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Theorem fsuppmapnn0fiublem

Description: Lemma for fsuppmapnn0fiub and fsuppmapnn0fiubex . (Contributed by AV, 2-Oct-2019)

Ref Expression
Hypotheses fsuppmapnn0fiub.u 
|- U = U_ f e. M ( f supp Z )
fsuppmapnn0fiub.s 
|- S = sup ( U , RR , < )
Assertion fsuppmapnn0fiublem 
|- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) -> ( ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) -> S e. NN0 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 fsuppmapnn0fiub.u 
 |-  U = U_ f e. M ( f supp Z )
2 fsuppmapnn0fiub.s 
 |-  S = sup ( U , RR , < )
3 nfv 
 |-  F/ f ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V )
4 nfra1 
 |-  F/ f A. f e. M f finSupp Z
5 nfv 
 |-  F/ f U =/= (/)
6 4 5 nfan 
 |-  F/ f ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) )
7 3 6 nfan 
 |-  F/ f ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) )
8 suppssdm 
 |-  ( f supp Z ) C_ dom f
9 ssel2 
 |-  ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ f e. M ) -> f e. ( R ^m NN0 ) )
10 elmapfn 
 |-  ( f e. ( R ^m NN0 ) -> f Fn NN0 )
11 fndm 
 |-  ( f Fn NN0 -> dom f = NN0 )
12 eqimss 
 |-  ( dom f = NN0 -> dom f C_ NN0 )
13 9 10 11 12 4syl 
 |-  ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ f e. M ) -> dom f C_ NN0 )
14 13 ex 
 |-  ( M C_ ( R ^m NN0 ) -> ( f e. M -> dom f C_ NN0 ) )
15 14 3ad2ant1 
 |-  ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) -> ( f e. M -> dom f C_ NN0 ) )
16 15 adantr 
 |-  ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> ( f e. M -> dom f C_ NN0 ) )
17 16 imp 
 |-  ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) -> dom f C_ NN0 )
18 8 17 sstrid 
 |-  ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) -> ( f supp Z ) C_ NN0 )
19 18 ex 
 |-  ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> ( f e. M -> ( f supp Z ) C_ NN0 ) )
20 7 19 ralrimi 
 |-  ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> A. f e. M ( f supp Z ) C_ NN0 )
21 iunss 
 |-  ( U_ f e. M ( f supp Z ) C_ NN0 <-> A. f e. M ( f supp Z ) C_ NN0 )
22 20 21 sylibr 
 |-  ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> U_ f e. M ( f supp Z ) C_ NN0 )
23 1 22 eqsstrid 
 |-  ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> U C_ NN0 )
24 ltso 
 |-  < Or RR
25 24 a1i 
 |-  ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> < Or RR )
26 simp2 
 |-  ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) -> M e. Fin )
27 id 
 |-  ( f finSupp Z -> f finSupp Z )
28 27 fsuppimpd 
 |-  ( f finSupp Z -> ( f supp Z ) e. Fin )
29 28 ralimi 
 |-  ( A. f e. M f finSupp Z -> A. f e. M ( f supp Z ) e. Fin )
30 29 adantr 
 |-  ( ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) -> A. f e. M ( f supp Z ) e. Fin )
31 iunfi 
 |-  ( ( M e. Fin /\ A. f e. M ( f supp Z ) e. Fin ) -> U_ f e. M ( f supp Z ) e. Fin )
32 26 30 31 syl2an 
 |-  ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> U_ f e. M ( f supp Z ) e. Fin )
33 1 32 eqeltrid 
 |-  ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> U e. Fin )
34 simprr 
 |-  ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> U =/= (/) )
35 9 10 11 3syl 
 |-  ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ f e. M ) -> dom f = NN0 )
36 35 ex 
 |-  ( M C_ ( R ^m NN0 ) -> ( f e. M -> dom f = NN0 ) )
37 36 3ad2ant1 
 |-  ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) -> ( f e. M -> dom f = NN0 ) )
38 37 adantr 
 |-  ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> ( f e. M -> dom f = NN0 ) )
39 38 imp 
 |-  ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) -> dom f = NN0 )
40 nn0ssre 
 |-  NN0 C_ RR
41 39 40 eqsstrdi 
 |-  ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) -> dom f C_ RR )
42 8 41 sstrid 
 |-  ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) -> ( f supp Z ) C_ RR )
43 42 ex 
 |-  ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> ( f e. M -> ( f supp Z ) C_ RR ) )
44 7 43 ralrimi 
 |-  ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> A. f e. M ( f supp Z ) C_ RR )
45 1 sseq1i 
 |-  ( U C_ RR <-> U_ f e. M ( f supp Z ) C_ RR )
46 iunss 
 |-  ( U_ f e. M ( f supp Z ) C_ RR <-> A. f e. M ( f supp Z ) C_ RR )
47 45 46 bitri 
 |-  ( U C_ RR <-> A. f e. M ( f supp Z ) C_ RR )
48 44 47 sylibr 
 |-  ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> U C_ RR )
49 fisupcl 
 |-  ( ( < Or RR /\ ( U e. Fin /\ U =/= (/) /\ U C_ RR ) ) -> sup ( U , RR , < ) e. U )
50 2 49 eqeltrid 
 |-  ( ( < Or RR /\ ( U e. Fin /\ U =/= (/) /\ U C_ RR ) ) -> S e. U )
51 25 33 34 48 50 syl13anc 
 |-  ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> S e. U )
52 23 51 sseldd 
 |-  ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> S e. NN0 )
53 52 ex 
 |-  ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) -> ( ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) -> S e. NN0 ) )