- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = ( -u _pi + X ) /\ ( p ` m ) = ( _pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0 ..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
4		fourierdlem104.m	|- ( ph -> M e. NN )
5		fourierdlem104.v	|- ( ph -> V e. ( P ` M ) )
6		fourierdlem104.x	|- ( ph -> X e. ran V )
7		fourierdlem104.fcn	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
8		fourierdlem104.fbdioo	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> E. w e. RR A. t e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w )
9		fourierdlem104.fdvcn	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> RR ) )
10		fourierdlem104.fdvbd	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> E. z e. RR A. t e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z )
11		fourierdlem104.r	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( V ` i ) ) )
12		fourierdlem104.l	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( V ` ( i + 1 ) ) ) )
13		fourierdlem104.h	|- H = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
14		fourierdlem104.k	|- K = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
15		fourierdlem104.u	|- U = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
16		fourierdlem104.s	|- S = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
17		fourierdlem104.g	|- G = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) )
18		fourierdlem104.z	|- Z = ( m e. NN |-> S. ( 0 (,) _pi ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` m ) ` s ) ) _d s )
19		fourierdlem104.e	|- E = ( n e. NN |-> ( S. ( 0 (,) _pi ) ( G ` s ) _d s / _pi ) )
20		fourierdlem104.y	|- ( ph -> Y e. ( ( F |` ( X (,) +oo ) ) limCC X ) )
21		fourierdlem104.w	|- ( ph -> W e. ( ( F |` ( -oo (,) X ) ) limCC X ) )
22		fourierdlem104.a	|- ( ph -> A e. ( ( ( RR _D F ) |` ( -oo (,) X ) ) limCC X ) )
23		fourierdlem104.b	|- ( ph -> B e. ( ( ( RR _D F ) |` ( X (,) +oo ) ) limCC X ) )
24		fourierdlem104.d	|- D = ( n e. NN |-> ( s e. RR |-> if ( ( s mod ( 2 x. _pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. _pi ) ) , ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. _pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
25		fourierdlem104.o	|- O = ( U |` ( d [,] _pi ) )
26		fourierdlem104.t	|- T = ( { d , _pi } u. ( ran Q i^i ( d (,) _pi ) ) )
27		fourierdlem104.n	|- N = ( ( # ` T ) - 1 )
28		fourierdlem104.j	|- J = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) )
29		fourierdlem104.q	|- Q = ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` i ) - X ) )
30		fourierdlem104.1	|- C = ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) )
31		fourierdlem104.ch	|- ( ch <-> ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. NN ) /\ ( abs ` S. ( 0 (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
32		eqid	|- ( ZZ>= ` 1 ) = ( ZZ>= ` 1 )
33		1zzd	|- ( ph -> 1 e. ZZ )
34		nfv	|- F/ n ph
35		nfmpt1	|- F/_ n ( n e. NN |-> S. ( 0 (,) _pi ) ( G ` s ) _d s )
36		nfmpt1	|- F/_ n ( n e. NN |-> _pi )
37		nfmpt1	|- F/_ n ( n e. NN |-> ( S. ( 0 (,) _pi ) ( G ` s ) _d s / _pi ) )
38	19 37	nfcxfr	|- F/_ n E
39		nnuz	|- NN = ( ZZ>= ` 1 )
40		elioore	|- ( d e. ( 0 (,) _pi ) -> d e. RR )
41	40	adantl	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> d e. RR )
42		pire	|- _pi e. RR
43	42	a1i	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> _pi e. RR )
44		ioossre	|- ( X (,) +oo ) C_ RR
45	44	a1i	|- ( ph -> ( X (,) +oo ) C_ RR )
46	1 45	fssresd	|- ( ph -> ( F |` ( X (,) +oo ) ) : ( X (,) +oo ) --> RR )
47		ioosscn	|- ( X (,) +oo ) C_ CC
48	47	a1i	|- ( ph -> ( X (,) +oo ) C_ CC )
49		eqid	|- ( TopOpen ` CCfld ) = ( TopOpen ` CCfld )
50		pnfxr	|- +oo e. RR*
51	50	a1i	|- ( ph -> +oo e. RR* )
52	2	ltpnfd	|- ( ph -> X < +oo )
53	49 51 2 52	lptioo1cn	|- ( ph -> X e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` CCfld ) ) ` ( X (,) +oo ) ) )
54	46 48 53 20	limcrecl	|- ( ph -> Y e. RR )
55		ioossre	|- ( -oo (,) X ) C_ RR
56	55	a1i	|- ( ph -> ( -oo (,) X ) C_ RR )
57	1 56	fssresd	|- ( ph -> ( F |` ( -oo (,) X ) ) : ( -oo (,) X ) --> RR )
58		ioosscn	|- ( -oo (,) X ) C_ CC
59	58	a1i	|- ( ph -> ( -oo (,) X ) C_ CC )
60		mnfxr	|- -oo e. RR*
61	60	a1i	|- ( ph -> -oo e. RR* )
62	2	mnfltd	|- ( ph -> -oo < X )
63	49 61 2 62	lptioo2cn	|- ( ph -> X e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` CCfld ) ) ` ( -oo (,) X ) ) )
64	57 59 63 21	limcrecl	|- ( ph -> W e. RR )
65	1 2 54 64 13 14 15	fourierdlem55	|- ( ph -> U : ( -u _pi [,] _pi ) --> RR )
66		ax-resscn	|- RR C_ CC
67	66	a1i	|- ( ph -> RR C_ CC )
68	65 67	fssd	|- ( ph -> U : ( -u _pi [,] _pi ) --> CC )
69	68	adantr	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> U : ( -u _pi [,] _pi ) --> CC )
70	42	renegcli	|- -u _pi e. RR
71	70	a1i	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> -u _pi e. RR )
72	70	a1i	|- ( d e. ( 0 (,) _pi ) -> -u _pi e. RR )
73		0red	|- ( d e. ( 0 (,) _pi ) -> 0 e. RR )
74		negpilt0	|- -u _pi < 0
75	74	a1i	|- ( d e. ( 0 (,) _pi ) -> -u _pi < 0 )
76		0xr	|- 0 e. RR*
77	42	rexri	|- _pi e. RR*
78		ioogtlb	|- ( ( 0 e. RR* /\ _pi e. RR* /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> 0 < d )
79	76 77 78	mp3an12	|- ( d e. ( 0 (,) _pi ) -> 0 < d )
80	72 73 40 75 79	lttrd	|- ( d e. ( 0 (,) _pi ) -> -u _pi < d )
81	72 40 80	ltled	|- ( d e. ( 0 (,) _pi ) -> -u _pi <_ d )
82	81	adantl	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> -u _pi <_ d )
83	43	leidd	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> _pi <_ _pi )
84		iccss	|- ( ( ( -u _pi e. RR /\ _pi e. RR ) /\ ( -u _pi <_ d /\ _pi <_ _pi ) ) -> ( d [,] _pi ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) )
85	71 43 82 83 84	syl22anc	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( d [,] _pi ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) )
86	69 85	fssresd	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( U |` ( d [,] _pi ) ) : ( d [,] _pi ) --> CC )
87	25	a1i	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> O = ( U |` ( d [,] _pi ) ) )
88	87	feq1d	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( O : ( d [,] _pi ) --> CC <-> ( U |` ( d [,] _pi ) ) : ( d [,] _pi ) --> CC ) )
89	86 88	mpbird	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> O : ( d [,] _pi ) --> CC )
90	42	elexi	|- _pi e. _V
91	90	prid2	|- _pi e. { d , _pi }
92		elun1	|- ( _pi e. { d , _pi } -> _pi e. ( { d , _pi } u. ( ran Q i^i ( d (,) _pi ) ) ) )
93	91 92	ax-mp	|- _pi e. ( { d , _pi } u. ( ran Q i^i ( d (,) _pi ) ) )
94	93 26	eleqtrri	|- _pi e. T
95	94	ne0ii	|- T =/= (/)
96	95	a1i	|- ( ph -> T =/= (/) )
97		prfi	|- { d , _pi } e. Fin
98	97	a1i	|- ( ph -> { d , _pi } e. Fin )
99		fzfi	|- ( 0 ... M ) e. Fin
100	29	rnmptfi	|- ( ( 0 ... M ) e. Fin -> ran Q e. Fin )
101	99 100	ax-mp	|- ran Q e. Fin
102		infi	|- ( ran Q e. Fin -> ( ran Q i^i ( d (,) _pi ) ) e. Fin )
103	101 102	mp1i	|- ( ph -> ( ran Q i^i ( d (,) _pi ) ) e. Fin )
104		unfi	|- ( ( { d , _pi } e. Fin /\ ( ran Q i^i ( d (,) _pi ) ) e. Fin ) -> ( { d , _pi } u. ( ran Q i^i ( d (,) _pi ) ) ) e. Fin )
105	98 103 104	syl2anc	|- ( ph -> ( { d , _pi } u. ( ran Q i^i ( d (,) _pi ) ) ) e. Fin )
106	26 105	eqeltrid	|- ( ph -> T e. Fin )
107		hashnncl	|- ( T e. Fin -> ( ( # ` T ) e. NN <-> T =/= (/) ) )
108	106 107	syl	|- ( ph -> ( ( # ` T ) e. NN <-> T =/= (/) ) )
109	96 108	mpbird	|- ( ph -> ( # ` T ) e. NN )
110		nnm1nn0	|- ( ( # ` T ) e. NN -> ( ( # ` T ) - 1 ) e. NN0 )
111	109 110	syl	|- ( ph -> ( ( # ` T ) - 1 ) e. NN0 )
112	27 111	eqeltrid	|- ( ph -> N e. NN0 )
113	112	adantr	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> N e. NN0 )
114		0red	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> 0 e. RR )
115		1red	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> 1 e. RR )
116	113	nn0red	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> N e. RR )
117		0lt1	|- 0 < 1
118	117	a1i	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> 0 < 1 )
119		2re	|- 2 e. RR
120	119	a1i	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> 2 e. RR )
121	109	nnred	|- ( ph -> ( # ` T ) e. RR )
122	121	adantr	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( # ` T ) e. RR )
123		iooltub	|- ( ( 0 e. RR* /\ _pi e. RR* /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> d < _pi )
124	76 77 123	mp3an12	|- ( d e. ( 0 (,) _pi ) -> d < _pi )
125	40 124	ltned	|- ( d e. ( 0 (,) _pi ) -> d =/= _pi )
126	125	adantl	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> d =/= _pi )
127		hashprg	|- ( ( d e. RR /\ _pi e. RR ) -> ( d =/= _pi <-> ( # ` { d , _pi } ) = 2 ) )
128	41 42 127	sylancl	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( d =/= _pi <-> ( # ` { d , _pi } ) = 2 ) )
129	126 128	mpbid	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( # ` { d , _pi } ) = 2 )
130	129	eqcomd	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> 2 = ( # ` { d , _pi } ) )
131	106	adantr	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> T e. Fin )
132		ssun1	|- { d , _pi } C_ ( { d , _pi } u. ( ran Q i^i ( d (,) _pi ) ) )
133	132 26	sseqtrri	|- { d , _pi } C_ T
134		hashssle	|- ( ( T e. Fin /\ { d , _pi } C_ T ) -> ( # ` { d , _pi } ) <_ ( # ` T ) )
135	131 133 134	sylancl	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( # ` { d , _pi } ) <_ ( # ` T ) )
136	130 135	eqbrtrd	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> 2 <_ ( # ` T ) )
137	120 122 115 136	lesub1dd	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( 2 - 1 ) <_ ( ( # ` T ) - 1 ) )
138		1e2m1	|- 1 = ( 2 - 1 )
139	137 138 27	3brtr4g	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> 1 <_ N )
140	114 115 116 118 139	ltletrd	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> 0 < N )
141	140	gt0ne0d	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> N =/= 0 )
142		elnnne0	|- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ N =/= 0 ) )
143	113 141 142	sylanbrc	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> N e. NN )
144	41	leidd	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> d <_ d )
145	42	a1i	|- ( d e. ( 0 (,) _pi ) -> _pi e. RR )
146	40 145 124	ltled	|- ( d e. ( 0 (,) _pi ) -> d <_ _pi )
147	146	adantl	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> d <_ _pi )
148	41 43 41 144 147	eliccd	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> d e. ( d [,] _pi ) )
149	41 43 43 147 83	eliccd	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> _pi e. ( d [,] _pi ) )
150	148 149	jca	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( d e. ( d [,] _pi ) /\ _pi e. ( d [,] _pi ) ) )
151		vex	|- d e. _V
152	151 90	prss	|- ( ( d e. ( d [,] _pi ) /\ _pi e. ( d [,] _pi ) ) <-> { d , _pi } C_ ( d [,] _pi ) )
153	150 152	sylib	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> { d , _pi } C_ ( d [,] _pi ) )
154		inss2	|- ( ran Q i^i ( d (,) _pi ) ) C_ ( d (,) _pi )
155	154	a1i	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( ran Q i^i ( d (,) _pi ) ) C_ ( d (,) _pi ) )
156		ioossicc	|- ( d (,) _pi ) C_ ( d [,] _pi )
157	155 156	sstrdi	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( ran Q i^i ( d (,) _pi ) ) C_ ( d [,] _pi ) )
158	153 157	unssd	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( { d , _pi } u. ( ran Q i^i ( d (,) _pi ) ) ) C_ ( d [,] _pi ) )
159	26 158	eqsstrid	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> T C_ ( d [,] _pi ) )
160	151	prid1	|- d e. { d , _pi }
161		elun1	|- ( d e. { d , _pi } -> d e. ( { d , _pi } u. ( ran Q i^i ( d (,) _pi ) ) ) )
162	160 161	ax-mp	|- d e. ( { d , _pi } u. ( ran Q i^i ( d (,) _pi ) ) )
163	162 26	eleqtrri	|- d e. T
164	163	a1i	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> d e. T )
165	94	a1i	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> _pi e. T )
166	131 27 28 41 43 159 164 165	fourierdlem52	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( ( J : ( 0 ... N ) --> ( d [,] _pi ) /\ ( J ` 0 ) = d ) /\ ( J ` N ) = _pi ) )
167	166	simplld	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> J : ( 0 ... N ) --> ( d [,] _pi ) )
168	166	simplrd	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( J ` 0 ) = d )
169	166	simprd	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( J ` N ) = _pi )
170		elfzoelz	|- ( k e. ( 0 ..^ N ) -> k e. ZZ )
171	170	zred	|- ( k e. ( 0 ..^ N ) -> k e. RR )
172	171	adantl	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> k e. RR )
173	172	ltp1d	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> k < ( k + 1 ) )
174	40 145	jca	|- ( d e. ( 0 (,) _pi ) -> ( d e. RR /\ _pi e. RR ) )
175	151 90	prss	|- ( ( d e. RR /\ _pi e. RR ) <-> { d , _pi } C_ RR )
176	174 175	sylib	|- ( d e. ( 0 (,) _pi ) -> { d , _pi } C_ RR )
177	176	adantl	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> { d , _pi } C_ RR )
178		ioossre	|- ( d (,) _pi ) C_ RR
179	154 178	sstri	|- ( ran Q i^i ( d (,) _pi ) ) C_ RR
180	179	a1i	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( ran Q i^i ( d (,) _pi ) ) C_ RR )
181	177 180	unssd	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( { d , _pi } u. ( ran Q i^i ( d (,) _pi ) ) ) C_ RR )
182	26 181	eqsstrid	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> T C_ RR )
183	131 182 28 27	fourierdlem36	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> J Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) )
184	183	adantr	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> J Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) )
185		elfzofz	|- ( k e. ( 0 ..^ N ) -> k e. ( 0 ... N ) )
186	185	adantl	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> k e. ( 0 ... N ) )
187		fzofzp1	|- ( k e. ( 0 ..^ N ) -> ( k + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
188	187	adantl	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
189		isorel	|- ( ( J Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) /\ ( k e. ( 0 ... N ) /\ ( k + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( k < ( k + 1 ) <-> ( J ` k ) < ( J ` ( k + 1 ) ) ) )
190	184 186 188 189	syl12anc	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( k < ( k + 1 ) <-> ( J ` k ) < ( J ` ( k + 1 ) ) ) )
191	173 190	mpbid	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( J ` k ) < ( J ` ( k + 1 ) ) )
192	65	adantr	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> U : ( -u _pi [,] _pi ) --> RR )
193	192 85	feqresmpt	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( U |` ( d [,] _pi ) ) = ( s e. ( d [,] _pi ) |-> ( U ` s ) ) )
194	85	sselda	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> s e. ( -u _pi [,] _pi ) )
195	1 2 54 64 13	fourierdlem9	|- ( ph -> H : ( -u _pi [,] _pi ) --> RR )
196	195	ad2antrr	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> H : ( -u _pi [,] _pi ) --> RR )
197	196 194	ffvelrnd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> ( H ` s ) e. RR )
198	14	fourierdlem43	|- K : ( -u _pi [,] _pi ) --> RR
199	198	a1i	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> K : ( -u _pi [,] _pi ) --> RR )
200	199 194	ffvelrnd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> ( K ` s ) e. RR )
201	197 200	remulcld	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) e. RR )
202	15	fvmpt2	|- ( ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) e. RR ) -> ( U ` s ) = ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
203	194 201 202	syl2anc	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> ( U ` s ) = ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
204		0red	|- ( ( d e. ( 0 (,) _pi ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> 0 e. RR )
205	40	adantr	|- ( ( d e. ( 0 (,) _pi ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> d e. RR )
206	42	a1i	|- ( ( d e. ( 0 (,) _pi ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> _pi e. RR )
207		simpr	|- ( ( d e. ( 0 (,) _pi ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> s e. ( d [,] _pi ) )
208		eliccre	|- ( ( d e. RR /\ _pi e. RR /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> s e. RR )
209	205 206 207 208	syl3anc	|- ( ( d e. ( 0 (,) _pi ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> s e. RR )
210	79	adantr	|- ( ( d e. ( 0 (,) _pi ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> 0 < d )
211	205	rexrd	|- ( ( d e. ( 0 (,) _pi ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> d e. RR* )
212	77	a1i	|- ( ( d e. ( 0 (,) _pi ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> _pi e. RR* )
213		iccgelb	|- ( ( d e. RR* /\ _pi e. RR* /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> d <_ s )
214	211 212 207 213	syl3anc	|- ( ( d e. ( 0 (,) _pi ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> d <_ s )
215	204 205 209 210 214	ltletrd	|- ( ( d e. ( 0 (,) _pi ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> 0 < s )
216	215	gt0ne0d	|- ( ( d e. ( 0 (,) _pi ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> s =/= 0 )
217	216	adantll	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> s =/= 0 )
218	217	neneqd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> -. s = 0 )
219	218	iffalsed	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) )
220	215	adantll	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> 0 < s )
221	220	iftrued	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) = Y )
222	221	oveq2d	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) = ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) )
223	222	oveq1d	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / s ) )
224	219 223	eqtrd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / s ) )
225	1	ad2antrr	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> F : RR --> RR )
226	2	ad2antrr	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> X e. RR )
227		iccssre	|- ( ( -u _pi e. RR /\ _pi e. RR ) -> ( -u _pi [,] _pi ) C_ RR )
228	70 42 227	mp2an	|- ( -u _pi [,] _pi ) C_ RR
229	228 194	sseldi	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> s e. RR )
230	226 229	readdcld	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> ( X + s ) e. RR )
231	225 230	ffvelrnd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )
232	54	ad2antrr	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> Y e. RR )
233	231 232	resubcld	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) e. RR )
234	233 229 217	redivcld	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / s ) e. RR )
235	224 234	eqeltrd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) e. RR )
236	13	fvmpt2	|- ( ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) /\ if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) e. RR ) -> ( H ` s ) = if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
237	194 235 236	syl2anc	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> ( H ` s ) = if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
238	237 219 223	3eqtrd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> ( H ` s ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / s ) )
239	206	renegcld	|- ( ( d e. ( 0 (,) _pi ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> -u _pi e. RR )
240	74	a1i	|- ( ( d e. ( 0 (,) _pi ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> -u _pi < 0 )
241	239 204 209 240 215	lttrd	|- ( ( d e. ( 0 (,) _pi ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> -u _pi < s )
242	239 209 241	ltled	|- ( ( d e. ( 0 (,) _pi ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> -u _pi <_ s )
243		iccleub	|- ( ( d e. RR* /\ _pi e. RR* /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> s <_ _pi )
244	211 212 207 243	syl3anc	|- ( ( d e. ( 0 (,) _pi ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> s <_ _pi )
245	239 206 209 242 244	eliccd	|- ( ( d e. ( 0 (,) _pi ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> s e. ( -u _pi [,] _pi ) )
246	216	neneqd	|- ( ( d e. ( 0 (,) _pi ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> -. s = 0 )
247	246	iffalsed	|- ( ( d e. ( 0 (,) _pi ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
248	119	a1i	|- ( ( d e. ( 0 (,) _pi ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> 2 e. RR )
249	209	rehalfcld	|- ( ( d e. ( 0 (,) _pi ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> ( s / 2 ) e. RR )
250	249	resincld	|- ( ( d e. ( 0 (,) _pi ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. RR )
251	248 250	remulcld	|- ( ( d e. ( 0 (,) _pi ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. RR )
252		2cnd	|- ( ( d e. ( 0 (,) _pi ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> 2 e. CC )
253	209	recnd	|- ( ( d e. ( 0 (,) _pi ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> s e. CC )
254	253	halfcld	|- ( ( d e. ( 0 (,) _pi ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> ( s / 2 ) e. CC )
255	254	sincld	|- ( ( d e. ( 0 (,) _pi ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. CC )
256		2ne0	|- 2 =/= 0
257	256	a1i	|- ( ( d e. ( 0 (,) _pi ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> 2 =/= 0 )
258		fourierdlem44	|- ( ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) /\ s =/= 0 ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) =/= 0 )
259	245 216 258	syl2anc	|- ( ( d e. ( 0 (,) _pi ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) =/= 0 )
260	252 255 257 259	mulne0d	|- ( ( d e. ( 0 (,) _pi ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) =/= 0 )
261	209 251 260	redivcld	|- ( ( d e. ( 0 (,) _pi ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) e. RR )
262	247 261	eqeltrd	|- ( ( d e. ( 0 (,) _pi ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) e. RR )
263	14	fvmpt2	|- ( ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) /\ if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) e. RR ) -> ( K ` s ) = if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
264	245 262 263	syl2anc	|- ( ( d e. ( 0 (,) _pi ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> ( K ` s ) = if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
265	264	adantll	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> ( K ` s ) = if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
266	238 265	oveq12d	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) = ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / s ) x. if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
267	218	iffalsed	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
268	267	oveq2d	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / s ) x. if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
269	203 266 268	3eqtrd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> ( U ` s ) = ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
270	269	mpteq2dva	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( s e. ( d [,] _pi ) |-> ( U ` s ) ) = ( s e. ( d [,] _pi ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
271	87 193 270	3eqtrd	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> O = ( s e. ( d [,] _pi ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
272	271	adantr	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> O = ( s e. ( d [,] _pi ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
273	272	reseq1d	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( O |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( s e. ( d [,] _pi ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) )
274	1	adantr	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> F : RR --> RR )
275	2	adantr	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> X e. RR )
276	4	adantr	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> M e. NN )
277	5	adantr	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> V e. ( P ` M ) )
278	7	adantlr	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
279	11	adantlr	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( V ` i ) ) )
280	12	adantlr	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( V ` ( i + 1 ) ) ) )
281	124	adantl	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> d < _pi )
282	73 40	ltnled	|- ( d e. ( 0 (,) _pi ) -> ( 0 < d <-> -. d <_ 0 ) )
283	79 282	mpbid	|- ( d e. ( 0 (,) _pi ) -> -. d <_ 0 )
284	283	intn3an2d	|- ( d e. ( 0 (,) _pi ) -> -. ( 0 e. RR /\ d <_ 0 /\ 0 <_ _pi ) )
285		elicc2	|- ( ( d e. RR /\ _pi e. RR ) -> ( 0 e. ( d [,] _pi ) <-> ( 0 e. RR /\ d <_ 0 /\ 0 <_ _pi ) ) )
286	40 42 285	sylancl	|- ( d e. ( 0 (,) _pi ) -> ( 0 e. ( d [,] _pi ) <-> ( 0 e. RR /\ d <_ 0 /\ 0 <_ _pi ) ) )
287	284 286	mtbird	|- ( d e. ( 0 (,) _pi ) -> -. 0 e. ( d [,] _pi ) )
288	287	adantl	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> -. 0 e. ( d [,] _pi ) )
289	54	adantr	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> Y e. RR )
290		eqid	|- ( s e. ( d [,] _pi ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) = ( s e. ( d [,] _pi ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
291		eqid	|- ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - Y ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - Y ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) )
292		eqid	|- ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - Y ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - Y ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) )
293		fveq2	|- ( l = i -> ( Q ` l ) = ( Q ` i ) )
294		oveq1	|- ( l = i -> ( l + 1 ) = ( i + 1 ) )
295	294	fveq2d	|- ( l = i -> ( Q ` ( l + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) )
296	293 295	oveq12d	|- ( l = i -> ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
297	296	sseq2d	|- ( l = i -> ( ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) <-> ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
298	297	cbvriotavw	|- ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) = ( iota_ i e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
299	274 275 3 276 277 278 279 280 41 43 281 85 288 289 290 29 26 27 28 291 292 298	fourierdlem86	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - Y ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( ( s e. ( d [,] _pi ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` ( k + 1 ) ) ) /\ ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - Y ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( ( s e. ( d [,] _pi ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` k ) ) ) /\ ( ( s e. ( d [,] _pi ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) )
300	299	simprd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( s e. ( d [,] _pi ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
301	273 300	eqeltrd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( O |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
302	299	simplld	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - Y ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( ( s e. ( d [,] _pi ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` ( k + 1 ) ) ) )
303	272	eqcomd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( s e. ( d [,] _pi ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) = O )
304	303	reseq1d	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( s e. ( d [,] _pi ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( O |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) )
305	304	oveq1d	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( s e. ( d [,] _pi ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( O |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` ( k + 1 ) ) ) )
306	302 305	eleqtrd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - Y ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( O |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` ( k + 1 ) ) ) )
307	299	simplrd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - Y ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( ( s e. ( d [,] _pi ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` k ) ) )
308	304	oveq1d	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( s e. ( d [,] _pi ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` k ) ) = ( ( O |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` k ) ) )
309	307 308	eleqtrd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - Y ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( O |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` k ) ) )
310		eqid	|- ( RR _D O ) = ( RR _D O )
311	89	adantr	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> O : ( d [,] _pi ) --> CC )
312	41	ad2antrr	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> d e. RR )
313	42	a1i	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> _pi e. RR )
314		elioore	|- ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) -> s e. RR )
315	314	adantl	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> s e. RR )
316	85 228	sstrdi	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( d [,] _pi ) C_ RR )
317	316	adantr	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( d [,] _pi ) C_ RR )
318	167	adantr	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> J : ( 0 ... N ) --> ( d [,] _pi ) )
319	318 186	ffvelrnd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( J ` k ) e. ( d [,] _pi ) )
320	317 319	sseldd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( J ` k ) e. RR )
321	320	adantr	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( J ` k ) e. RR )
322	41	adantr	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> d e. RR )
323	322	rexrd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> d e. RR* )
324	77	a1i	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> _pi e. RR* )
325		iccgelb	|- ( ( d e. RR* /\ _pi e. RR* /\ ( J ` k ) e. ( d [,] _pi ) ) -> d <_ ( J ` k ) )
326	323 324 319 325	syl3anc	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> d <_ ( J ` k ) )
327	326	adantr	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> d <_ ( J ` k ) )
328	321	rexrd	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( J ` k ) e. RR* )
329	318 188	ffvelrnd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( J ` ( k + 1 ) ) e. ( d [,] _pi ) )
330	317 329	sseldd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( J ` ( k + 1 ) ) e. RR )
331	330	rexrd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( J ` ( k + 1 ) ) e. RR* )
332	331	adantr	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( J ` ( k + 1 ) ) e. RR* )
333		simpr	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) )
334		ioogtlb	|- ( ( ( J ` k ) e. RR* /\ ( J ` ( k + 1 ) ) e. RR* /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( J ` k ) < s )
335	328 332 333 334	syl3anc	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( J ` k ) < s )
336	312 321 315 327 335	lelttrd	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> d < s )
337	312 315 336	ltled	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> d <_ s )
338	330	adantr	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( J ` ( k + 1 ) ) e. RR )
339		iooltub	|- ( ( ( J ` k ) e. RR* /\ ( J ` ( k + 1 ) ) e. RR* /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> s < ( J ` ( k + 1 ) ) )
340	328 332 333 339	syl3anc	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> s < ( J ` ( k + 1 ) ) )
341		iccleub	|- ( ( d e. RR* /\ _pi e. RR* /\ ( J ` ( k + 1 ) ) e. ( d [,] _pi ) ) -> ( J ` ( k + 1 ) ) <_ _pi )
342	323 324 329 341	syl3anc	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( J ` ( k + 1 ) ) <_ _pi )
343	342	adantr	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( J ` ( k + 1 ) ) <_ _pi )
344	315 338 313 340 343	ltletrd	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> s < _pi )
345	315 313 344	ltled	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> s <_ _pi )
346	312 313 315 337 345	eliccd	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> s e. ( d [,] _pi ) )
347	346	ralrimiva	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> A. s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) s e. ( d [,] _pi ) )
348		dfss3	|- ( ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( d [,] _pi ) <-> A. s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) s e. ( d [,] _pi ) )
349	347 348	sylibr	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( d [,] _pi ) )
350	311 349	feqresmpt	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( O |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( O ` s ) ) )
351		simplll	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ph )
352		simpllr	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> d e. ( 0 (,) _pi ) )
353	25	fveq1i	|- ( O ` s ) = ( ( U |` ( d [,] _pi ) ) ` s )
354	353	a1i	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> ( O ` s ) = ( ( U |` ( d [,] _pi ) ) ` s ) )
355		fvres	|- ( s e. ( d [,] _pi ) -> ( ( U |` ( d [,] _pi ) ) ` s ) = ( U ` s ) )
356	355	adantl	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> ( ( U |` ( d [,] _pi ) ) ` s ) = ( U ` s ) )
357	265 267	eqtrd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> ( K ` s ) = ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
358	238 357	oveq12d	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) = ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
359	233	recnd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) e. CC )
360	253	adantll	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> s e. CC )
361		2cnd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> 2 e. CC )
362	360	halfcld	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> ( s / 2 ) e. CC )
363	362	sincld	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. CC )
364	361 363	mulcld	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. CC )
365	260	adantll	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) =/= 0 )
366	359 360 364 217 365	dmdcan2d	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
367	203 358 366	3eqtrd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> ( U ` s ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
368	354 356 367	3eqtrd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ s e. ( d [,] _pi ) ) -> ( O ` s ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
369	351 352 346 368	syl21anc	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( O ` s ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
370	351 352 346 366	syl21anc	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
371	370	eqcomd	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
372		eqidd	|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - Y ) / t ) ) = ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - Y ) / t ) ) )
373		oveq2	|- ( t = s -> ( X + t ) = ( X + s ) )
374	373	fveq2d	|- ( t = s -> ( F ` ( X + t ) ) = ( F ` ( X + s ) ) )
375	374	oveq1d	|- ( t = s -> ( ( F ` ( X + t ) ) - Y ) = ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) )
376		id	|- ( t = s -> t = s )
377	375 376	oveq12d	|- ( t = s -> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - Y ) / t ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / s ) )
378	377	adantl	|- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) /\ t = s ) -> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - Y ) / t ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / s ) )
379		simpr	|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) )
380		ovex	|- ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / s ) e. _V
381	380	a1i	|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / s ) e. _V )
382	372 378 379 381	fvmptd	|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - Y ) / t ) ) ` s ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / s ) )
383		eqidd	|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) = ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) )
384		oveq1	|- ( t = s -> ( t / 2 ) = ( s / 2 ) )
385	384	fveq2d	|- ( t = s -> ( sin ` ( t / 2 ) ) = ( sin ` ( s / 2 ) ) )
386	385	oveq2d	|- ( t = s -> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) = ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )
387	376 386	oveq12d	|- ( t = s -> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) = ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
388	387	adantl	|- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) /\ t = s ) -> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) = ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
389		ovex	|- ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) e. _V
390	389	a1i	|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) e. _V )
391	383 388 379 390	fvmptd	|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) = ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
392	382 391	oveq12d	|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - Y ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) = ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
393	392	eqcomd	|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - Y ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) )
394	393	adantllr	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - Y ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) )
395	369 371 394	3eqtrd	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( O ` s ) = ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - Y ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) )
396	395	mpteq2dva	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( O ` s ) ) = ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - Y ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) ) )
397	350 396	eqtr2d	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - Y ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) ) = ( O |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) )
398	397	oveq2d	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( RR _D ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - Y ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) ) ) = ( RR _D ( O |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
399	66	a1i	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> RR C_ CC )
400	349 317	sstrd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ RR )
401	49	tgioo2	|- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t RR )
402	49 401	dvres	|- ( ( ( RR C_ CC /\ O : ( d [,] _pi ) --> CC ) /\ ( ( d [,] _pi ) C_ RR /\ ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ RR ) ) -> ( RR _D ( O |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = ( ( RR _D O ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
403	399 311 317 400 402	syl22anc	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( RR _D ( O |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = ( ( RR _D O ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
404		ioontr	|- ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) )
405	404	a1i	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) )
406	405	reseq2d	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( RR _D O ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = ( ( RR _D O ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) )
407	398 403 406	3eqtrrd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( RR _D O ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( RR _D ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - Y ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) ) ) )
408	1	ad2antrr	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> F : RR --> RR )
409	2	ad2antrr	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> X e. RR )
410	4	ad2antrr	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> M e. NN )
411	5	ad2antrr	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> V e. ( P ` M ) )
412	9	ad4ant14	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> RR ) )
413	85	adantr	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( d [,] _pi ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) )
414	349 413	sstrd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) )
415	76	a1i	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> 0 e. RR* )
416		0red	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> 0 e. RR )
417	79	ad2antlr	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> 0 < d )
418	416 322 320 417 326	ltletrd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> 0 < ( J ` k ) )
419	320 331 415 418	ltnelicc	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> -. 0 e. ( ( J ` k ) [,] ( J ` ( k + 1 ) ) ) )
420	54	ad2antrr	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> Y e. RR )
421	42	a1i	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> _pi e. RR )
422	281	adantr	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> d < _pi )
423		simpr	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> k e. ( 0 ..^ N ) )
424		biid	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ v e. ( 0 ..^ M ) ) /\ ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` v ) (,) ( Q ` ( v + 1 ) ) ) ) <-> ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ v e. ( 0 ..^ M ) ) /\ ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` v ) (,) ( Q ` ( v + 1 ) ) ) ) )
425	409 3 410 411 322 421 422 413 29 26 27 28 423 298 424	fourierdlem50	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) e. ( 0 ..^ M ) /\ ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) (,) ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ) ) )
426	425	simpld	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) e. ( 0 ..^ M ) )
427	425	simprd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) (,) ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ) )
428	377	cbvmptv	|- ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - Y ) / t ) ) = ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / s ) )
429	387	cbvmptv	|- ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
430		eqid	|- ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - Y ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) ) = ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - Y ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) )
431	408 409 3 410 411 412 320 330 191 414 419 420 29 426 427 428 429 430	fourierdlem72	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( RR _D ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - Y ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) ) ) e. ( ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
432	407 431	eqeltrd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( RR _D O ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
433		eqid	|- ( s e. ( d [,] _pi ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( d [,] _pi ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
434		eqid	|- ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) )
435	30 426	eqeltrid	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> C e. ( 0 ..^ M ) )
436		simpll	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ph )
437	436 435	jca	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) )
438		eleq1	|- ( i = C -> ( i e. ( 0 ..^ M ) <-> C e. ( 0 ..^ M ) ) )
439	438	anbi2d	|- ( i = C -> ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) <-> ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) ) )
440		fveq2	|- ( i = C -> ( V ` i ) = ( V ` C ) )
441		oveq1	|- ( i = C -> ( i + 1 ) = ( C + 1 ) )
442	441	fveq2d	|- ( i = C -> ( V ` ( i + 1 ) ) = ( V ` ( C + 1 ) ) )
443	440 442	oveq12d	|- ( i = C -> ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) )
444		raleq	|- ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) -> ( A. t e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w <-> A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) )
445	443 444	syl	|- ( i = C -> ( A. t e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w <-> A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) )
446	445	rexbidv	|- ( i = C -> ( E. w e. RR A. t e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w <-> E. w e. RR A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) )
447	439 446	imbi12d	|- ( i = C -> ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> E. w e. RR A. t e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) <-> ( ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) -> E. w e. RR A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) ) )
448	447 8	vtoclg	|- ( C e. ( 0 ..^ M ) -> ( ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) -> E. w e. RR A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) )
449	435 437 448	sylc	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> E. w e. RR A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w )
450		nfv	|- F/ t ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) )
451		nfra1	|- F/ t A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w
452	450 451	nfan	|- F/ t ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w )
453		simplr	|- ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w )
454	70	a1i	|- ( ph -> -u _pi e. RR )
455	454 2	readdcld	|- ( ph -> ( -u _pi + X ) e. RR )
456	42	a1i	|- ( ph -> _pi e. RR )
457	456 2	readdcld	|- ( ph -> ( _pi + X ) e. RR )
458	455 457	iccssred	|- ( ph -> ( ( -u _pi + X ) [,] ( _pi + X ) ) C_ RR )
459		ressxr	|- RR C_ RR*
460	458 459	sstrdi	|- ( ph -> ( ( -u _pi + X ) [,] ( _pi + X ) ) C_ RR* )
461	460	ad2antrr	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( -u _pi + X ) [,] ( _pi + X ) ) C_ RR* )
462	3 410 411	fourierdlem15	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> V : ( 0 ... M ) --> ( ( -u _pi + X ) [,] ( _pi + X ) ) )
463		elfzofz	|- ( C e. ( 0 ..^ M ) -> C e. ( 0 ... M ) )
464	435 463	syl	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> C e. ( 0 ... M ) )
465	462 464	ffvelrnd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( V ` C ) e. ( ( -u _pi + X ) [,] ( _pi + X ) ) )
466	461 465	sseldd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( V ` C ) e. RR* )
467	466	adantr	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( V ` C ) e. RR* )
468		fzofzp1	|- ( C e. ( 0 ..^ M ) -> ( C + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
469	435 468	syl	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( C + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
470	462 469	ffvelrnd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( V ` ( C + 1 ) ) e. ( ( -u _pi + X ) [,] ( _pi + X ) ) )
471	461 470	sseldd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( V ` ( C + 1 ) ) e. RR* )
472	471	adantr	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( V ` ( C + 1 ) ) e. RR* )
473		elioore	|- ( t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> t e. RR )
474	473	adantl	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> t e. RR )
475	70	a1i	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> -u _pi e. RR )
476	475 421 409 3 410 411 464 29	fourierdlem13	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( Q ` C ) = ( ( V ` C ) - X ) /\ ( V ` C ) = ( X + ( Q ` C ) ) ) )
477	476	simprd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( V ` C ) = ( X + ( Q ` C ) ) )
478	477	adantr	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( V ` C ) = ( X + ( Q ` C ) ) )
479	458	ad2antrr	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( -u _pi + X ) [,] ( _pi + X ) ) C_ RR )
480	479 465	sseldd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( V ` C ) e. RR )
481	480	adantr	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( V ` C ) e. RR )
482	478 481	eqeltrrd	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( Q ` C ) ) e. RR )
483	409 320	readdcld	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( X + ( J ` k ) ) e. RR )
484	483	adantr	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( J ` k ) ) e. RR )
485	476	simpld	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( Q ` C ) = ( ( V ` C ) - X ) )
486	480 409	resubcld	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( V ` C ) - X ) e. RR )
487	485 486	eqeltrd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( Q ` C ) e. RR )
488	475 421 409 3 410 411 469 29	fourierdlem13	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( Q ` ( C + 1 ) ) = ( ( V ` ( C + 1 ) ) - X ) /\ ( V ` ( C + 1 ) ) = ( X + ( Q ` ( C + 1 ) ) ) ) )
489	488	simpld	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( Q ` ( C + 1 ) ) = ( ( V ` ( C + 1 ) ) - X ) )
490	479 470	sseldd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( V ` ( C + 1 ) ) e. RR )
491	490 409	resubcld	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( V ` ( C + 1 ) ) - X ) e. RR )
492	489 491	eqeltrd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( Q ` ( C + 1 ) ) e. RR )
493	30	eqcomi	|- ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) = C
494	493	fveq2i	|- ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) = ( Q ` C )
495	493	oveq1i	|- ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) = ( C + 1 )
496	495	fveq2i	|- ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) = ( Q ` ( C + 1 ) )
497	494 496	oveq12i	|- ( ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) (,) ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ) = ( ( Q ` C ) (,) ( Q ` ( C + 1 ) ) )
498	427 497	sseqtrdi	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` C ) (,) ( Q ` ( C + 1 ) ) ) )
499	487 492 320 330 191 498	fourierdlem10	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( Q ` C ) <_ ( J ` k ) /\ ( J ` ( k + 1 ) ) <_ ( Q ` ( C + 1 ) ) ) )
500	499	simpld	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( Q ` C ) <_ ( J ` k ) )
501	487 320 409 500	leadd2dd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( X + ( Q ` C ) ) <_ ( X + ( J ` k ) ) )
502	501	adantr	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( Q ` C ) ) <_ ( X + ( J ` k ) ) )
503	484	rexrd	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( J ` k ) ) e. RR* )
504	409 330	readdcld	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) e. RR )
505	504	rexrd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) e. RR* )
506	505	adantr	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) e. RR* )
507		simpr	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) )
508		ioogtlb	|- ( ( ( X + ( J ` k ) ) e. RR* /\ ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) e. RR* /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( J ` k ) ) < t )
509	503 506 507 508	syl3anc	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( J ` k ) ) < t )
510	482 484 474 502 509	lelttrd	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( Q ` C ) ) < t )
511	478 510	eqbrtrd	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( V ` C ) < t )
512	504	adantr	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) e. RR )
513	488	simprd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( V ` ( C + 1 ) ) = ( X + ( Q ` ( C + 1 ) ) ) )
514	513 490	eqeltrrd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( X + ( Q ` ( C + 1 ) ) ) e. RR )
515	514	adantr	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( Q ` ( C + 1 ) ) ) e. RR )
516		iooltub	|- ( ( ( X + ( J ` k ) ) e. RR* /\ ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) e. RR* /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> t < ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) )
517	503 506 507 516	syl3anc	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> t < ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) )
518	499	simprd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( J ` ( k + 1 ) ) <_ ( Q ` ( C + 1 ) ) )
519	330 492 409 518	leadd2dd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( X + ( Q ` ( C + 1 ) ) ) )
520	519	adantr	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( X + ( Q ` ( C + 1 ) ) ) )
521	474 512 515 517 520	ltletrd	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> t < ( X + ( Q ` ( C + 1 ) ) ) )
522	513	eqcomd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( X + ( Q ` ( C + 1 ) ) ) = ( V ` ( C + 1 ) ) )
523	522	adantr	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( Q ` ( C + 1 ) ) ) = ( V ` ( C + 1 ) ) )
524	521 523	breqtrd	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> t < ( V ` ( C + 1 ) ) )
525	467 472 474 511 524	eliood	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) )
526	525	adantlr	|- ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) )
527		rspa	|- ( ( A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w /\ t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w )
528	453 526 527	syl2anc	|- ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w )
529	528	ex	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) -> ( t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) )
530	452 529	ralrimi	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) -> A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w )
531	530	ex	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w -> A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) )
532	531	reximdv	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( E. w e. RR A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w -> E. w e. RR A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) )
533	449 532	mpd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> E. w e. RR A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w )
534	443	raleqdv	|- ( i = C -> ( A. t e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z <-> A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) )
535	534	rexbidv	|- ( i = C -> ( E. z e. RR A. t e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z <-> E. z e. RR A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) )
536	439 535	imbi12d	|- ( i = C -> ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> E. z e. RR A. t e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) <-> ( ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) -> E. z e. RR A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) ) )
537	536 10	vtoclg	|- ( C e. ( 0 ..^ M ) -> ( ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) -> E. z e. RR A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) )
538	435 437 537	sylc	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> E. z e. RR A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z )
539		nfra1	|- F/ t A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z
540	450 539	nfan	|- F/ t ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z )
541	1 67	fssd	|- ( ph -> F : RR --> CC )
542		ssid	|- RR C_ RR
543	542	a1i	|- ( ph -> RR C_ RR )
544		ioossre	|- ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) C_ RR
545	544	a1i	|- ( ph -> ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) C_ RR )
546	49 401	dvres	|- ( ( ( RR C_ CC /\ F : RR --> CC ) /\ ( RR C_ RR /\ ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) C_ RR ) ) -> ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) )
547	67 541 543 545 546	syl22anc	|- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) )
548		ioontr	|- ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) )
549	548	reseq2i	|- ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) )
550	547 549	eqtrdi	|- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
551	550	fveq1d	|- ( ph -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) = ( ( ( RR _D F ) |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ` t ) )
552		fvres	|- ( t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ` t ) = ( ( RR _D F ) ` t ) )
553	551 552	sylan9eq	|- ( ( ph /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) = ( ( RR _D F ) ` t ) )
554	553	ad4ant14	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) = ( ( RR _D F ) ` t ) )
555	554	fveq2d	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) = ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) )
556	555	adantlr	|- ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) = ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) )
557		simplr	|- ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z )
558	525	adantlr	|- ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) )
559		rspa	|- ( ( A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z /\ t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z )
560	557 558 559	syl2anc	|- ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z )
561	556 560	eqbrtrd	|- ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z )
562	561	ex	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) -> ( t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z ) )
563	540 562	ralrimi	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) -> A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z )
564	563	ex	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z -> A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z ) )
565	564	reximdv	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( E. z e. RR A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z -> E. z e. RR A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z ) )
566	538 565	mpd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> E. z e. RR A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z )
567	323 324 318 423	fourierdlem8	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( J ` k ) [,] ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( d [,] _pi ) )
568	143	ad2antrr	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ r e. ( d [,] _pi ) ) /\ -. r e. ran J ) -> N e. NN )
569	167 316	fssd	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> J : ( 0 ... N ) --> RR )
570	569	ad2antrr	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ r e. ( d [,] _pi ) ) /\ -. r e. ran J ) -> J : ( 0 ... N ) --> RR )
571		simpr	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ r e. ( d [,] _pi ) ) -> r e. ( d [,] _pi ) )
572	168	eqcomd	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> d = ( J ` 0 ) )
573	169	eqcomd	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> _pi = ( J ` N ) )
574	572 573	oveq12d	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( d [,] _pi ) = ( ( J ` 0 ) [,] ( J ` N ) ) )
575	574	adantr	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ r e. ( d [,] _pi ) ) -> ( d [,] _pi ) = ( ( J ` 0 ) [,] ( J ` N ) ) )
576	571 575	eleqtrd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ r e. ( d [,] _pi ) ) -> r e. ( ( J ` 0 ) [,] ( J ` N ) ) )
577	576	adantr	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ r e. ( d [,] _pi ) ) /\ -. r e. ran J ) -> r e. ( ( J ` 0 ) [,] ( J ` N ) ) )
578		simpr	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ r e. ( d [,] _pi ) ) /\ -. r e. ran J ) -> -. r e. ran J )
579		fveq2	|- ( j = k -> ( J ` j ) = ( J ` k ) )
580	579	breq1d	|- ( j = k -> ( ( J ` j ) < r <-> ( J ` k ) < r ) )
581	580	cbvrabv	|- { j e. ( 0 ..^ N ) | ( J ` j ) < r } = { k e. ( 0 ..^ N ) | ( J ` k ) < r }
582	581	supeq1i	|- sup ( { j e. ( 0 ..^ N ) | ( J ` j ) < r } , RR , < ) = sup ( { k e. ( 0 ..^ N ) | ( J ` k ) < r } , RR , < )
583	568 570 577 578 582	fourierdlem25	|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ r e. ( d [,] _pi ) ) /\ -. r e. ran J ) -> E. m e. ( 0 ..^ N ) r e. ( ( J ` m ) (,) ( J ` ( m + 1 ) ) ) )
584	541	ad2antrr	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> F : RR --> CC )
585	542	a1i	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> RR C_ RR )
586	544	a1i	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) C_ RR )
587	399 584 585 586 546	syl22anc	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) )
588	525	ralrimiva	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) )
589		dfss3	|- ( ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) C_ ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) <-> A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) )
590	588 589	sylibr	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) C_ ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) )
591		resabs2	|- ( ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) C_ ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) |` ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
592	590 591	syl	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) |` ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
593	549 587 592	3eqtr4a	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( ( RR _D F ) |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) |` ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) )
594	590	resabs1d	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
595	594	eqcomd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
596	593 592 595	3eqtrrd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) )
597	443	reseq2d	|- ( i = C -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) )
598	597 443	feq12d	|- ( i = C -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR <-> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) --> RR ) )
599	439 598	imbi12d	|- ( i = C -> ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR ) <-> ( ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) --> RR ) ) )
600		cncff	|- ( ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> RR ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR )
601	9 600	syl	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR )
602	599 601	vtoclg	|- ( C e. ( 0 ..^ M ) -> ( ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) --> RR ) )
603	602	anabsi7	|- ( ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) --> RR )
604	437 603	syl	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) --> RR )
605	604 590	fssresd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) : ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) --> RR )
606	596 605	feq1dd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) : ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) --> RR )
607	375 386	oveq12d	|- ( t = s -> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - Y ) / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
608	607	cbvmptv	|- ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - Y ) / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
609		fveq2	|- ( r = t -> ( F ` r ) = ( F ` t ) )
610	609	fveq2d	|- ( r = t -> ( abs ` ( F ` r ) ) = ( abs ` ( F ` t ) ) )
611	610	breq1d	|- ( r = t -> ( ( abs ` ( F ` r ) ) <_ w <-> ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) )
612	611	cbvralvw	|- ( A. r e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( F ` r ) ) <_ w <-> A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w )
613	612	anbi2i	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ w e. RR ) /\ z e. RR ) /\ A. r e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( F ` r ) ) <_ w ) <-> ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ w e. RR ) /\ z e. RR ) /\ A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) )
614		fveq2	|- ( r = t -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` r ) = ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) )
615	614	fveq2d	|- ( r = t -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` r ) ) = ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) )
616	615	breq1d	|- ( r = t -> ( ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` r ) ) <_ z <-> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z ) )
617	616	cbvralvw	|- ( A. r e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` r ) ) <_ z <-> A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z )
618	613 617	anbi12i	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ w e. RR ) /\ z e. RR ) /\ A. r e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( F ` r ) ) <_ w ) /\ A. r e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` r ) ) <_ z ) <-> ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ w e. RR ) /\ z e. RR ) /\ A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) /\ A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z ) )
619	274 275 41 43 85 288 289 433 434 533 566 167 191 567 583 606 608 618	fourierdlem80	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D ( s e. ( d [,] _pi ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( d [,] _pi ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b )
620	366	mpteq2dva	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( s e. ( d [,] _pi ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) = ( s e. ( d [,] _pi ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
621	271 620	eqtrd	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> O = ( s e. ( d [,] _pi ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
622	621	oveq2d	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( RR _D O ) = ( RR _D ( s e. ( d [,] _pi ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
623	622	dmeqd	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> dom ( RR _D O ) = dom ( RR _D ( s e. ( d [,] _pi ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
624		nfcv	|- F/_ s dom ( RR _D O )
625		nfcv	|- F/_ s RR
626		nfcv	|- F/_ s _D
627		nfmpt1	|- F/_ s ( s e. ( d [,] _pi ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
628	625 626 627	nfov	|- F/_ s ( RR _D ( s e. ( d [,] _pi ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
629	628	nfdm	|- F/_ s dom ( RR _D ( s e. ( d [,] _pi ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
630	624 629	raleqf	|- ( dom ( RR _D O ) = dom ( RR _D ( s e. ( d [,] _pi ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) -> ( A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b <-> A. s e. dom ( RR _D ( s e. ( d [,] _pi ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b ) )
631	623 630	syl	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b <-> A. s e. dom ( RR _D ( s e. ( d [,] _pi ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b ) )
632	622	fveq1d	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( ( RR _D O ) ` s ) = ( ( RR _D ( s e. ( d [,] _pi ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) )
633	632	fveq2d	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) = ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( d [,] _pi ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) )
634	633	breq1d	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b <-> ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( d [,] _pi ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) )
635	634	ralbidv	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( A. s e. dom ( RR _D ( s e. ( d [,] _pi ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b <-> A. s e. dom ( RR _D ( s e. ( d [,] _pi ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( d [,] _pi ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) )
636	631 635	bitrd	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b <-> A. s e. dom ( RR _D ( s e. ( d [,] _pi ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( d [,] _pi ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) )
637	636	rexbidv	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b <-> E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D ( s e. ( d [,] _pi ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( d [,] _pi ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - Y ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) )
638	619 637	mpbird	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b )
639		eqid	|- ( l e. RR+ |-> S. ( d (,) _pi ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) = ( l e. RR+ |-> S. ( d (,) _pi ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s )
640		eqeq1	|- ( t = s -> ( t = ( J ` k ) <-> s = ( J ` k ) ) )
641		fveq2	|- ( h = l -> ( Q ` h ) = ( Q ` l ) )
642		oveq1	|- ( h = l -> ( h + 1 ) = ( l + 1 ) )
643	642	fveq2d	|- ( h = l -> ( Q ` ( h + 1 ) ) = ( Q ` ( l + 1 ) ) )
644	641 643	oveq12d	|- ( h = l -> ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) = ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) )
645	644	sseq2d	|- ( h = l -> ( ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) <-> ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) )
646	645	cbvriotavw	|- ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) = ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) )
647	646	fveq2i	|- ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) )
648	647	eqeq2i	|- ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) <-> ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) )
649	648	a1i	|- ( T. -> ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) <-> ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) ) )
650		csbeq1	|- ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) = ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) -> [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R = [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R )
651	646 650	mp1i	|- ( T. -> [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R = [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R )
652	649 651	ifbieq1d	|- ( T. -> if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) = if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) )
653	652	mptru	|- if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) = if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) )
654	653	oveq1i	|- ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - Y ) = ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - Y )
655	654	oveq1i	|- ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - Y ) / ( J ` k ) ) = ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - Y ) / ( J ` k ) )
656	655	oveq1i	|- ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - Y ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - Y ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) )
657	656	a1i	|- ( t = s -> ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - Y ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - Y ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) )
658		eqeq1	|- ( t = s -> ( t = ( J ` ( k + 1 ) ) <-> s = ( J ` ( k + 1 ) ) ) )
659	646	oveq1i	|- ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) = ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 )
660	659	fveq2i	|- ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) )
661	660	eqeq2i	|- ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) <-> ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) )
662	661	a1i	|- ( T. -> ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) <-> ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ) )
663		csbeq1	|- ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) = ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) -> [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L = [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L )
664	646 663	mp1i	|- ( T. -> [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L = [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L )
665	662 664	ifbieq1d	|- ( T. -> if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
666	665	mptru	|- if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) )
667	666	oveq1i	|- ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - Y ) = ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - Y )
668	667	oveq1i	|- ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - Y ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - Y ) / ( J ` ( k + 1 ) ) )
669	668	oveq1i	|- ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - Y ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - Y ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) )
670	669	a1i	|- ( t = s -> ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - Y ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - Y ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) )
671		fveq2	|- ( t = s -> ( O ` t ) = ( O ` s ) )
672	658 670 671	ifbieq12d	|- ( t = s -> if ( t = ( J ` ( k + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - Y ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( O ` t ) ) = if ( s = ( J ` ( k + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - Y ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( O ` s ) ) )
673	640 657 672	ifbieq12d	|- ( t = s -> if ( t = ( J ` k ) , ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - Y ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) , if ( t = ( J ` ( k + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - Y ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( O ` t ) ) ) = if ( s = ( J ` k ) , ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - Y ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) , if ( s = ( J ` ( k + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - Y ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( O ` s ) ) ) )
674	673	cbvmptv	|- ( t e. ( ( J ` k ) [,] ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> if ( t = ( J ` k ) , ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - Y ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) , if ( t = ( J ` ( k + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - Y ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( O ` t ) ) ) ) = ( s e. ( ( J ` k ) [,] ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> if ( s = ( J ` k ) , ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - Y ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) , if ( s = ( J ` ( k + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - Y ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( O ` s ) ) ) )
675	41 43 89 143 167 168 169 191 301 306 309 310 432 638 639 674	fourierdlem73	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < e )
676		breq2	|- ( e = a -> ( ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < e <-> ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < a ) )
677	676	rexralbidv	|- ( e = a -> ( E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < e <-> E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < a ) )
678	677	cbvralvw	|- ( A. e e. RR+ E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < e <-> A. a e. RR+ E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < a )
679	675 678	sylib	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> A. a e. RR+ E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < a )
680	679	adantlr	|- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> A. a e. RR+ E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < a )
681		rphalfcl	|- ( e e. RR+ -> ( e / 2 ) e. RR+ )
682	681	ad2antlr	|- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( e / 2 ) e. RR+ )
683		breq2	|- ( a = ( e / 2 ) -> ( ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < a <-> ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
684	683	rexralbidv	|- ( a = ( e / 2 ) -> ( E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < a <-> E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
685	684	rspccva	|- ( ( A. a e. RR+ E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < a /\ ( e / 2 ) e. RR+ ) -> E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
686	680 682 685	syl2anc	|- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
687	156	a1i	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( d (,) _pi ) C_ ( d [,] _pi ) )
688	687	sselda	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ s e. ( d (,) _pi ) ) -> s e. ( d [,] _pi ) )
689	688 355	syl	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ s e. ( d (,) _pi ) ) -> ( ( U |` ( d [,] _pi ) ) ` s ) = ( U ` s ) )
690	353 689	eqtr2id	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ s e. ( d (,) _pi ) ) -> ( U ` s ) = ( O ` s ) )
691	690	oveq1d	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ s e. ( d (,) _pi ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) = ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) )
692	691	itgeq2dv	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> S. ( d (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s = S. ( d (,) _pi ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s )
693	692	adantr	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> S. ( d (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s = S. ( d (,) _pi ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s )
694	693	fveq2d	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) = ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) )
695		simpr	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
696	694 695	eqbrtrd	|- ( ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
697	696	ex	|- ( ( ph /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) -> ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
698	697	adantlr	|- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) -> ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
699	698	ralimdv	|- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) -> A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
700	699	reximdv	|- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) -> E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
701	686 700	mpd	|- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) -> E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
702	701	adantr	|- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( 0 (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
703		nfv	|- F/ k ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( 0 (,) _pi ) )
704		nfra1	|- F/ k A. k e. NN ( abs ` S. ( 0 (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 )
705	703 704	nfan	|- F/ k ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( 0 (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
706		nfv	|- F/ k j e. NN
707	705 706	nfan	|- F/ k ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( 0 (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN )
708		nfv	|- F/ k A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 )
709	707 708	nfan	|- F/ k ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( 0 (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
710		simpll	|- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) )
711		eluznn	|- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. NN )
712	711	adantll	|- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. NN )
713	710 712	jca	|- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. NN ) )
714	713	adantllr	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( 0 (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. NN ) )
715		simpllr	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( 0 (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> A. k e. NN ( abs ` S. ( 0 (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
716	711	adantll	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( 0 (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. NN )
717		rspa	|- ( ( A. k e. NN ( abs ` S. ( 0 (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) /\ k e. NN ) -> ( abs ` S. ( 0 (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
718	715 716 717	syl2anc	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( 0 (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` S. ( 0 (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
719	714 718	jca	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( 0 (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. NN ) /\ ( abs ` S. ( 0 (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
720	719	adantlr	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( 0 (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. NN ) /\ ( abs ` S. ( 0 (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
721		nnre	|- ( j e. NN -> j e. RR )
722	721	rexrd	|- ( j e. NN -> j e. RR* )
723	722	adantr	|- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> j e. RR* )
724	50	a1i	|- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> +oo e. RR* )
725		eluzelre	|- ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> k e. RR )
726		halfre	|- ( 1 / 2 ) e. RR
727	726	a1i	|- ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> ( 1 / 2 ) e. RR )
728	725 727	readdcld	|- ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> ( k + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
729	728	adantl	|- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
730	721	adantr	|- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> j e. RR )
731	725	adantl	|- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. RR )
732		eluzle	|- ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> j <_ k )
733	732	adantl	|- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> j <_ k )
734		halfgt0	|- 0 < ( 1 / 2 )
735	734	a1i	|- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 0 < ( 1 / 2 ) )
736	726	a1i	|- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( 1 / 2 ) e. RR )
737	736 731	ltaddposd	|- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( 0 < ( 1 / 2 ) <-> k < ( k + ( 1 / 2 ) ) ) )
738	735 737	mpbid	|- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k < ( k + ( 1 / 2 ) ) )
739	730 731 729 733 738	lelttrd	|- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> j < ( k + ( 1 / 2 ) ) )
740	729	ltpnfd	|- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k + ( 1 / 2 ) ) < +oo )
741	723 724 729 739 740	eliood	|- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k + ( 1 / 2 ) ) e. ( j (,) +oo ) )
742	741	adantlr	|- ( ( ( j e. NN /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k + ( 1 / 2 ) ) e. ( j (,) +oo ) )
743		simplr	|- ( ( ( j e. NN /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
744		oveq1	|- ( l = ( k + ( 1 / 2 ) ) -> ( l x. s ) = ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) )
745	744	fveq2d	|- ( l = ( k + ( 1 / 2 ) ) -> ( sin ` ( l x. s ) ) = ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
746	745	oveq2d	|- ( l = ( k + ( 1 / 2 ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) = ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) )
747	746	adantr	|- ( ( l = ( k + ( 1 / 2 ) ) /\ s e. ( d (,) _pi ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) = ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) )
748	747	itgeq2dv	|- ( l = ( k + ( 1 / 2 ) ) -> S. ( d (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s = S. ( d (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s )
749	748	fveq2d	|- ( l = ( k + ( 1 / 2 ) ) -> ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) = ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) )
750	749	breq1d	|- ( l = ( k + ( 1 / 2 ) ) -> ( ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) <-> ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
751	750	rspcv	|- ( ( k + ( 1 / 2 ) ) e. ( j (,) +oo ) -> ( A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) -> ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
752	742 743 751	sylc	|- ( ( ( j e. NN /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
753	752	adantlll	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( 0 (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
754	720 753 31	sylanbrc	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( 0 (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ch )
755		0red	|- ( ch -> 0 e. RR )
756	42	a1i	|- ( ch -> _pi e. RR )
757		ioossicc	|- ( 0 (,) _pi ) C_ ( 0 [,] _pi )
758	31	biimpi	|- ( ch -> ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. NN ) /\ ( abs ` S. ( 0 (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
759		simp-4r	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. NN ) /\ ( abs ` S. ( 0 (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> d e. ( 0 (,) _pi ) )
760	758 759	syl	|- ( ch -> d e. ( 0 (,) _pi ) )
761	757 760	sseldi	|- ( ch -> d e. ( 0 [,] _pi ) )
762		simp-5l	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. NN ) /\ ( abs ` S. ( 0 (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> ph )
763	758 762	syl	|- ( ch -> ph )
764	65	adantr	|- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> U : ( -u _pi [,] _pi ) --> RR )
765	70	rexri	|- -u _pi e. RR*
766		0re	|- 0 e. RR
767	70 766 74	ltleii	|- -u _pi <_ 0
768		iooss1	|- ( ( -u _pi e. RR* /\ -u _pi <_ 0 ) -> ( 0 (,) _pi ) C_ ( -u _pi (,) _pi ) )
769	765 767 768	mp2an	|- ( 0 (,) _pi ) C_ ( -u _pi (,) _pi )
770		ioossicc	|- ( -u _pi (,) _pi ) C_ ( -u _pi [,] _pi )
771	769 770	sstri	|- ( 0 (,) _pi ) C_ ( -u _pi [,] _pi )
772	771	sseli	|- ( s e. ( 0 (,) _pi ) -> s e. ( -u _pi [,] _pi ) )
773	772	adantl	|- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> s e. ( -u _pi [,] _pi ) )
774	764 773	ffvelrnd	|- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( U ` s ) e. RR )
775	763 774	sylan	|- ( ( ch /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( U ` s ) e. RR )
776		simpllr	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. NN ) /\ ( abs ` S. ( 0 (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> k e. NN )
777	758 776	syl	|- ( ch -> k e. NN )
778	777	nnred	|- ( ch -> k e. RR )
779	726	a1i	|- ( ch -> ( 1 / 2 ) e. RR )
780	778 779	readdcld	|- ( ch -> ( k + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
781	780	adantr	|- ( ( ch /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( k + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
782		elioore	|- ( s e. ( 0 (,) _pi ) -> s e. RR )
783	782	adantl	|- ( ( ch /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> s e. RR )
784	781 783	remulcld	|- ( ( ch /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) e. RR )
785	784	resincld	|- ( ( ch /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. RR )
786	775 785	remulcld	|- ( ( ch /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) e. RR )
787	786	recnd	|- ( ( ch /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) e. CC )
788	76	a1i	|- ( ch -> 0 e. RR* )
789	77	a1i	|- ( ch -> _pi e. RR* )
790	755	leidd	|- ( ch -> 0 <_ 0 )
791		ioossre	|- ( 0 (,) _pi ) C_ RR
792	791 760	sseldi	|- ( ch -> d e. RR )
793	788 789 760 123	syl3anc	|- ( ch -> d < _pi )
794	792 756 793	ltled	|- ( ch -> d <_ _pi )
795		ioossioo	|- ( ( ( 0 e. RR* /\ _pi e. RR* ) /\ ( 0 <_ 0 /\ d <_ _pi ) ) -> ( 0 (,) d ) C_ ( 0 (,) _pi ) )
796	788 789 790 794 795	syl22anc	|- ( ch -> ( 0 (,) d ) C_ ( 0 (,) _pi ) )
797		ioombl	|- ( 0 (,) d ) e. dom vol
798	797	a1i	|- ( ch -> ( 0 (,) d ) e. dom vol )
799		eleq1	|- ( n = k -> ( n e. NN <-> k e. NN ) )
800	799	anbi2d	|- ( n = k -> ( ( ph /\ n e. NN ) <-> ( ph /\ k e. NN ) ) )
801		simpl	|- ( ( n = k /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> n = k )
802	801	oveq1d	|- ( ( n = k /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( n + ( 1 / 2 ) ) = ( k + ( 1 / 2 ) ) )
803	802	oveq1d	|- ( ( n = k /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) = ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) )
804	803	fveq2d	|- ( ( n = k /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) = ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
805	804	oveq2d	|- ( ( n = k /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) = ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) )
806	805	mpteq2dva	|- ( n = k -> ( s e. ( 0 (,) _pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) = ( s e. ( 0 (,) _pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) )
807	806	eleq1d	|- ( n = k -> ( ( s e. ( 0 (,) _pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) e. L^1 <-> ( s e. ( 0 (,) _pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) e. L^1 ) )
808	800 807	imbi12d	|- ( n = k -> ( ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( 0 (,) _pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) e. L^1 ) <-> ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( s e. ( 0 (,) _pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) e. L^1 ) ) )
809	771	a1i	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 0 (,) _pi ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) )
810		ioombl	|- ( 0 (,) _pi ) e. dom vol
811	810	a1i	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 0 (,) _pi ) e. dom vol )
812	65	ffvelrnda	|- ( ( ph /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( U ` s ) e. RR )
813	812	adantlr	|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( U ` s ) e. RR )
814		nnre	|- ( n e. NN -> n e. RR )
815		readdcl	|- ( ( n e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) -> ( n + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
816	814 726 815	sylancl	|- ( n e. NN -> ( n + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
817	816	adantr	|- ( ( n e. NN /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( n + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
818		simpr	|- ( ( n e. NN /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> s e. ( -u _pi [,] _pi ) )
819	228 818	sseldi	|- ( ( n e. NN /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> s e. RR )
820	817 819	remulcld	|- ( ( n e. NN /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) e. RR )
821	820	resincld	|- ( ( n e. NN /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. RR )
822	821	adantll	|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. RR )
823	813 822	remulcld	|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) e. RR )
824	16	fvmpt2	|- ( ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. RR ) -> ( S ` s ) = ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
825	818 821 824	syl2anc	|- ( ( n e. NN /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( S ` s ) = ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
826	825	adantll	|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( S ` s ) = ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
827	826	oveq2d	|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) = ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) )
828	827	mpteq2dva	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) )
829	17 828	eqtr2id	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) = G )
830	1	adantr	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> F : RR --> RR )
831	6	adantr	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> X e. ran V )
832	20	adantr	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> Y e. ( ( F |` ( X (,) +oo ) ) limCC X ) )
833	21	adantr	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> W e. ( ( F |` ( -oo (,) X ) ) limCC X ) )
834	814	adantl	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. RR )
835	4	adantr	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> M e. NN )
836	5	adantr	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> V e. ( P ` M ) )
837	7	adantlr	|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
838	11	adantlr	|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( V ` i ) ) )
839	12	adantlr	|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( V ` ( i + 1 ) ) ) )
840		eqid	|- ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = -u _pi /\ ( p ` m ) = _pi ) /\ A. i e. ( 0 ..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } ) = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = -u _pi /\ ( p ` m ) = _pi ) /\ A. i e. ( 0 ..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
841		eqid	|- ( RR _D F ) = ( RR _D F )
842	601	adantlr	|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR )
843	22	adantr	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A e. ( ( ( RR _D F ) |` ( -oo (,) X ) ) limCC X ) )
844	23	adantr	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> B e. ( ( ( RR _D F ) |` ( X (,) +oo ) ) limCC X ) )
845	3 830 831 832 833 13 14 15 834 16 17 835 836 837 838 839 29 840 841 842 843 844	fourierdlem88	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> G e. L^1 )
846	829 845	eqeltrd	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) e. L^1 )
847	809 811 823 846	iblss	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( 0 (,) _pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) e. L^1 )
848	808 847	chvarvv	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( s e. ( 0 (,) _pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) e. L^1 )
849	763 777 848	syl2anc	|- ( ch -> ( s e. ( 0 (,) _pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) e. L^1 )
850	796 798 786 849	iblss	|- ( ch -> ( s e. ( 0 (,) d ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) e. L^1 )
851	788 789 760 78	syl3anc	|- ( ch -> 0 < d )
852	755 792 851	ltled	|- ( ch -> 0 <_ d )
853	756	leidd	|- ( ch -> _pi <_ _pi )
854		ioossioo	|- ( ( ( 0 e. RR* /\ _pi e. RR* ) /\ ( 0 <_ d /\ _pi <_ _pi ) ) -> ( d (,) _pi ) C_ ( 0 (,) _pi ) )
855	788 789 852 853 854	syl22anc	|- ( ch -> ( d (,) _pi ) C_ ( 0 (,) _pi ) )
856		ioombl	|- ( d (,) _pi ) e. dom vol
857	856	a1i	|- ( ch -> ( d (,) _pi ) e. dom vol )
858	855 857 786 849	iblss	|- ( ch -> ( s e. ( d (,) _pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) e. L^1 )
859	755 756 761 787 850 858	itgsplitioo	|- ( ch -> S. ( 0 (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s = ( S. ( 0 (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s + S. ( d (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) )
860	859	fveq2d	|- ( ch -> ( abs ` S. ( 0 (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) = ( abs ` ( S. ( 0 (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s + S. ( d (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) ) )
861	796	sselda	|- ( ( ch /\ s e. ( 0 (,) d ) ) -> s e. ( 0 (,) _pi ) )
862	861 786	syldan	|- ( ( ch /\ s e. ( 0 (,) d ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) e. RR )
863	862 850	itgcl	|- ( ch -> S. ( 0 (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s e. CC )
864	855	sselda	|- ( ( ch /\ s e. ( d (,) _pi ) ) -> s e. ( 0 (,) _pi ) )
865	864 786	syldan	|- ( ( ch /\ s e. ( d (,) _pi ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) e. RR )
866	865 858	itgcl	|- ( ch -> S. ( d (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s e. CC )
867	863 866	addcld	|- ( ch -> ( S. ( 0 (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s + S. ( d (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) e. CC )
868	867	abscld	|- ( ch -> ( abs ` ( S. ( 0 (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s + S. ( d (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) ) e. RR )
869	863	abscld	|- ( ch -> ( abs ` S. ( 0 (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) e. RR )
870	866	abscld	|- ( ch -> ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) e. RR )
871	869 870	readdcld	|- ( ch -> ( ( abs ` S. ( 0 (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) + ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) ) e. RR )
872		simp-5r	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ k e. NN ) /\ ( abs ` S. ( 0 (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> e e. RR+ )
873	758 872	syl	|- ( ch -> e e. RR+ )
874	873	rpred	|- ( ch -> e e. RR )
875	863 866	abstrid	|- ( ch -> ( abs ` ( S. ( 0 (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s + S. ( d (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) ) <_ ( ( abs ` S. ( 0 (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) + ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) ) )
876	758	simplrd	|- ( ch -> ( abs ` S. ( 0 (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
877	758	simprd	|- ( ch -> ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
878	869 870 874 876 877	lt2halvesd	|- ( ch -> ( ( abs ` S. ( 0 (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) + ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) ) < e )
879	868 871 874 875 878	lelttrd	|- ( ch -> ( abs ` ( S. ( 0 (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s + S. ( d (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) ) < e )
880	860 879	eqbrtrd	|- ( ch -> ( abs ` S. ( 0 (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < e )
881	754 880	syl	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( 0 (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` S. ( 0 (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < e )
882	881	ex	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( 0 (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> ( abs ` S. ( 0 (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < e ) )
883	709 882	ralrimi	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( 0 (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` S. ( 0 (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < e )
884	883	ex	|- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( 0 (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) -> ( A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` S. ( 0 (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < e ) )
885	884	reximdva	|- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( 0 (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> ( E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( d (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` S. ( 0 (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < e ) )
886	702 885	mpd	|- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( 0 (,) _pi ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( 0 (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` S. ( 0 (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < e )
887		pipos	|- 0 < _pi
888	70 766 42	lttri	|- ( ( -u _pi < 0 /\ 0 < _pi ) -> -u _pi < _pi )
889	74 887 888	mp2an	|- -u _pi < _pi
890	70 42 889	ltleii	|- -u _pi <_ _pi
891	890	a1i	|- ( ph -> -u _pi <_ _pi )
892	3	fourierdlem2	|- ( M e. NN -> ( V e. ( P ` M ) <-> ( V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( V ` 0 ) = ( -u _pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( _pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0 ..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
893	4 892	syl	|- ( ph -> ( V e. ( P ` M ) <-> ( V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( V ` 0 ) = ( -u _pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( _pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0 ..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
894	5 893	mpbid	|- ( ph -> ( V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( V ` 0 ) = ( -u _pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( _pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0 ..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) )
895	894	simpld	|- ( ph -> V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) )
896		elmapi	|- ( V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) -> V : ( 0 ... M ) --> RR )
897	895 896	syl	|- ( ph -> V : ( 0 ... M ) --> RR )
898	897	ffvelrnda	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( V ` i ) e. RR )
899	2	adantr	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> X e. RR )
900	898 899	resubcld	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( V ` i ) - X ) e. RR )
901	900 29	fmptd	|- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
902	29	a1i	|- ( ph -> Q = ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` i ) - X ) ) )
903		fveq2	|- ( i = 0 -> ( V ` i ) = ( V ` 0 ) )
904	903	oveq1d	|- ( i = 0 -> ( ( V ` i ) - X ) = ( ( V ` 0 ) - X ) )
905	904	adantl	|- ( ( ph /\ i = 0 ) -> ( ( V ` i ) - X ) = ( ( V ` 0 ) - X ) )
906	4	nnnn0d	|- ( ph -> M e. NN0 )
907		nn0uz	|- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
908	906 907	eleqtrdi	|- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 0 ) )
909		eluzfz1	|- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 0 e. ( 0 ... M ) )
910	908 909	syl	|- ( ph -> 0 e. ( 0 ... M ) )
911	897 910	ffvelrnd	|- ( ph -> ( V ` 0 ) e. RR )
912	911 2	resubcld	|- ( ph -> ( ( V ` 0 ) - X ) e. RR )
913	902 905 910 912	fvmptd	|- ( ph -> ( Q ` 0 ) = ( ( V ` 0 ) - X ) )
914	894	simprd	|- ( ph -> ( ( ( V ` 0 ) = ( -u _pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( _pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0 ..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) )
915	914	simplld	|- ( ph -> ( V ` 0 ) = ( -u _pi + X ) )
916	915	oveq1d	|- ( ph -> ( ( V ` 0 ) - X ) = ( ( -u _pi + X ) - X ) )
917	454	recnd	|- ( ph -> -u _pi e. CC )
918	2	recnd	|- ( ph -> X e. CC )
919	917 918	pncand	|- ( ph -> ( ( -u _pi + X ) - X ) = -u _pi )
920	913 916 919	3eqtrd	|- ( ph -> ( Q ` 0 ) = -u _pi )
921	454 456 2 3 840 4 5 29	fourierdlem14	|- ( ph -> Q e. ( ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = -u _pi /\ ( p ` m ) = _pi ) /\ A. i e. ( 0 ..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } ) ` M ) )
922	840	fourierdlem2	|- ( M e. NN -> ( Q e. ( ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = -u _pi /\ ( p ` m ) = _pi ) /\ A. i e. ( 0 ..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } ) ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = -u _pi /\ ( Q ` M ) = _pi ) /\ A. i e. ( 0 ..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
923	4 922	syl	|- ( ph -> ( Q e. ( ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = -u _pi /\ ( p ` m ) = _pi ) /\ A. i e. ( 0 ..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } ) ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = -u _pi /\ ( Q ` M ) = _pi ) /\ A. i e. ( 0 ..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
924	921 923	mpbid	|- ( ph -> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = -u _pi /\ ( Q ` M ) = _pi ) /\ A. i e. ( 0 ..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
925	924	simprd	|- ( ph -> ( ( ( Q ` 0 ) = -u _pi /\ ( Q ` M ) = _pi ) /\ A. i e. ( 0 ..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
926	925	simplrd	|- ( ph -> ( Q ` M ) = _pi )
927	925	simprd	|- ( ph -> A. i e. ( 0 ..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
928	927	r19.21bi	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
929	1	adantr	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> F : RR --> RR )
930	840 4 921	fourierdlem15	|- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> ( -u _pi [,] _pi ) )
931	930	adantr	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> ( -u _pi [,] _pi ) )
932		elfzofz	|- ( i e. ( 0 ..^ M ) -> i e. ( 0 ... M ) )
933	932	adantl	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> i e. ( 0 ... M ) )
934	931 933	ffvelrnd	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( Q ` i ) e. ( -u _pi [,] _pi ) )
935		fzofzp1	|- ( i e. ( 0 ..^ M ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
936	935	adantl	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
937	931 936	ffvelrnd	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. ( -u _pi [,] _pi ) )
938	2	adantr	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> X e. RR )
939		ffn	|- ( V : ( 0 ... M ) --> RR -> V Fn ( 0 ... M ) )
940	895 896 939	3syl	|- ( ph -> V Fn ( 0 ... M ) )
941		fvelrnb	|- ( V Fn ( 0 ... M ) -> ( X e. ran V <-> E. i e. ( 0 ... M ) ( V ` i ) = X ) )
942	940 941	syl	|- ( ph -> ( X e. ran V <-> E. i e. ( 0 ... M ) ( V ` i ) = X ) )
943	6 942	mpbid	|- ( ph -> E. i e. ( 0 ... M ) ( V ` i ) = X )
944		oveq1	|- ( ( V ` i ) = X -> ( ( V ` i ) - X ) = ( X - X ) )
945	944	adantl	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ ( V ` i ) = X ) -> ( ( V ` i ) - X ) = ( X - X ) )
946	918	subidd	|- ( ph -> ( X - X ) = 0 )
947	946	ad2antrr	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ ( V ` i ) = X ) -> ( X - X ) = 0 )
948	945 947	eqtr2d	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ ( V ` i ) = X ) -> 0 = ( ( V ` i ) - X ) )
949	948	ex	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( V ` i ) = X -> 0 = ( ( V ` i ) - X ) ) )
950	949	reximdva	|- ( ph -> ( E. i e. ( 0 ... M ) ( V ` i ) = X -> E. i e. ( 0 ... M ) 0 = ( ( V ` i ) - X ) ) )
951	943 950	mpd	|- ( ph -> E. i e. ( 0 ... M ) 0 = ( ( V ` i ) - X ) )
952	29	elrnmpt	|- ( 0 e. RR -> ( 0 e. ran Q <-> E. i e. ( 0 ... M ) 0 = ( ( V ` i ) - X ) ) )
953	766 952	ax-mp	|- ( 0 e. ran Q <-> E. i e. ( 0 ... M ) 0 = ( ( V ` i ) - X ) )
954	951 953	sylibr	|- ( ph -> 0 e. ran Q )
955	840 4 921 954	fourierdlem12	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> -. 0 e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
956	897	adantr	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> V : ( 0 ... M ) --> RR )
957	956 933	ffvelrnd	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( V ` i ) e. RR )
958	957 938	resubcld	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( V ` i ) - X ) e. RR )
959	29	fvmpt2	|- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ ( ( V ` i ) - X ) e. RR ) -> ( Q ` i ) = ( ( V ` i ) - X ) )
960	933 958 959	syl2anc	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( Q ` i ) = ( ( V ` i ) - X ) )
961	960	oveq1d	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) + X ) = ( ( ( V ` i ) - X ) + X ) )
962	957	recnd	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( V ` i ) e. CC )
963	918	adantr	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> X e. CC )
964	962 963	npcand	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( ( V ` i ) - X ) + X ) = ( V ` i ) )
965	961 964	eqtrd	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) + X ) = ( V ` i ) )
966		fveq2	|- ( j = i -> ( V ` j ) = ( V ` i ) )
967	966	oveq1d	|- ( j = i -> ( ( V ` j ) - X ) = ( ( V ` i ) - X ) )
968	967	cbvmptv	|- ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` j ) - X ) ) = ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` i ) - X ) )
969	29 968	eqtr4i	|- Q = ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` j ) - X ) )
970	969	a1i	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> Q = ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` j ) - X ) ) )
971		fveq2	|- ( j = ( i + 1 ) -> ( V ` j ) = ( V ` ( i + 1 ) ) )
972	971	oveq1d	|- ( j = ( i + 1 ) -> ( ( V ` j ) - X ) = ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) )
973	972	adantl	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ j = ( i + 1 ) ) -> ( ( V ` j ) - X ) = ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) )
974	956 936	ffvelrnd	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( V ` ( i + 1 ) ) e. RR )
975	974 938	resubcld	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) e. RR )
976	970 973 936 975	fvmptd	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) = ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) )
977	976	oveq1d	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + X ) = ( ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) + X ) )
978	974	recnd	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( V ` ( i + 1 ) ) e. CC )
979	978 963	npcand	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) + X ) = ( V ` ( i + 1 ) ) )
980	977 979	eqtrd	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + X ) = ( V ` ( i + 1 ) ) )
981	965 980	oveq12d	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( ( Q ` i ) + X ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + X ) ) = ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) )
982	981	reseq2d	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( F |` ( ( ( Q ` i ) + X ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + X ) ) ) = ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) )
983	981	oveq1d	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( ( ( Q ` i ) + X ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + X ) ) -cn-> CC ) = ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
984	7 982 983	3eltr4d	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( F |` ( ( ( Q ` i ) + X ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + X ) ) ) e. ( ( ( ( Q ` i ) + X ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + X ) ) -cn-> CC ) )
985	54	adantr	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> Y e. RR )
986	64	adantr	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> W e. RR )
987	929 934 937 938 955 984 985 986 13	fourierdlem40	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( H |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
988		id	|- ( ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR )
989	66	a1i	|- ( ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR -> RR C_ CC )
990	988 989	fssd	|- ( ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> CC )
991	9 600 990	3syl	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> CC )
992		eqid	|- if ( ( V ` i ) = X , B , ( ( R - if ( ( V ` i ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` i ) ) ) = if ( ( V ` i ) = X , B , ( ( R - if ( ( V ` i ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` i ) ) )
993	2 3 1 6 20 64 13 4 5 11 29 840 841 991 23 992	fourierdlem75	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> if ( ( V ` i ) = X , B , ( ( R - if ( ( V ` i ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` i ) ) ) e. ( ( H |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( Q ` i ) ) )
994		eqid	|- if ( ( V ` ( i + 1 ) ) = X , A , ( ( L - if ( ( V ` ( i + 1 ) ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = if ( ( V ` ( i + 1 ) ) = X , A , ( ( L - if ( ( V ` ( i + 1 ) ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
995	2 3 1 6 54 21 13 4 5 12 29 840 841 601 22 994	fourierdlem74	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> if ( ( V ` ( i + 1 ) ) = X , A , ( ( L - if ( ( V ` ( i + 1 ) ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( H |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
996		fveq2	|- ( j = i -> ( Q ` j ) = ( Q ` i ) )
997		oveq1	|- ( j = i -> ( j + 1 ) = ( i + 1 ) )
998	997	fveq2d	|- ( j = i -> ( Q ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) )
999	996 998	oveq12d	|- ( j = i -> ( ( Q ` j ) (,) ( Q ` ( j + 1 ) ) ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
1000	999	cbvmptv	|- ( j e. ( 0 ..^ M ) |-> ( ( Q ` j ) (,) ( Q ` ( j + 1 ) ) ) ) = ( i e. ( 0 ..^ M ) |-> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
1001	454 456 891 195 4 901 920 926 928 987 993 995 1000	fourierdlem70	|- ( ph -> E. x e. RR A. s e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( H ` s ) ) <_ x )
1002		eqid	|- ( ( e / 3 ) / y ) = ( ( e / 3 ) / y )
1003		fveq2	|- ( t = s -> ( G ` t ) = ( G ` s ) )
1004	1003	fveq2d	|- ( t = s -> ( abs ` ( G ` t ) ) = ( abs ` ( G ` s ) ) )
1005	1004	breq1d	|- ( t = s -> ( ( abs ` ( G ` t ) ) <_ y <-> ( abs ` ( G ` s ) ) <_ y ) )
1006	1005	cbvralvw	|- ( A. t e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` t ) ) <_ y <-> A. s e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ y )
1007	1006	ralbii	|- ( A. n e. NN A. t e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` t ) ) <_ y <-> A. n e. NN A. s e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ y )
1008	1007	3anbi3i	|- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. RR+ /\ A. n e. NN A. t e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` t ) ) <_ y ) <-> ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. RR+ /\ A. n e. NN A. s e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ y ) )
1009	1008	anbi1i	|- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. RR+ /\ A. n e. NN A. t e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` t ) ) <_ y ) /\ u e. dom vol ) <-> ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. RR+ /\ A. n e. NN A. s e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ y ) /\ u e. dom vol ) )
1010	1009	anbi1i	|- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. RR+ /\ A. n e. NN A. t e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` t ) ) <_ y ) /\ u e. dom vol ) /\ ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ ( ( e / 3 ) / y ) ) ) <-> ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. RR+ /\ A. n e. NN A. s e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ y ) /\ u e. dom vol ) /\ ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ ( ( e / 3 ) / y ) ) ) )
1011	1010	anbi1i	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. RR+ /\ A. n e. NN A. t e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` t ) ) <_ y ) /\ u e. dom vol ) /\ ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ ( ( e / 3 ) / y ) ) ) /\ n e. NN ) <-> ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. RR+ /\ A. n e. NN A. s e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ y ) /\ u e. dom vol ) /\ ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ ( ( e / 3 ) / y ) ) ) /\ n e. NN ) )
1012	1 2 54 64 13 14 15 16 17 1001 845 1002 1011	fourierdlem87	|- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. c e. RR+ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
1013		iftrue	|- ( c <_ ( _pi / 2 ) -> if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) = c )
1014	1013	adantl	|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) = c )
1015	76	a1i	|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> 0 e. RR* )
1016	77	a1i	|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> _pi e. RR* )
1017		rpre	|- ( c e. RR+ -> c e. RR )
1018	1017	adantr	|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> c e. RR )
1019		rpgt0	|- ( c e. RR+ -> 0 < c )
1020	1019	adantr	|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> 0 < c )
1021	42	rehalfcli	|- ( _pi / 2 ) e. RR
1022	1021	a1i	|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> ( _pi / 2 ) e. RR )
1023	42	a1i	|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> _pi e. RR )
1024		simpr	|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> c <_ ( _pi / 2 ) )
1025		halfpos	|- ( _pi e. RR -> ( 0 < _pi <-> ( _pi / 2 ) < _pi ) )
1026	42 1025	ax-mp	|- ( 0 < _pi <-> ( _pi / 2 ) < _pi )
1027	887 1026	mpbi	|- ( _pi / 2 ) < _pi
1028	1027	a1i	|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> ( _pi / 2 ) < _pi )
1029	1018 1022 1023 1024 1028	lelttrd	|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> c < _pi )
1030	1015 1016 1018 1020 1029	eliood	|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> c e. ( 0 (,) _pi ) )
1031	1014 1030	eqeltrd	|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) e. ( 0 (,) _pi ) )
1032		iffalse	|- ( -. c <_ ( _pi / 2 ) -> if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) = ( _pi / 2 ) )
1033		2pos	|- 0 < 2
1034	42 119 887 1033	divgt0ii	|- 0 < ( _pi / 2 )
1035		elioo2	|- ( ( 0 e. RR* /\ _pi e. RR* ) -> ( ( _pi / 2 ) e. ( 0 (,) _pi ) <-> ( ( _pi / 2 ) e. RR /\ 0 < ( _pi / 2 ) /\ ( _pi / 2 ) < _pi ) ) )
1036	76 77 1035	mp2an	|- ( ( _pi / 2 ) e. ( 0 (,) _pi ) <-> ( ( _pi / 2 ) e. RR /\ 0 < ( _pi / 2 ) /\ ( _pi / 2 ) < _pi ) )
1037	1021 1034 1027 1036	mpbir3an	|- ( _pi / 2 ) e. ( 0 (,) _pi )
1038	1037	a1i	|- ( -. c <_ ( _pi / 2 ) -> ( _pi / 2 ) e. ( 0 (,) _pi ) )
1039	1032 1038	eqeltrd	|- ( -. c <_ ( _pi / 2 ) -> if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) e. ( 0 (,) _pi ) )
1040	1039	adantl	|- ( ( c e. RR+ /\ -. c <_ ( _pi / 2 ) ) -> if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) e. ( 0 (,) _pi ) )
1041	1031 1040	pm2.61dan	|- ( c e. RR+ -> if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) e. ( 0 (,) _pi ) )
1042	1041	3ad2ant2	|- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ c e. RR+ /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) -> if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) e. ( 0 (,) _pi ) )
1043		ioombl	|- ( 0 (,) if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) e. dom vol
1044	1043	a1i	|- ( ( c e. RR+ /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) -> ( 0 (,) if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) e. dom vol )
1045		simpr	|- ( ( c e. RR+ /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) -> A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
1046	1044 1045	jca	|- ( ( c e. RR+ /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) -> ( ( 0 (,) if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) e. dom vol /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) )
1047		ioossicc	|- ( 0 (,) if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) C_ ( 0 [,] if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) )
1048	70	a1i	|- ( c e. RR+ -> -u _pi e. RR )
1049	42	a1i	|- ( c e. RR+ -> _pi e. RR )
1050	767	a1i	|- ( c e. RR+ -> -u _pi <_ 0 )
1051	791 1041	sseldi	|- ( c e. RR+ -> if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) e. RR )
1052	1021	a1i	|- ( c e. RR+ -> ( _pi / 2 ) e. RR )
1053		min2	|- ( ( c e. RR /\ ( _pi / 2 ) e. RR ) -> if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) <_ ( _pi / 2 ) )
1054	1017 1021 1053	sylancl	|- ( c e. RR+ -> if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) <_ ( _pi / 2 ) )
1055	1027	a1i	|- ( c e. RR+ -> ( _pi / 2 ) < _pi )
1056	1051 1052 1049 1054 1055	lelttrd	|- ( c e. RR+ -> if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) < _pi )
1057	1051 1049 1056	ltled	|- ( c e. RR+ -> if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) <_ _pi )
1058		iccss	|- ( ( ( -u _pi e. RR /\ _pi e. RR ) /\ ( -u _pi <_ 0 /\ if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) <_ _pi ) ) -> ( 0 [,] if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) )
1059	1048 1049 1050 1057 1058	syl22anc	|- ( c e. RR+ -> ( 0 [,] if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) )
1060	1047 1059	sstrid	|- ( c e. RR+ -> ( 0 (,) if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) )
1061		0red	|- ( c e. RR+ -> 0 e. RR )
1062	1020 1014	breqtrrd	|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> 0 < if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) )
1063	1034 1032	breqtrrid	|- ( -. c <_ ( _pi / 2 ) -> 0 < if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) )
1064	1063	adantl	|- ( ( c e. RR+ /\ -. c <_ ( _pi / 2 ) ) -> 0 < if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) )
1065	1062 1064	pm2.61dan	|- ( c e. RR+ -> 0 < if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) )
1066	1061 1051 1065	ltled	|- ( c e. RR+ -> 0 <_ if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) )
1067		volioo	|- ( ( 0 e. RR /\ if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) e. RR /\ 0 <_ if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) -> ( vol ` ( 0 (,) if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) ) = ( if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) - 0 ) )
1068	1061 1051 1066 1067	syl3anc	|- ( c e. RR+ -> ( vol ` ( 0 (,) if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) ) = ( if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) - 0 ) )
1069	1051	recnd	|- ( c e. RR+ -> if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) e. CC )
1070	1069	subid1d	|- ( c e. RR+ -> ( if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) - 0 ) = if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) )
1071	1068 1070	eqtrd	|- ( c e. RR+ -> ( vol ` ( 0 (,) if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) ) = if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) )
1072		min1	|- ( ( c e. RR /\ ( _pi / 2 ) e. RR ) -> if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) <_ c )
1073	1017 1021 1072	sylancl	|- ( c e. RR+ -> if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) <_ c )
1074	1071 1073	eqbrtrd	|- ( c e. RR+ -> ( vol ` ( 0 (,) if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) ) <_ c )
1075	1060 1074	jca	|- ( c e. RR+ -> ( ( 0 (,) if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` ( 0 (,) if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) ) <_ c ) )
1076	1075	adantr	|- ( ( c e. RR+ /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) -> ( ( 0 (,) if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` ( 0 (,) if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) ) <_ c ) )
1077		sseq1	|- ( u = ( 0 (,) if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) -> ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) <-> ( 0 (,) if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) ) )
1078		fveq2	|- ( u = ( 0 (,) if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) -> ( vol ` u ) = ( vol ` ( 0 (,) if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) ) )
1079	1078	breq1d	|- ( u = ( 0 (,) if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) -> ( ( vol ` u ) <_ c <-> ( vol ` ( 0 (,) if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) ) <_ c ) )
1080	1077 1079	anbi12d	|- ( u = ( 0 (,) if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) -> ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) <-> ( ( 0 (,) if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` ( 0 (,) if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) ) <_ c ) ) )
1081		itgeq1	|- ( u = ( 0 (,) if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) -> S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s = S. ( 0 (,) if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s )
1082	1081	fveq2d	|- ( u = ( 0 (,) if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) -> ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) = ( abs ` S. ( 0 (,) if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) )
1083	1082	breq1d	|- ( u = ( 0 (,) if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) -> ( ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) <-> ( abs ` S. ( 0 (,) if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
1084	1083	ralbidv	|- ( u = ( 0 (,) if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) -> ( A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) <-> A. k e. NN ( abs ` S. ( 0 (,) if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
1085	1080 1084	imbi12d	|- ( u = ( 0 (,) if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) -> ( ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) <-> ( ( ( 0 (,) if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` ( 0 (,) if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. ( 0 (,) if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) )
1086	1085	rspcva	|- ( ( ( 0 (,) if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) e. dom vol /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) -> ( ( ( 0 (,) if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` ( 0 (,) if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. ( 0 (,) if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
1087	1046 1076 1086	sylc	|- ( ( c e. RR+ /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) -> A. k e. NN ( abs ` S. ( 0 (,) if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
1088	1087	3adant1	|- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ c e. RR+ /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) -> A. k e. NN ( abs ` S. ( 0 (,) if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
1089		oveq2	|- ( d = if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) -> ( 0 (,) d ) = ( 0 (,) if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) )
1090	1089	itgeq1d	|- ( d = if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) -> S. ( 0 (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s = S. ( 0 (,) if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s )
1091	1090	fveq2d	|- ( d = if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) -> ( abs ` S. ( 0 (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) = ( abs ` S. ( 0 (,) if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) )
1092	1091	breq1d	|- ( d = if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) -> ( ( abs ` S. ( 0 (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) <-> ( abs ` S. ( 0 (,) if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
1093	1092	ralbidv	|- ( d = if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) -> ( A. k e. NN ( abs ` S. ( 0 (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) <-> A. k e. NN ( abs ` S. ( 0 (,) if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
1094	1093	rspcev	|- ( ( if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) e. ( 0 (,) _pi ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( 0 (,) if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> E. d e. ( 0 (,) _pi ) A. k e. NN ( abs ` S. ( 0 (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
1095	1042 1088 1094	syl2anc	|- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ c e. RR+ /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) -> E. d e. ( 0 (,) _pi ) A. k e. NN ( abs ` S. ( 0 (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
1096	1095	rexlimdv3a	|- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( E. c e. RR+ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> E. d e. ( 0 (,) _pi ) A. k e. NN ( abs ` S. ( 0 (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
1097	1012 1096	mpd	|- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. d e. ( 0 (,) _pi ) A. k e. NN ( abs ` S. ( 0 (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
1098	886 1097	r19.29a	|- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` S. ( 0 (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < e )
1099	1098	ralrimiva	|- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` S. ( 0 (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < e )
1100		nnex	|- NN e. _V
1101	1100	mptex	|- ( n e. NN |-> S. ( 0 (,) _pi ) ( G ` s ) _d s ) e. _V
1102	1101	a1i	|- ( ph -> ( n e. NN |-> S. ( 0 (,) _pi ) ( G ` s ) _d s ) e. _V )
1103		eqidd	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( n e. NN |-> S. ( 0 (,) _pi ) ( G ` s ) _d s ) = ( n e. NN |-> S. ( 0 (,) _pi ) ( G ` s ) _d s ) )
1104	772	adantl	|- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> s e. ( -u _pi [,] _pi ) )
1105	774	ad4ant14	|- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( U ` s ) e. RR )
1106	772	adantl	|- ( ( ( k e. NN /\ n = k ) /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> s e. ( -u _pi [,] _pi ) )
1107		simpr	|- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> n = k )
1108		simpl	|- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> k e. NN )
1109	1107 1108	eqeltrd	|- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> n e. NN )
1110	1109	nnred	|- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> n e. RR )
1111	726	a1i	|- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> ( 1 / 2 ) e. RR )
1112	1110 1111	readdcld	|- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> ( n + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
1113	1112	adantr	|- ( ( ( k e. NN /\ n = k ) /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( n + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
1114	228 1106	sseldi	|- ( ( ( k e. NN /\ n = k ) /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> s e. RR )
1115	1113 1114	remulcld	|- ( ( ( k e. NN /\ n = k ) /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) e. RR )
1116	1115	resincld	|- ( ( ( k e. NN /\ n = k ) /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. RR )
1117	1106 1116 824	syl2anc	|- ( ( ( k e. NN /\ n = k ) /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( S ` s ) = ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
1118	1117	adantlll	|- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( S ` s ) = ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
1119	1110	adantll	|- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) -> n e. RR )
1120	1119	adantr	|- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> n e. RR )
1121		1red	|- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> 1 e. RR )
1122	1121	rehalfcld	|- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( 1 / 2 ) e. RR )
1123	1120 1122	readdcld	|- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( n + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
1124	228 1104	sseldi	|- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> s e. RR )
1125	1123 1124	remulcld	|- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) e. RR )
1126	1125	resincld	|- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. RR )
1127	1118 1126	eqeltrd	|- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( S ` s ) e. RR )
1128	1105 1127	remulcld	|- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) e. RR )
1129	17	fvmpt2	|- ( ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) e. RR ) -> ( G ` s ) = ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) )
1130	1104 1128 1129	syl2anc	|- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( G ` s ) = ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) )
1131		oveq1	|- ( n = k -> ( n + ( 1 / 2 ) ) = ( k + ( 1 / 2 ) ) )
1132	1131	oveq1d	|- ( n = k -> ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) = ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) )
1133	1132	fveq2d	|- ( n = k -> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) = ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
1134	1133	ad2antlr	|- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) = ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
1135	1118 1134	eqtrd	|- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( S ` s ) = ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
1136	1135	oveq2d	|- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) = ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) )
1137	1130 1136	eqtrd	|- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( G ` s ) = ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) )
1138	1137	itgeq2dv	|- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) -> S. ( 0 (,) _pi ) ( G ` s ) _d s = S. ( 0 (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s )
1139		simpr	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN )
1140	805	itgeq2dv	|- ( n = k -> S. ( 0 (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s = S. ( 0 (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s )
1141	1140	eleq1d	|- ( n = k -> ( S. ( 0 (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s e. CC <-> S. ( 0 (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s e. CC ) )
1142	800 1141	imbi12d	|- ( n = k -> ( ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( 0 (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s e. CC ) <-> ( ( ph /\ k e. NN ) -> S. ( 0 (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s e. CC ) ) )
1143	774	adantlr	|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( U ` s ) e. RR )
1144		simpr	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. NN )
1145	1144 772 821	syl2an	|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. RR )
1146	1143 1145	remulcld	|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) e. RR )
1147	1146 847	itgcl	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( 0 (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s e. CC )
1148	1142 1147	chvarvv	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> S. ( 0 (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s e. CC )
1149	1103 1138 1139 1148	fvmptd	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> S. ( 0 (,) _pi ) ( G ` s ) _d s ) ` k ) = S. ( 0 (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s )
1150	39 33 1102 1149 1148	clim0c	|- ( ph -> ( ( n e. NN |-> S. ( 0 (,) _pi ) ( G ` s ) _d s ) ~~> 0 <-> A. e e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` S. ( 0 (,) _pi ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < e ) )
1151	1099 1150	mpbird	|- ( ph -> ( n e. NN |-> S. ( 0 (,) _pi ) ( G ` s ) _d s ) ~~> 0 )
1152	1100	mptex	|- ( n e. NN |-> ( S. ( 0 (,) _pi ) ( G ` s ) _d s / _pi ) ) e. _V
1153	19 1152	eqeltri	|- E e. _V
1154	1153	a1i	|- ( ph -> E e. _V )
1155	1100	mptex	|- ( n e. NN |-> _pi ) e. _V
1156	1155	a1i	|- ( ph -> ( n e. NN |-> _pi ) e. _V )
1157	42	recni	|- _pi e. CC
1158	1157	a1i	|- ( ph -> _pi e. CC )
1159		eqidd	|- ( m e. NN -> ( n e. NN |-> _pi ) = ( n e. NN |-> _pi ) )
1160		eqidd	|- ( ( m e. NN /\ n = m ) -> _pi = _pi )
1161		id	|- ( m e. NN -> m e. NN )
1162	42	a1i	|- ( m e. NN -> _pi e. RR )
1163	1159 1160 1161 1162	fvmptd	|- ( m e. NN -> ( ( n e. NN |-> _pi ) ` m ) = _pi )
1164	1163	adantl	|- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> _pi ) ` m ) = _pi )
1165	39 33 1156 1158 1164	climconst	|- ( ph -> ( n e. NN |-> _pi ) ~~> _pi )
1166	766 887	gtneii	|- _pi =/= 0
1167	1166	a1i	|- ( ph -> _pi =/= 0 )
1168	2	adantr	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> X e. RR )
1169	54	adantr	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> Y e. RR )
1170	64	adantr	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> W e. RR )
1171	830 1168 1169 1170 13 14 15 834 16 17	fourierdlem67	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> G : ( -u _pi [,] _pi ) --> RR )
1172	1171	adantr	|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> G : ( -u _pi [,] _pi ) --> RR )
1173	809	sselda	|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> s e. ( -u _pi [,] _pi ) )
1174	1172 1173	ffvelrnd	|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( G ` s ) e. RR )
1175	1171	ffvelrnda	|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( G ` s ) e. RR )
1176	1171	feqmptd	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> G = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( G ` s ) ) )
1177	1176 845	eqeltrrd	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( G ` s ) ) e. L^1 )
1178	809 811 1175 1177	iblss	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( 0 (,) _pi ) |-> ( G ` s ) ) e. L^1 )
1179	1174 1178	itgcl	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( 0 (,) _pi ) ( G ` s ) _d s e. CC )
1180		eqid	|- ( n e. NN |-> S. ( 0 (,) _pi ) ( G ` s ) _d s ) = ( n e. NN |-> S. ( 0 (,) _pi ) ( G ` s ) _d s )
1181	1180	fvmpt2	|- ( ( n e. NN /\ S. ( 0 (,) _pi ) ( G ` s ) _d s e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> S. ( 0 (,) _pi ) ( G ` s ) _d s ) ` n ) = S. ( 0 (,) _pi ) ( G ` s ) _d s )
1182	1144 1179 1181	syl2anc	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> S. ( 0 (,) _pi ) ( G ` s ) _d s ) ` n ) = S. ( 0 (,) _pi ) ( G ` s ) _d s )
1183	1182 1179	eqeltrd	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> S. ( 0 (,) _pi ) ( G ` s ) _d s ) ` n ) e. CC )
1184		eqid	|- ( n e. NN |-> _pi ) = ( n e. NN |-> _pi )
1185	1184	fvmpt2	|- ( ( n e. NN /\ _pi e. RR ) -> ( ( n e. NN |-> _pi ) ` n ) = _pi )
1186	42 1185	mpan2	|- ( n e. NN -> ( ( n e. NN |-> _pi ) ` n ) = _pi )
1187	1157	a1i	|- ( n e. NN -> _pi e. CC )
1188	1166	a1i	|- ( n e. NN -> _pi =/= 0 )
1189		eldifsn	|- ( _pi e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( _pi e. CC /\ _pi =/= 0 ) )
1190	1187 1188 1189	sylanbrc	|- ( n e. NN -> _pi e. ( CC \ { 0 } ) )
1191	1186 1190	eqeltrd	|- ( n e. NN -> ( ( n e. NN |-> _pi ) ` n ) e. ( CC \ { 0 } ) )
1192	1191	adantl	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> _pi ) ` n ) e. ( CC \ { 0 } ) )
1193	1157	a1i	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> _pi e. CC )
1194	1166	a1i	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> _pi =/= 0 )
1195	1179 1193 1194	divcld	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S. ( 0 (,) _pi ) ( G ` s ) _d s / _pi ) e. CC )
1196	19	fvmpt2	|- ( ( n e. NN /\ ( S. ( 0 (,) _pi ) ( G ` s ) _d s / _pi ) e. CC ) -> ( E ` n ) = ( S. ( 0 (,) _pi ) ( G ` s ) _d s / _pi ) )
1197	1144 1195 1196	syl2anc	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( E ` n ) = ( S. ( 0 (,) _pi ) ( G ` s ) _d s / _pi ) )
1198	1182	eqcomd	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( 0 (,) _pi ) ( G ` s ) _d s = ( ( n e. NN |-> S. ( 0 (,) _pi ) ( G ` s ) _d s ) ` n ) )
1199	1186	eqcomd	|- ( n e. NN -> _pi = ( ( n e. NN |-> _pi ) ` n ) )
1200	1199	adantl	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> _pi = ( ( n e. NN |-> _pi ) ` n ) )
1201	1198 1200	oveq12d	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S. ( 0 (,) _pi ) ( G ` s ) _d s / _pi ) = ( ( ( n e. NN |-> S. ( 0 (,) _pi ) ( G ` s ) _d s ) ` n ) / ( ( n e. NN |-> _pi ) ` n ) ) )
1202	1197 1201	eqtrd	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( E ` n ) = ( ( ( n e. NN |-> S. ( 0 (,) _pi ) ( G ` s ) _d s ) ` n ) / ( ( n e. NN |-> _pi ) ` n ) ) )
1203	34 35 36 38 39 33 1151 1154 1165 1167 1183 1192 1202	climdivf	|- ( ph -> E ~~> ( 0 / _pi ) )
1204	1157 1166	div0i	|- ( 0 / _pi ) = 0
1205	1204	a1i	|- ( ph -> ( 0 / _pi ) = 0 )
1206	1203 1205	breqtrd	|- ( ph -> E ~~> 0 )
1207	1100	mptex	|- ( m e. NN |-> S. ( 0 (,) _pi ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` m ) ` s ) ) _d s ) e. _V
1208	18 1207	eqeltri	|- Z e. _V
1209	1208	a1i	|- ( ph -> Z e. _V )
1210	1100	mptex	|- ( m e. NN |-> ( Y / 2 ) ) e. _V
1211	1210	a1i	|- ( ph -> ( m e. NN |-> ( Y / 2 ) ) e. _V )
1212		limccl	|- ( ( F |` ( X (,) +oo ) ) limCC X ) C_ CC
1213	1212 20	sseldi	|- ( ph -> Y e. CC )
1214	1213	halfcld	|- ( ph -> ( Y / 2 ) e. CC )
1215		eqidd	|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( m e. NN |-> ( Y / 2 ) ) = ( m e. NN |-> ( Y / 2 ) ) )
1216		eqidd	|- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m = n ) -> ( Y / 2 ) = ( Y / 2 ) )
1217	39	eqcomi	|- ( ZZ>= ` 1 ) = NN
1218	1217	eleq2i	|- ( n e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> n e. NN )
1219	1218	biimpi	|- ( n e. ( ZZ>= ` 1 ) -> n e. NN )
1220	1219	adantl	|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> n e. NN )
1221	1214	adantr	|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( Y / 2 ) e. CC )
1222	1215 1216 1220 1221	fvmptd	|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( m e. NN |-> ( Y / 2 ) ) ` n ) = ( Y / 2 ) )
1223	32 33 1211 1214 1222	climconst	|- ( ph -> ( m e. NN |-> ( Y / 2 ) ) ~~> ( Y / 2 ) )
1224	1195 19	fmptd	|- ( ph -> E : NN --> CC )
1225	1224	adantr	|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> E : NN --> CC )
1226	1225 1220	ffvelrnd	|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( E ` n ) e. CC )
1227	1222 1221	eqeltrd	|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( m e. NN |-> ( Y / 2 ) ) ` n ) e. CC )
1228	1222	oveq2d	|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( E ` n ) + ( ( m e. NN |-> ( Y / 2 ) ) ` n ) ) = ( ( E ` n ) + ( Y / 2 ) ) )
1229	810	a1i	|- ( ph -> ( 0 (,) _pi ) e. dom vol )
1230		0red	|- ( s e. ( 0 (,) _pi ) -> 0 e. RR )
1231	1230	rexrd	|- ( s e. ( 0 (,) _pi ) -> 0 e. RR* )
1232	77	a1i	|- ( s e. ( 0 (,) _pi ) -> _pi e. RR* )
1233		id	|- ( s e. ( 0 (,) _pi ) -> s e. ( 0 (,) _pi ) )
1234		ioogtlb	|- ( ( 0 e. RR* /\ _pi e. RR* /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> 0 < s )
1235	1231 1232 1233 1234	syl3anc	|- ( s e. ( 0 (,) _pi ) -> 0 < s )
1236	1235	gt0ne0d	|- ( s e. ( 0 (,) _pi ) -> s =/= 0 )
1237	1236	neneqd	|- ( s e. ( 0 (,) _pi ) -> -. s = 0 )
1238		velsn	|- ( s e. { 0 } <-> s = 0 )
1239	1237 1238	sylnibr	|- ( s e. ( 0 (,) _pi ) -> -. s e. { 0 } )
1240	772 1239	eldifd	|- ( s e. ( 0 (,) _pi ) -> s e. ( ( -u _pi [,] _pi ) \ { 0 } ) )
1241	1240	ssriv	|- ( 0 (,) _pi ) C_ ( ( -u _pi [,] _pi ) \ { 0 } )
1242	1241	a1i	|- ( ph -> ( 0 (,) _pi ) C_ ( ( -u _pi [,] _pi ) \ { 0 } ) )
1243	1235	adantl	|- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> 0 < s )
1244	1243	iftrued	|- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) = Y )
1245		eqid	|- ( D ` n ) = ( D ` n )
1246		0red	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 0 e. RR )
1247	42	a1i	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> _pi e. RR )
1248	766 42 887	ltleii	|- 0 <_ _pi
1249	1248	a1i	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 0 <_ _pi )
1250		eqid	|- ( s e. ( 0 [,] _pi ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) = ( s e. ( 0 [,] _pi ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) )
1251	24 1144 1245 1246 1247 1249 1250	dirkeritg	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( 0 (,) _pi ) ( ( D ` n ) ` s ) _d s = ( ( ( s e. ( 0 [,] _pi ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` _pi ) - ( ( s e. ( 0 [,] _pi ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` 0 ) ) )
1252		ubicc2	|- ( ( 0 e. RR* /\ _pi e. RR* /\ 0 <_ _pi ) -> _pi e. ( 0 [,] _pi ) )
1253	76 77 1248 1252	mp3an	|- _pi e. ( 0 [,] _pi )
1254		oveq1	|- ( s = _pi -> ( s / 2 ) = ( _pi / 2 ) )
1255		oveq2	|- ( s = _pi -> ( k x. s ) = ( k x. _pi ) )
1256	1255	fveq2d	|- ( s = _pi -> ( sin ` ( k x. s ) ) = ( sin ` ( k x. _pi ) ) )
1257	1256	oveq1d	|- ( s = _pi -> ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) = ( ( sin ` ( k x. _pi ) ) / k ) )
1258		elfzelz	|- ( k e. ( 1 ... n ) -> k e. ZZ )
1259	1258	zcnd	|- ( k e. ( 1 ... n ) -> k e. CC )
1260	1157	a1i	|- ( k e. ( 1 ... n ) -> _pi e. CC )
1261	1166	a1i	|- ( k e. ( 1 ... n ) -> _pi =/= 0 )
1262	1259 1260 1261	divcan4d	|- ( k e. ( 1 ... n ) -> ( ( k x. _pi ) / _pi ) = k )
1263	1262 1258	eqeltrd	|- ( k e. ( 1 ... n ) -> ( ( k x. _pi ) / _pi ) e. ZZ )
1264	1259 1260	mulcld	|- ( k e. ( 1 ... n ) -> ( k x. _pi ) e. CC )
1265		sineq0	|- ( ( k x. _pi ) e. CC -> ( ( sin ` ( k x. _pi ) ) = 0 <-> ( ( k x. _pi ) / _pi ) e. ZZ ) )
1266	1264 1265	syl	|- ( k e. ( 1 ... n ) -> ( ( sin ` ( k x. _pi ) ) = 0 <-> ( ( k x. _pi ) / _pi ) e. ZZ ) )
1267	1263 1266	mpbird	|- ( k e. ( 1 ... n ) -> ( sin ` ( k x. _pi ) ) = 0 )
1268	1267	oveq1d	|- ( k e. ( 1 ... n ) -> ( ( sin ` ( k x. _pi ) ) / k ) = ( 0 / k ) )
1269		0red	|- ( k e. ( 1 ... n ) -> 0 e. RR )
1270		1red	|- ( k e. ( 1 ... n ) -> 1 e. RR )
1271	1258	zred	|- ( k e. ( 1 ... n ) -> k e. RR )
1272	117	a1i	|- ( k e. ( 1 ... n ) -> 0 < 1 )
1273		elfzle1	|- ( k e. ( 1 ... n ) -> 1 <_ k )
1274	1269 1270 1271 1272 1273	ltletrd	|- ( k e. ( 1 ... n ) -> 0 < k )
1275	1274	gt0ne0d	|- ( k e. ( 1 ... n ) -> k =/= 0 )
1276	1259 1275	div0d	|- ( k e. ( 1 ... n ) -> ( 0 / k ) = 0 )
1277	1268 1276	eqtrd	|- ( k e. ( 1 ... n ) -> ( ( sin ` ( k x. _pi ) ) / k ) = 0 )
1278	1257 1277	sylan9eq	|- ( ( s = _pi /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) = 0 )
1279	1278	sumeq2dv	|- ( s = _pi -> sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) = sum_ k e. ( 1 ... n ) 0 )
1280		fzfi	|- ( 1 ... n ) e. Fin
1281	1280	olci	|- ( ( 1 ... n ) C_ ( ZZ>= ` .|| ) \/ ( 1 ... n ) e. Fin )
1282		sumz	|- ( ( ( 1 ... n ) C_ ( ZZ>= ` .|| ) \/ ( 1 ... n ) e. Fin ) -> sum_ k e. ( 1 ... n ) 0 = 0 )
1283	1281 1282	ax-mp	|- sum_ k e. ( 1 ... n ) 0 = 0
1284	1279 1283	eqtrdi	|- ( s = _pi -> sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) = 0 )
1285	1254 1284	oveq12d	|- ( s = _pi -> ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) = ( ( _pi / 2 ) + 0 ) )
1286	1285	oveq1d	|- ( s = _pi -> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) = ( ( ( _pi / 2 ) + 0 ) / _pi ) )
1287		ovex	|- ( ( ( _pi / 2 ) + 0 ) / _pi ) e. _V
1288	1286 1250 1287	fvmpt	|- ( _pi e. ( 0 [,] _pi ) -> ( ( s e. ( 0 [,] _pi ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` _pi ) = ( ( ( _pi / 2 ) + 0 ) / _pi ) )
1289	1253 1288	ax-mp	|- ( ( s e. ( 0 [,] _pi ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` _pi ) = ( ( ( _pi / 2 ) + 0 ) / _pi )
1290		lbicc2	|- ( ( 0 e. RR* /\ _pi e. RR* /\ 0 <_ _pi ) -> 0 e. ( 0 [,] _pi ) )
1291	76 77 1248 1290	mp3an	|- 0 e. ( 0 [,] _pi )
1292		oveq1	|- ( s = 0 -> ( s / 2 ) = ( 0 / 2 ) )
1293		2cn	|- 2 e. CC
1294	1293 256	div0i	|- ( 0 / 2 ) = 0
1295	1292 1294	eqtrdi	|- ( s = 0 -> ( s / 2 ) = 0 )
1296		oveq2	|- ( s = 0 -> ( k x. s ) = ( k x. 0 ) )
1297	1259	mul01d	|- ( k e. ( 1 ... n ) -> ( k x. 0 ) = 0 )
1298	1296 1297	sylan9eq	|- ( ( s = 0 /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( k x. s ) = 0 )
1299	1298	fveq2d	|- ( ( s = 0 /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( sin ` ( k x. s ) ) = ( sin ` 0 ) )
1300		sin0	|- ( sin ` 0 ) = 0
1301	1299 1300	eqtrdi	|- ( ( s = 0 /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( sin ` ( k x. s ) ) = 0 )
1302	1301	oveq1d	|- ( ( s = 0 /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) = ( 0 / k ) )
1303	1276	adantl	|- ( ( s = 0 /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( 0 / k ) = 0 )
1304	1302 1303	eqtrd	|- ( ( s = 0 /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) = 0 )
1305	1304	sumeq2dv	|- ( s = 0 -> sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) = sum_ k e. ( 1 ... n ) 0 )
1306	1305 1283	eqtrdi	|- ( s = 0 -> sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) = 0 )
1307	1295 1306	oveq12d	|- ( s = 0 -> ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) = ( 0 + 0 ) )
1308		00id	|- ( 0 + 0 ) = 0
1309	1307 1308	eqtrdi	|- ( s = 0 -> ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) = 0 )
1310	1309	oveq1d	|- ( s = 0 -> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) = ( 0 / _pi ) )
1311	1310 1204	eqtrdi	|- ( s = 0 -> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) = 0 )
1312		c0ex	|- 0 e. _V
1313	1311 1250 1312	fvmpt	|- ( 0 e. ( 0 [,] _pi ) -> ( ( s e. ( 0 [,] _pi ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` 0 ) = 0 )
1314	1291 1313	ax-mp	|- ( ( s e. ( 0 [,] _pi ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` 0 ) = 0
1315	1289 1314	oveq12i	|- ( ( ( s e. ( 0 [,] _pi ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` _pi ) - ( ( s e. ( 0 [,] _pi ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` 0 ) ) = ( ( ( ( _pi / 2 ) + 0 ) / _pi ) - 0 )
1316	1315	a1i	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( s e. ( 0 [,] _pi ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` _pi ) - ( ( s e. ( 0 [,] _pi ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` 0 ) ) = ( ( ( ( _pi / 2 ) + 0 ) / _pi ) - 0 ) )
1317	1021	recni	|- ( _pi / 2 ) e. CC
1318	1317	addid1i	|- ( ( _pi / 2 ) + 0 ) = ( _pi / 2 )
1319	1318	oveq1i	|- ( ( ( _pi / 2 ) + 0 ) / _pi ) = ( ( _pi / 2 ) / _pi )
1320	1157 1293 1157 256 1166	divdiv32i	|- ( ( _pi / 2 ) / _pi ) = ( ( _pi / _pi ) / 2 )
1321	1157 1166	dividi	|- ( _pi / _pi ) = 1
1322	1321	oveq1i	|- ( ( _pi / _pi ) / 2 ) = ( 1 / 2 )
1323	1319 1320 1322	3eqtri	|- ( ( ( _pi / 2 ) + 0 ) / _pi ) = ( 1 / 2 )
1324	1323	oveq1i	|- ( ( ( ( _pi / 2 ) + 0 ) / _pi ) - 0 ) = ( ( 1 / 2 ) - 0 )
1325		halfcn	|- ( 1 / 2 ) e. CC
1326	1325	subid1i	|- ( ( 1 / 2 ) - 0 ) = ( 1 / 2 )
1327	1324 1326	eqtri	|- ( ( ( ( _pi / 2 ) + 0 ) / _pi ) - 0 ) = ( 1 / 2 )
1328	1327	a1i	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( ( _pi / 2 ) + 0 ) / _pi ) - 0 ) = ( 1 / 2 ) )
1329	1251 1316 1328	3eqtrd	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( 0 (,) _pi ) ( ( D ` n ) ` s ) _d s = ( 1 / 2 ) )
1330	1 2 3 4 5 6 7 11 12 13 14 15 16 17 841 601 22 23 20 21 1229 1242 19 24 54 1244 1329	fourierdlem95	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( E ` n ) + ( Y / 2 ) ) = S. ( 0 (,) _pi ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s )
1331	1220 1330	syldan	|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( E ` n ) + ( Y / 2 ) ) = S. ( 0 (,) _pi ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s )
1332	18	a1i	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> Z = ( m e. NN |-> S. ( 0 (,) _pi ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` m ) ` s ) ) _d s ) )
1333		fveq2	|- ( m = n -> ( D ` m ) = ( D ` n ) )
1334	1333	fveq1d	|- ( m = n -> ( ( D ` m ) ` s ) = ( ( D ` n ) ` s ) )
1335	1334	oveq2d	|- ( m = n -> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` m ) ` s ) ) = ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) )
1336	1335	adantr	|- ( ( m = n /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` m ) ` s ) ) = ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) )
1337	1336	itgeq2dv	|- ( m = n -> S. ( 0 (,) _pi ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` m ) ` s ) ) _d s = S. ( 0 (,) _pi ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s )
1338	1337	adantl	|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ m = n ) -> S. ( 0 (,) _pi ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` m ) ` s ) ) _d s = S. ( 0 (,) _pi ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s )
1339	1	adantr	|- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> F : RR --> RR )
1340	2	adantr	|- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> X e. RR )
1341	782	adantl	|- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> s e. RR )
1342	1340 1341	readdcld	|- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( X + s ) e. RR )
1343	1339 1342	ffvelrnd	|- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )
1344	1343	adantlr	|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )
1345	24	dirkerf	|- ( n e. NN -> ( D ` n ) : RR --> RR )
1346	1345	ad2antlr	|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( D ` n ) : RR --> RR )
1347	782	adantl	|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> s e. RR )
1348	1346 1347	ffvelrnd	|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( ( D ` n ) ` s ) e. RR )
1349	1344 1348	remulcld	|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( 0 (,) _pi ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) e. RR )
1350	1	adantr	|- ( ( ph /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> F : RR --> RR )
1351	2	adantr	|- ( ( ph /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> X e. RR )
1352	228	sseli	|- ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) -> s e. RR )
1353	1352	adantl	|- ( ( ph /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> s e. RR )
1354	1351 1353	readdcld	|- ( ( ph /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( X + s ) e. RR )
1355	1350 1354	ffvelrnd	|- ( ( ph /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )
1356	1355	adantlr	|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )
1357	1345	ad2antlr	|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( D ` n ) : RR --> RR )
1358	1352	adantl	|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> s e. RR )
1359	1357 1358	ffvelrnd	|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( ( D ` n ) ` s ) e. RR )
1360	1356 1359	remulcld	|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) e. RR )
1361	70	a1i	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> -u _pi e. RR )
1362	24	dirkercncf	|- ( n e. NN -> ( D ` n ) e. ( RR -cn-> RR ) )
1363	1362	adantl	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( D ` n ) e. ( RR -cn-> RR ) )
1364		eqid	|- ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) )
1365	1361 1247 830 1168 3 835 836 837 838 839 29 840 1363 1364	fourierdlem84	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) e. L^1 )
1366	809 811 1360 1365	iblss	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( 0 (,) _pi ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) e. L^1 )
1367	1349 1366	itgrecl	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( 0 (,) _pi ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s e. RR )
1368	1332 1338 1144 1367	fvmptd	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( Z ` n ) = S. ( 0 (,) _pi ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s )
1369	1368	eqcomd	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( 0 (,) _pi ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s = ( Z ` n ) )
1370	1220 1369	syldan	|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> S. ( 0 (,) _pi ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s = ( Z ` n ) )
1371	1228 1331 1370	3eqtrrd	|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( Z ` n ) = ( ( E ` n ) + ( ( m e. NN |-> ( Y / 2 ) ) ` n ) ) )
1372	32 33 1206 1209 1223 1226 1227 1371	climadd	|- ( ph -> Z ~~> ( 0 + ( Y / 2 ) ) )
1373	1214	addid2d	|- ( ph -> ( 0 + ( Y / 2 ) ) = ( Y / 2 ) )
1374	1372 1373	breqtrd	|- ( ph -> Z ~~> ( Y / 2 ) )