Theorem frirr

Description: A well-founded relation is irreflexive. Special case of Proposition 6.23 of TakeutiZaring p. 30. (Contributed by NM, 2-Jan-1994) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2015)

	Ref	Expression
Assertion	frirr	|- ( ( R Fr A /\ B e. A ) -> -. B R B )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl	|- ( ( R Fr A /\ B e. A ) -> R Fr A )
2		snssi	|- ( B e. A -> { B } C_ A )
3	2	adantl	|- ( ( R Fr A /\ B e. A ) -> { B } C_ A )
4		snnzg	|- ( B e. A -> { B } =/= (/) )
5	4	adantl	|- ( ( R Fr A /\ B e. A ) -> { B } =/= (/) )
6		snex	|- { B } e. _V
7	6	frc	|- ( ( R Fr A /\ { B } C_ A /\ { B } =/= (/) ) -> E. y e. { B } { x e. { B } | x R y } = (/) )
8	1 3 5 7	syl3anc	|- ( ( R Fr A /\ B e. A ) -> E. y e. { B } { x e. { B } | x R y } = (/) )
9		breq1	|- ( x = z -> ( x R y <-> z R y ) )
10	9	rabeq0w	|- ( { x e. { B } | x R y } = (/) <-> A. z e. { B } -. z R y )
11		breq2	|- ( y = B -> ( z R y <-> z R B ) )
12	11	notbid	|- ( y = B -> ( -. z R y <-> -. z R B ) )
13	12	ralbidv	|- ( y = B -> ( A. z e. { B } -. z R y <-> A. z e. { B } -. z R B ) )
14	10 13	syl5bb	|- ( y = B -> ( { x e. { B } | x R y } = (/) <-> A. z e. { B } -. z R B ) )
15	14	rexsng	|- ( B e. A -> ( E. y e. { B } { x e. { B } | x R y } = (/) <-> A. z e. { B } -. z R B ) )
16		breq1	|- ( z = B -> ( z R B <-> B R B ) )
17	16	notbid	|- ( z = B -> ( -. z R B <-> -. B R B ) )
18	17	ralsng	|- ( B e. A -> ( A. z e. { B } -. z R B <-> -. B R B ) )
19	15 18	bitrd	|- ( B e. A -> ( E. y e. { B } { x e. { B } | x R y } = (/) <-> -. B R B ) )
20	19	adantl	|- ( ( R Fr A /\ B e. A ) -> ( E. y e. { B } { x e. { B } | x R y } = (/) <-> -. B R B ) )
21	8 20	mpbid	|- ( ( R Fr A /\ B e. A ) -> -. B R B )