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Theorem fun11uni

Description: The union of a chain (with respect to inclusion) of one-to-one functions is a one-to-one function. (Contributed by NM, 11-Aug-2004)

Ref Expression
Assertion fun11uni 
|- ( A. f e. A ( ( Fun f /\ Fun `' f ) /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> ( Fun U. A /\ Fun `' U. A ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 simpl 
 |-  ( ( Fun f /\ Fun `' f ) -> Fun f )
2 1 anim1i 
 |-  ( ( ( Fun f /\ Fun `' f ) /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> ( Fun f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) )
3 2 ralimi 
 |-  ( A. f e. A ( ( Fun f /\ Fun `' f ) /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> A. f e. A ( Fun f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) )
4 fununi 
 |-  ( A. f e. A ( Fun f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> Fun U. A )
5 3 4 syl 
 |-  ( A. f e. A ( ( Fun f /\ Fun `' f ) /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> Fun U. A )
6 simpr 
 |-  ( ( Fun f /\ Fun `' f ) -> Fun `' f )
7 6 anim1i 
 |-  ( ( ( Fun f /\ Fun `' f ) /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> ( Fun `' f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) )
8 7 ralimi 
 |-  ( A. f e. A ( ( Fun f /\ Fun `' f ) /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> A. f e. A ( Fun `' f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) )
9 funcnvuni 
 |-  ( A. f e. A ( Fun `' f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> Fun `' U. A )
10 8 9 syl 
 |-  ( A. f e. A ( ( Fun f /\ Fun `' f ) /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> Fun `' U. A )
11 5 10 jca 
 |-  ( A. f e. A ( ( Fun f /\ Fun `' f ) /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> ( Fun U. A /\ Fun `' U. A ) )