Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
simpl |
|- ( ( R Fr A /\ B e. A ) -> R Fr A ) |
2 |
|
snssi |
|- ( B e. A -> { B } C_ A ) |
3 |
2
|
adantl |
|- ( ( R Fr A /\ B e. A ) -> { B } C_ A ) |
4 |
|
snnzg |
|- ( B e. A -> { B } =/= (/) ) |
5 |
4
|
adantl |
|- ( ( R Fr A /\ B e. A ) -> { B } =/= (/) ) |
6 |
|
snex |
|- { B } e. _V |
7 |
6
|
frc |
|- ( ( R Fr A /\ { B } C_ A /\ { B } =/= (/) ) -> E. y e. { B } { x e. { B } | x R y } = (/) ) |
8 |
1 3 5 7
|
syl3anc |
|- ( ( R Fr A /\ B e. A ) -> E. y e. { B } { x e. { B } | x R y } = (/) ) |
9 |
|
rabeq0 |
|- ( { x e. { B } | x R y } = (/) <-> A. x e. { B } -. x R y ) |
10 |
|
breq2 |
|- ( y = B -> ( x R y <-> x R B ) ) |
11 |
10
|
notbid |
|- ( y = B -> ( -. x R y <-> -. x R B ) ) |
12 |
11
|
ralbidv |
|- ( y = B -> ( A. x e. { B } -. x R y <-> A. x e. { B } -. x R B ) ) |
13 |
9 12
|
syl5bb |
|- ( y = B -> ( { x e. { B } | x R y } = (/) <-> A. x e. { B } -. x R B ) ) |
14 |
13
|
rexsng |
|- ( B e. A -> ( E. y e. { B } { x e. { B } | x R y } = (/) <-> A. x e. { B } -. x R B ) ) |
15 |
|
breq1 |
|- ( x = B -> ( x R B <-> B R B ) ) |
16 |
15
|
notbid |
|- ( x = B -> ( -. x R B <-> -. B R B ) ) |
17 |
16
|
ralsng |
|- ( B e. A -> ( A. x e. { B } -. x R B <-> -. B R B ) ) |
18 |
14 17
|
bitrd |
|- ( B e. A -> ( E. y e. { B } { x e. { B } | x R y } = (/) <-> -. B R B ) ) |
19 |
18
|
adantl |
|- ( ( R Fr A /\ B e. A ) -> ( E. y e. { B } { x e. { B } | x R y } = (/) <-> -. B R B ) ) |
20 |
8 19
|
mpbid |
|- ( ( R Fr A /\ B e. A ) -> -. B R B ) |