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Theorem fourierdlem54

Description: Given a partition Q and an arbitrary interval [ C , D ] , a partition S on [ C , D ] is built such that it preserves any periodic function piecewise continuous on Q will be piecewise continuous on S , with the same limits. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019)

Ref Expression
Hypotheses fourierdlem54.t 
|- T = ( B - A )
fourierdlem54.p 
|- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0 ..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem54.m 
|- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem54.q 
|- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
fourierdlem54.c 
|- ( ph -> C e. RR )
fourierdlem54.d 
|- ( ph -> D e. RR )
fourierdlem54.cd 
|- ( ph -> C < D )
fourierdlem54.o 
|- O = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = C /\ ( p ` m ) = D ) /\ A. i e. ( 0 ..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem54.h 
|- H = ( { C , D } u. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } )
fourierdlem54.n 
|- N = ( ( # ` H ) - 1 )
fourierdlem54.s 
|- S = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) )
Assertion fourierdlem54 
|- ( ph -> ( ( N e. NN /\ S e. ( O ` N ) ) /\ S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 fourierdlem54.t 
 |-  T = ( B - A )
2 fourierdlem54.p 
 |-  P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0 ..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
3 fourierdlem54.m 
 |-  ( ph -> M e. NN )
4 fourierdlem54.q 
 |-  ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
5 fourierdlem54.c 
 |-  ( ph -> C e. RR )
6 fourierdlem54.d 
 |-  ( ph -> D e. RR )
7 fourierdlem54.cd 
 |-  ( ph -> C < D )
8 fourierdlem54.o 
 |-  O = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = C /\ ( p ` m ) = D ) /\ A. i e. ( 0 ..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
9 fourierdlem54.h 
 |-  H = ( { C , D } u. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } )
10 fourierdlem54.n 
 |-  N = ( ( # ` H ) - 1 )
11 fourierdlem54.s 
 |-  S = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) )
12 2z 
 |-  2 e. ZZ
13 12 a1i 
 |-  ( ph -> 2 e. ZZ )
14 prid1g 
 |-  ( C e. RR -> C e. { C , D } )
15 elun1 
 |-  ( C e. { C , D } -> C e. ( { C , D } u. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) )
16 5 14 15 3syl 
 |-  ( ph -> C e. ( { C , D } u. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) )
17 16 9 eleqtrrdi 
 |-  ( ph -> C e. H )
18 17 ne0d 
 |-  ( ph -> H =/= (/) )
19 prfi 
 |-  { C , D } e. Fin
20 2 3 4 fourierdlem11 
 |-  ( ph -> ( A e. RR /\ B e. RR /\ A < B ) )
21 20 simp1d 
 |-  ( ph -> A e. RR )
22 20 simp2d 
 |-  ( ph -> B e. RR )
23 20 simp3d 
 |-  ( ph -> A < B )
24 2 3 4 fourierdlem15 
 |-  ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B ) )
25 frn 
 |-  ( Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B ) -> ran Q C_ ( A [,] B ) )
26 24 25 syl 
 |-  ( ph -> ran Q C_ ( A [,] B ) )
27 2 fourierdlem2 
 |-  ( M e. NN -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0 ..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
28 3 27 syl 
 |-  ( ph -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0 ..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
29 4 28 mpbid 
 |-  ( ph -> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0 ..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
30 29 simpld 
 |-  ( ph -> Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) )
31 elmapi 
 |-  ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
32 ffn 
 |-  ( Q : ( 0 ... M ) --> RR -> Q Fn ( 0 ... M ) )
33 30 31 32 3syl 
 |-  ( ph -> Q Fn ( 0 ... M ) )
34 fzfid 
 |-  ( ph -> ( 0 ... M ) e. Fin )
35 fnfi 
 |-  ( ( Q Fn ( 0 ... M ) /\ ( 0 ... M ) e. Fin ) -> Q e. Fin )
36 33 34 35 syl2anc 
 |-  ( ph -> Q e. Fin )
37 rnfi 
 |-  ( Q e. Fin -> ran Q e. Fin )
38 36 37 syl 
 |-  ( ph -> ran Q e. Fin )
39 29 simprd 
 |-  ( ph -> ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0 ..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
40 39 simpld 
 |-  ( ph -> ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) )
41 40 simpld 
 |-  ( ph -> ( Q ` 0 ) = A )
42 3 nnnn0d 
 |-  ( ph -> M e. NN0 )
43 nn0uz 
 |-  NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
44 42 43 eleqtrdi 
 |-  ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 0 ) )
45 eluzfz1 
 |-  ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 0 e. ( 0 ... M ) )
46 44 45 syl 
 |-  ( ph -> 0 e. ( 0 ... M ) )
47 fnfvelrn 
 |-  ( ( Q Fn ( 0 ... M ) /\ 0 e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` 0 ) e. ran Q )
48 33 46 47 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( Q ` 0 ) e. ran Q )
49 41 48 eqeltrrd 
 |-  ( ph -> A e. ran Q )
50 40 simprd 
 |-  ( ph -> ( Q ` M ) = B )
51 eluzfz2 
 |-  ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> M e. ( 0 ... M ) )
52 44 51 syl 
 |-  ( ph -> M e. ( 0 ... M ) )
53 fnfvelrn 
 |-  ( ( Q Fn ( 0 ... M ) /\ M e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` M ) e. ran Q )
54 33 52 53 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( Q ` M ) e. ran Q )
55 50 54 eqeltrrd 
 |-  ( ph -> B e. ran Q )
56 eqid 
 |-  ( abs o. - ) = ( abs o. - )
57 eqid 
 |-  ( ( ran Q X. ran Q ) \ _I ) = ( ( ran Q X. ran Q ) \ _I )
58 eqid 
 |-  ran ( ( abs o. - ) |` ( ( ran Q X. ran Q ) \ _I ) ) = ran ( ( abs o. - ) |` ( ( ran Q X. ran Q ) \ _I ) )
59 eqid 
 |-  inf ( ran ( ( abs o. - ) |` ( ( ran Q X. ran Q ) \ _I ) ) , RR , < ) = inf ( ran ( ( abs o. - ) |` ( ( ran Q X. ran Q ) \ _I ) ) , RR , < )
60 eqid 
 |-  ( topGen ` ran (,) ) = ( topGen ` ran (,) )
61 eqid 
 |-  ( ( topGen ` ran (,) ) |`t ( C [,] D ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) |`t ( C [,] D ) )
62 oveq1 
 |-  ( x = w -> ( x + ( k x. T ) ) = ( w + ( k x. T ) ) )
63 62 eleq1d 
 |-  ( x = w -> ( ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> ( w + ( k x. T ) ) e. ran Q ) )
64 63 rexbidv 
 |-  ( x = w -> ( E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> E. k e. ZZ ( w + ( k x. T ) ) e. ran Q ) )
65 64 cbvrabv 
 |-  { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } = { w e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( w + ( k x. T ) ) e. ran Q }
66 oveq1 
 |-  ( i = j -> ( i x. T ) = ( j x. T ) )
67 66 oveq2d 
 |-  ( i = j -> ( y + ( i x. T ) ) = ( y + ( j x. T ) ) )
68 67 eleq1d 
 |-  ( i = j -> ( ( y + ( i x. T ) ) e. ran Q <-> ( y + ( j x. T ) ) e. ran Q ) )
69 68 anbi1d 
 |-  ( i = j -> ( ( ( y + ( i x. T ) ) e. ran Q /\ ( z + ( l x. T ) ) e. ran Q ) <-> ( ( y + ( j x. T ) ) e. ran Q /\ ( z + ( l x. T ) ) e. ran Q ) ) )
70 oveq1 
 |-  ( l = k -> ( l x. T ) = ( k x. T ) )
71 70 oveq2d 
 |-  ( l = k -> ( z + ( l x. T ) ) = ( z + ( k x. T ) ) )
72 71 eleq1d 
 |-  ( l = k -> ( ( z + ( l x. T ) ) e. ran Q <-> ( z + ( k x. T ) ) e. ran Q ) )
73 72 anbi2d 
 |-  ( l = k -> ( ( ( y + ( j x. T ) ) e. ran Q /\ ( z + ( l x. T ) ) e. ran Q ) <-> ( ( y + ( j x. T ) ) e. ran Q /\ ( z + ( k x. T ) ) e. ran Q ) ) )
74 69 73 cbvrex2vw 
 |-  ( E. i e. ZZ E. l e. ZZ ( ( y + ( i x. T ) ) e. ran Q /\ ( z + ( l x. T ) ) e. ran Q ) <-> E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( y + ( j x. T ) ) e. ran Q /\ ( z + ( k x. T ) ) e. ran Q ) )
75 74 anbi2i 
 |-  ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y < z ) ) /\ E. i e. ZZ E. l e. ZZ ( ( y + ( i x. T ) ) e. ran Q /\ ( z + ( l x. T ) ) e. ran Q ) ) <-> ( ( ph /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y < z ) ) /\ E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( y + ( j x. T ) ) e. ran Q /\ ( z + ( k x. T ) ) e. ran Q ) ) )
76 21 22 23 1 26 38 49 55 56 57 58 59 5 6 60 61 65 75 fourierdlem42 
 |-  ( ph -> { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } e. Fin )
77 unfi 
 |-  ( ( { C , D } e. Fin /\ { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } e. Fin ) -> ( { C , D } u. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) e. Fin )
78 19 76 77 sylancr 
 |-  ( ph -> ( { C , D } u. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) e. Fin )
79 9 78 eqeltrid 
 |-  ( ph -> H e. Fin )
80 hashnncl 
 |-  ( H e. Fin -> ( ( # ` H ) e. NN <-> H =/= (/) ) )
81 79 80 syl 
 |-  ( ph -> ( ( # ` H ) e. NN <-> H =/= (/) ) )
82 18 81 mpbird 
 |-  ( ph -> ( # ` H ) e. NN )
83 82 nnzd 
 |-  ( ph -> ( # ` H ) e. ZZ )
84 5 7 ltned 
 |-  ( ph -> C =/= D )
85 hashprg 
 |-  ( ( C e. RR /\ D e. RR ) -> ( C =/= D <-> ( # ` { C , D } ) = 2 ) )
86 5 6 85 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( C =/= D <-> ( # ` { C , D } ) = 2 ) )
87 84 86 mpbid 
 |-  ( ph -> ( # ` { C , D } ) = 2 )
88 87 eqcomd 
 |-  ( ph -> 2 = ( # ` { C , D } ) )
89 ssun1 
 |-  { C , D } C_ ( { C , D } u. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } )
90 89 a1i 
 |-  ( ph -> { C , D } C_ ( { C , D } u. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) )
91 90 9 sseqtrrdi 
 |-  ( ph -> { C , D } C_ H )
92 hashssle 
 |-  ( ( H e. Fin /\ { C , D } C_ H ) -> ( # ` { C , D } ) <_ ( # ` H ) )
93 79 91 92 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( # ` { C , D } ) <_ ( # ` H ) )
94 88 93 eqbrtrd 
 |-  ( ph -> 2 <_ ( # ` H ) )
95 eluz2 
 |-  ( ( # ` H ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ ( # ` H ) e. ZZ /\ 2 <_ ( # ` H ) ) )
96 13 83 94 95 syl3anbrc 
 |-  ( ph -> ( # ` H ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
97 uz2m1nn 
 |-  ( ( # ` H ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( # ` H ) - 1 ) e. NN )
98 96 97 syl 
 |-  ( ph -> ( ( # ` H ) - 1 ) e. NN )
99 10 98 eqeltrid 
 |-  ( ph -> N e. NN )
100 prssg 
 |-  ( ( C e. RR /\ D e. RR ) -> ( ( C e. RR /\ D e. RR ) <-> { C , D } C_ RR ) )
101 5 6 100 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( ( C e. RR /\ D e. RR ) <-> { C , D } C_ RR ) )
102 5 6 101 mpbi2and 
 |-  ( ph -> { C , D } C_ RR )
103 ssrab2 
 |-  { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } C_ ( C [,] D )
104 5 6 iccssred 
 |-  ( ph -> ( C [,] D ) C_ RR )
105 103 104 sstrid 
 |-  ( ph -> { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } C_ RR )
106 102 105 unssd 
 |-  ( ph -> ( { C , D } u. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) C_ RR )
107 9 106 eqsstrid 
 |-  ( ph -> H C_ RR )
108 79 107 11 10 fourierdlem36 
 |-  ( ph -> S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) )
109 df-isom 
 |-  ( S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) <-> ( S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> H /\ A. x e. ( 0 ... N ) A. y e. ( 0 ... N ) ( x < y <-> ( S ` x ) < ( S ` y ) ) ) )
110 108 109 sylib 
 |-  ( ph -> ( S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> H /\ A. x e. ( 0 ... N ) A. y e. ( 0 ... N ) ( x < y <-> ( S ` x ) < ( S ` y ) ) ) )
111 110 simpld 
 |-  ( ph -> S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> H )
112 f1of 
 |-  ( S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> H -> S : ( 0 ... N ) --> H )
113 111 112 syl 
 |-  ( ph -> S : ( 0 ... N ) --> H )
114 113 107 fssd 
 |-  ( ph -> S : ( 0 ... N ) --> RR )
115 reex 
 |-  RR e. _V
116 ovex 
 |-  ( 0 ... N ) e. _V
117 116 a1i 
 |-  ( ph -> ( 0 ... N ) e. _V )
118 elmapg 
 |-  ( ( RR e. _V /\ ( 0 ... N ) e. _V ) -> ( S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) <-> S : ( 0 ... N ) --> RR ) )
119 115 117 118 sylancr 
 |-  ( ph -> ( S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) <-> S : ( 0 ... N ) --> RR ) )
120 114 119 mpbird 
 |-  ( ph -> S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) )
121 df-f1o 
 |-  ( S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> H <-> ( S : ( 0 ... N ) -1-1-> H /\ S : ( 0 ... N ) -onto-> H ) )
122 111 121 sylib 
 |-  ( ph -> ( S : ( 0 ... N ) -1-1-> H /\ S : ( 0 ... N ) -onto-> H ) )
123 122 simprd 
 |-  ( ph -> S : ( 0 ... N ) -onto-> H )
124 dffo3 
 |-  ( S : ( 0 ... N ) -onto-> H <-> ( S : ( 0 ... N ) --> H /\ A. h e. H E. y e. ( 0 ... N ) h = ( S ` y ) ) )
125 123 124 sylib 
 |-  ( ph -> ( S : ( 0 ... N ) --> H /\ A. h e. H E. y e. ( 0 ... N ) h = ( S ` y ) ) )
126 125 simprd 
 |-  ( ph -> A. h e. H E. y e. ( 0 ... N ) h = ( S ` y ) )
127 eqeq1 
 |-  ( h = C -> ( h = ( S ` y ) <-> C = ( S ` y ) ) )
128 eqcom 
 |-  ( C = ( S ` y ) <-> ( S ` y ) = C )
129 127 128 bitrdi 
 |-  ( h = C -> ( h = ( S ` y ) <-> ( S ` y ) = C ) )
130 129 rexbidv 
 |-  ( h = C -> ( E. y e. ( 0 ... N ) h = ( S ` y ) <-> E. y e. ( 0 ... N ) ( S ` y ) = C ) )
131 130 rspcv 
 |-  ( C e. H -> ( A. h e. H E. y e. ( 0 ... N ) h = ( S ` y ) -> E. y e. ( 0 ... N ) ( S ` y ) = C ) )
132 17 126 131 sylc 
 |-  ( ph -> E. y e. ( 0 ... N ) ( S ` y ) = C )
133 fveq2 
 |-  ( y = 0 -> ( S ` y ) = ( S ` 0 ) )
134 133 eqcomd 
 |-  ( y = 0 -> ( S ` 0 ) = ( S ` y ) )
135 134 adantl 
 |-  ( ( ( ph /\ ( S ` y ) = C ) /\ y = 0 ) -> ( S ` 0 ) = ( S ` y ) )
136 simplr 
 |-  ( ( ( ph /\ ( S ` y ) = C ) /\ y = 0 ) -> ( S ` y ) = C )
137 135 136 eqtrd 
 |-  ( ( ( ph /\ ( S ` y ) = C ) /\ y = 0 ) -> ( S ` 0 ) = C )
138 5 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ ( S ` y ) = C ) /\ y = 0 ) -> C e. RR )
139 137 138 eqeltrd 
 |-  ( ( ( ph /\ ( S ` y ) = C ) /\ y = 0 ) -> ( S ` 0 ) e. RR )
140 139 137 eqled 
 |-  ( ( ( ph /\ ( S ` y ) = C ) /\ y = 0 ) -> ( S ` 0 ) <_ C )
141 140 3adantl2 
 |-  ( ( ( ph /\ y e. ( 0 ... N ) /\ ( S ` y ) = C ) /\ y = 0 ) -> ( S ` 0 ) <_ C )
142 5 rexrd 
 |-  ( ph -> C e. RR* )
143 6 rexrd 
 |-  ( ph -> D e. RR* )
144 5 6 7 ltled 
 |-  ( ph -> C <_ D )
145 lbicc2 
 |-  ( ( C e. RR* /\ D e. RR* /\ C <_ D ) -> C e. ( C [,] D ) )
146 142 143 144 145 syl3anc 
 |-  ( ph -> C e. ( C [,] D ) )
147 ubicc2 
 |-  ( ( C e. RR* /\ D e. RR* /\ C <_ D ) -> D e. ( C [,] D ) )
148 142 143 144 147 syl3anc 
 |-  ( ph -> D e. ( C [,] D ) )
149 prssg 
 |-  ( ( C e. ( C [,] D ) /\ D e. ( C [,] D ) ) -> ( ( C e. ( C [,] D ) /\ D e. ( C [,] D ) ) <-> { C , D } C_ ( C [,] D ) ) )
150 146 148 149 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( ( C e. ( C [,] D ) /\ D e. ( C [,] D ) ) <-> { C , D } C_ ( C [,] D ) ) )
151 146 148 150 mpbi2and 
 |-  ( ph -> { C , D } C_ ( C [,] D ) )
152 103 a1i 
 |-  ( ph -> { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } C_ ( C [,] D ) )
153 151 152 unssd 
 |-  ( ph -> ( { C , D } u. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) C_ ( C [,] D ) )
154 9 153 eqsstrid 
 |-  ( ph -> H C_ ( C [,] D ) )
155 nnm1nn0 
 |-  ( ( # ` H ) e. NN -> ( ( # ` H ) - 1 ) e. NN0 )
156 82 155 syl 
 |-  ( ph -> ( ( # ` H ) - 1 ) e. NN0 )
157 10 156 eqeltrid 
 |-  ( ph -> N e. NN0 )
158 157 43 eleqtrdi 
 |-  ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
159 eluzfz1 
 |-  ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 0 e. ( 0 ... N ) )
160 158 159 syl 
 |-  ( ph -> 0 e. ( 0 ... N ) )
161 113 160 ffvelrnd 
 |-  ( ph -> ( S ` 0 ) e. H )
162 154 161 sseldd 
 |-  ( ph -> ( S ` 0 ) e. ( C [,] D ) )
163 104 162 sseldd 
 |-  ( ph -> ( S ` 0 ) e. RR )
164 163 adantr 
 |-  ( ( ph /\ -. y = 0 ) -> ( S ` 0 ) e. RR )
165 164 3ad2antl1 
 |-  ( ( ( ph /\ y e. ( 0 ... N ) /\ ( S ` y ) = C ) /\ -. y = 0 ) -> ( S ` 0 ) e. RR )
166 5 adantr 
 |-  ( ( ph /\ -. y = 0 ) -> C e. RR )
167 166 3ad2antl1 
 |-  ( ( ( ph /\ y e. ( 0 ... N ) /\ ( S ` y ) = C ) /\ -. y = 0 ) -> C e. RR )
168 elfzelz 
 |-  ( y e. ( 0 ... N ) -> y e. ZZ )
169 168 zred 
 |-  ( y e. ( 0 ... N ) -> y e. RR )
170 169 adantr 
 |-  ( ( y e. ( 0 ... N ) /\ -. y = 0 ) -> y e. RR )
171 elfzle1 
 |-  ( y e. ( 0 ... N ) -> 0 <_ y )
172 171 adantr 
 |-  ( ( y e. ( 0 ... N ) /\ -. y = 0 ) -> 0 <_ y )
173 neqne 
 |-  ( -. y = 0 -> y =/= 0 )
174 173 adantl 
 |-  ( ( y e. ( 0 ... N ) /\ -. y = 0 ) -> y =/= 0 )
175 170 172 174 ne0gt0d 
 |-  ( ( y e. ( 0 ... N ) /\ -. y = 0 ) -> 0 < y )
176 175 3ad2antl2 
 |-  ( ( ( ph /\ y e. ( 0 ... N ) /\ ( S ` y ) = C ) /\ -. y = 0 ) -> 0 < y )
177 simpl1 
 |-  ( ( ( ph /\ y e. ( 0 ... N ) /\ ( S ` y ) = C ) /\ -. y = 0 ) -> ph )
178 simpl2 
 |-  ( ( ( ph /\ y e. ( 0 ... N ) /\ ( S ` y ) = C ) /\ -. y = 0 ) -> y e. ( 0 ... N ) )
179 110 simprd 
 |-  ( ph -> A. x e. ( 0 ... N ) A. y e. ( 0 ... N ) ( x < y <-> ( S ` x ) < ( S ` y ) ) )
180 breq1 
 |-  ( x = 0 -> ( x < y <-> 0 < y ) )
181 fveq2 
 |-  ( x = 0 -> ( S ` x ) = ( S ` 0 ) )
182 181 breq1d 
 |-  ( x = 0 -> ( ( S ` x ) < ( S ` y ) <-> ( S ` 0 ) < ( S ` y ) ) )
183 180 182 bibi12d 
 |-  ( x = 0 -> ( ( x < y <-> ( S ` x ) < ( S ` y ) ) <-> ( 0 < y <-> ( S ` 0 ) < ( S ` y ) ) ) )
184 183 ralbidv 
 |-  ( x = 0 -> ( A. y e. ( 0 ... N ) ( x < y <-> ( S ` x ) < ( S ` y ) ) <-> A. y e. ( 0 ... N ) ( 0 < y <-> ( S ` 0 ) < ( S ` y ) ) ) )
185 184 rspcv 
 |-  ( 0 e. ( 0 ... N ) -> ( A. x e. ( 0 ... N ) A. y e. ( 0 ... N ) ( x < y <-> ( S ` x ) < ( S ` y ) ) -> A. y e. ( 0 ... N ) ( 0 < y <-> ( S ` 0 ) < ( S ` y ) ) ) )
186 160 179 185 sylc 
 |-  ( ph -> A. y e. ( 0 ... N ) ( 0 < y <-> ( S ` 0 ) < ( S ` y ) ) )
187 186 r19.21bi 
 |-  ( ( ph /\ y e. ( 0 ... N ) ) -> ( 0 < y <-> ( S ` 0 ) < ( S ` y ) ) )
188 177 178 187 syl2anc 
 |-  ( ( ( ph /\ y e. ( 0 ... N ) /\ ( S ` y ) = C ) /\ -. y = 0 ) -> ( 0 < y <-> ( S ` 0 ) < ( S ` y ) ) )
189 176 188 mpbid 
 |-  ( ( ( ph /\ y e. ( 0 ... N ) /\ ( S ` y ) = C ) /\ -. y = 0 ) -> ( S ` 0 ) < ( S ` y ) )
190 simpl3 
 |-  ( ( ( ph /\ y e. ( 0 ... N ) /\ ( S ` y ) = C ) /\ -. y = 0 ) -> ( S ` y ) = C )
191 189 190 breqtrd 
 |-  ( ( ( ph /\ y e. ( 0 ... N ) /\ ( S ` y ) = C ) /\ -. y = 0 ) -> ( S ` 0 ) < C )
192 165 167 191 ltled 
 |-  ( ( ( ph /\ y e. ( 0 ... N ) /\ ( S ` y ) = C ) /\ -. y = 0 ) -> ( S ` 0 ) <_ C )
193 141 192 pm2.61dan 
 |-  ( ( ph /\ y e. ( 0 ... N ) /\ ( S ` y ) = C ) -> ( S ` 0 ) <_ C )
194 193 rexlimdv3a 
 |-  ( ph -> ( E. y e. ( 0 ... N ) ( S ` y ) = C -> ( S ` 0 ) <_ C ) )
195 132 194 mpd 
 |-  ( ph -> ( S ` 0 ) <_ C )
196 elicc2 
 |-  ( ( C e. RR /\ D e. RR ) -> ( ( S ` 0 ) e. ( C [,] D ) <-> ( ( S ` 0 ) e. RR /\ C <_ ( S ` 0 ) /\ ( S ` 0 ) <_ D ) ) )
197 5 6 196 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( ( S ` 0 ) e. ( C [,] D ) <-> ( ( S ` 0 ) e. RR /\ C <_ ( S ` 0 ) /\ ( S ` 0 ) <_ D ) ) )
198 162 197 mpbid 
 |-  ( ph -> ( ( S ` 0 ) e. RR /\ C <_ ( S ` 0 ) /\ ( S ` 0 ) <_ D ) )
199 198 simp2d 
 |-  ( ph -> C <_ ( S ` 0 ) )
200 163 5 letri3d 
 |-  ( ph -> ( ( S ` 0 ) = C <-> ( ( S ` 0 ) <_ C /\ C <_ ( S ` 0 ) ) ) )
201 195 199 200 mpbir2and 
 |-  ( ph -> ( S ` 0 ) = C )
202 eluzfz2 
 |-  ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) -> N e. ( 0 ... N ) )
203 158 202 syl 
 |-  ( ph -> N e. ( 0 ... N ) )
204 113 203 ffvelrnd 
 |-  ( ph -> ( S ` N ) e. H )
205 154 204 sseldd 
 |-  ( ph -> ( S ` N ) e. ( C [,] D ) )
206 elicc2 
 |-  ( ( C e. RR /\ D e. RR ) -> ( ( S ` N ) e. ( C [,] D ) <-> ( ( S ` N ) e. RR /\ C <_ ( S ` N ) /\ ( S ` N ) <_ D ) ) )
207 5 6 206 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( ( S ` N ) e. ( C [,] D ) <-> ( ( S ` N ) e. RR /\ C <_ ( S ` N ) /\ ( S ` N ) <_ D ) ) )
208 205 207 mpbid 
 |-  ( ph -> ( ( S ` N ) e. RR /\ C <_ ( S ` N ) /\ ( S ` N ) <_ D ) )
209 208 simp3d 
 |-  ( ph -> ( S ` N ) <_ D )
210 prid2g 
 |-  ( D e. RR -> D e. { C , D } )
211 elun1 
 |-  ( D e. { C , D } -> D e. ( { C , D } u. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) )
212 6 210 211 3syl 
 |-  ( ph -> D e. ( { C , D } u. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) )
213 212 9 eleqtrrdi 
 |-  ( ph -> D e. H )
214 eqeq1 
 |-  ( h = D -> ( h = ( S ` y ) <-> D = ( S ` y ) ) )
215 eqcom 
 |-  ( D = ( S ` y ) <-> ( S ` y ) = D )
216 214 215 bitrdi 
 |-  ( h = D -> ( h = ( S ` y ) <-> ( S ` y ) = D ) )
217 216 rexbidv 
 |-  ( h = D -> ( E. y e. ( 0 ... N ) h = ( S ` y ) <-> E. y e. ( 0 ... N ) ( S ` y ) = D ) )
218 217 rspcv 
 |-  ( D e. H -> ( A. h e. H E. y e. ( 0 ... N ) h = ( S ` y ) -> E. y e. ( 0 ... N ) ( S ` y ) = D ) )
219 213 126 218 sylc 
 |-  ( ph -> E. y e. ( 0 ... N ) ( S ` y ) = D )
220 215 biimpri 
 |-  ( ( S ` y ) = D -> D = ( S ` y ) )
221 220 3ad2ant3 
 |-  ( ( ph /\ y e. ( 0 ... N ) /\ ( S ` y ) = D ) -> D = ( S ` y ) )
222 114 ffvelrnda 
 |-  ( ( ph /\ y e. ( 0 ... N ) ) -> ( S ` y ) e. RR )
223 104 205 sseldd 
 |-  ( ph -> ( S ` N ) e. RR )
224 223 adantr 
 |-  ( ( ph /\ y e. ( 0 ... N ) ) -> ( S ` N ) e. RR )
225 169 adantl 
 |-  ( ( ph /\ y e. ( 0 ... N ) ) -> y e. RR )
226 elfzel2 
 |-  ( y e. ( 0 ... N ) -> N e. ZZ )
227 226 zred 
 |-  ( y e. ( 0 ... N ) -> N e. RR )
228 227 adantl 
 |-  ( ( ph /\ y e. ( 0 ... N ) ) -> N e. RR )
229 elfzle2 
 |-  ( y e. ( 0 ... N ) -> y <_ N )
230 229 adantl 
 |-  ( ( ph /\ y e. ( 0 ... N ) ) -> y <_ N )
231 225 228 230 lensymd 
 |-  ( ( ph /\ y e. ( 0 ... N ) ) -> -. N < y )
232 breq1 
 |-  ( x = N -> ( x < y <-> N < y ) )
233 fveq2 
 |-  ( x = N -> ( S ` x ) = ( S ` N ) )
234 233 breq1d 
 |-  ( x = N -> ( ( S ` x ) < ( S ` y ) <-> ( S ` N ) < ( S ` y ) ) )
235 232 234 bibi12d 
 |-  ( x = N -> ( ( x < y <-> ( S ` x ) < ( S ` y ) ) <-> ( N < y <-> ( S ` N ) < ( S ` y ) ) ) )
236 235 ralbidv 
 |-  ( x = N -> ( A. y e. ( 0 ... N ) ( x < y <-> ( S ` x ) < ( S ` y ) ) <-> A. y e. ( 0 ... N ) ( N < y <-> ( S ` N ) < ( S ` y ) ) ) )
237 236 rspcv 
 |-  ( N e. ( 0 ... N ) -> ( A. x e. ( 0 ... N ) A. y e. ( 0 ... N ) ( x < y <-> ( S ` x ) < ( S ` y ) ) -> A. y e. ( 0 ... N ) ( N < y <-> ( S ` N ) < ( S ` y ) ) ) )
238 203 179 237 sylc 
 |-  ( ph -> A. y e. ( 0 ... N ) ( N < y <-> ( S ` N ) < ( S ` y ) ) )
239 238 r19.21bi 
 |-  ( ( ph /\ y e. ( 0 ... N ) ) -> ( N < y <-> ( S ` N ) < ( S ` y ) ) )
240 231 239 mtbid 
 |-  ( ( ph /\ y e. ( 0 ... N ) ) -> -. ( S ` N ) < ( S ` y ) )
241 222 224 240 nltled 
 |-  ( ( ph /\ y e. ( 0 ... N ) ) -> ( S ` y ) <_ ( S ` N ) )
242 241 3adant3 
 |-  ( ( ph /\ y e. ( 0 ... N ) /\ ( S ` y ) = D ) -> ( S ` y ) <_ ( S ` N ) )
243 221 242 eqbrtrd 
 |-  ( ( ph /\ y e. ( 0 ... N ) /\ ( S ` y ) = D ) -> D <_ ( S ` N ) )
244 243 rexlimdv3a 
 |-  ( ph -> ( E. y e. ( 0 ... N ) ( S ` y ) = D -> D <_ ( S ` N ) ) )
245 219 244 mpd 
 |-  ( ph -> D <_ ( S ` N ) )
246 223 6 letri3d 
 |-  ( ph -> ( ( S ` N ) = D <-> ( ( S ` N ) <_ D /\ D <_ ( S ` N ) ) ) )
247 209 245 246 mpbir2and 
 |-  ( ph -> ( S ` N ) = D )
248 elfzoelz 
 |-  ( i e. ( 0 ..^ N ) -> i e. ZZ )
249 248 zred 
 |-  ( i e. ( 0 ..^ N ) -> i e. RR )
250 249 ltp1d 
 |-  ( i e. ( 0 ..^ N ) -> i < ( i + 1 ) )
251 250 adantl 
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ N ) ) -> i < ( i + 1 ) )
252 179 adantr 
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ N ) ) -> A. x e. ( 0 ... N ) A. y e. ( 0 ... N ) ( x < y <-> ( S ` x ) < ( S ` y ) ) )
253 elfzofz 
 |-  ( i e. ( 0 ..^ N ) -> i e. ( 0 ... N ) )
254 253 adantl 
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ N ) ) -> i e. ( 0 ... N ) )
255 fzofzp1 
 |-  ( i e. ( 0 ..^ N ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
256 255 adantl 
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
257 breq1 
 |-  ( x = i -> ( x < y <-> i < y ) )
258 fveq2 
 |-  ( x = i -> ( S ` x ) = ( S ` i ) )
259 258 breq1d 
 |-  ( x = i -> ( ( S ` x ) < ( S ` y ) <-> ( S ` i ) < ( S ` y ) ) )
260 257 259 bibi12d 
 |-  ( x = i -> ( ( x < y <-> ( S ` x ) < ( S ` y ) ) <-> ( i < y <-> ( S ` i ) < ( S ` y ) ) ) )
261 breq2 
 |-  ( y = ( i + 1 ) -> ( i < y <-> i < ( i + 1 ) ) )
262 fveq2 
 |-  ( y = ( i + 1 ) -> ( S ` y ) = ( S ` ( i + 1 ) ) )
263 262 breq2d 
 |-  ( y = ( i + 1 ) -> ( ( S ` i ) < ( S ` y ) <-> ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) ) )
264 261 263 bibi12d 
 |-  ( y = ( i + 1 ) -> ( ( i < y <-> ( S ` i ) < ( S ` y ) ) <-> ( i < ( i + 1 ) <-> ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) ) ) )
265 260 264 rspc2v 
 |-  ( ( i e. ( 0 ... N ) /\ ( i + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( A. x e. ( 0 ... N ) A. y e. ( 0 ... N ) ( x < y <-> ( S ` x ) < ( S ` y ) ) -> ( i < ( i + 1 ) <-> ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) ) ) )
266 254 256 265 syl2anc 
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( A. x e. ( 0 ... N ) A. y e. ( 0 ... N ) ( x < y <-> ( S ` x ) < ( S ` y ) ) -> ( i < ( i + 1 ) <-> ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) ) ) )
267 252 266 mpd 
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( i < ( i + 1 ) <-> ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) ) )
268 251 267 mpbid 
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) )
269 268 ralrimiva 
 |-  ( ph -> A. i e. ( 0 ..^ N ) ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) )
270 201 247 269 jca31 
 |-  ( ph -> ( ( ( S ` 0 ) = C /\ ( S ` N ) = D ) /\ A. i e. ( 0 ..^ N ) ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) ) )
271 8 fourierdlem2 
 |-  ( N e. NN -> ( S e. ( O ` N ) <-> ( S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) /\ ( ( ( S ` 0 ) = C /\ ( S ` N ) = D ) /\ A. i e. ( 0 ..^ N ) ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
272 99 271 syl 
 |-  ( ph -> ( S e. ( O ` N ) <-> ( S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) /\ ( ( ( S ` 0 ) = C /\ ( S ` N ) = D ) /\ A. i e. ( 0 ..^ N ) ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
273 120 270 272 mpbir2and 
 |-  ( ph -> S e. ( O ` N ) )
274 99 273 108 jca31 
 |-  ( ph -> ( ( N e. NN /\ S e. ( O ` N ) ) /\ S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) ) )