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Theorem funcid

Description: A functor maps each identity to the corresponding identity in the target category. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017)

Ref Expression
Hypotheses funcid.b 
|- B = ( Base ` D )
funcid.1 
|- .1. = ( Id ` D )
funcid.i 
|- I = ( Id ` E )
funcid.f 
|- ( ph -> F ( D Func E ) G )
funcid.x 
|- ( ph -> X e. B )
Assertion funcid 
|- ( ph -> ( ( X G X ) ` ( .1. ` X ) ) = ( I ` ( F ` X ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 funcid.b 
 |-  B = ( Base ` D )
2 funcid.1 
 |-  .1. = ( Id ` D )
3 funcid.i 
 |-  I = ( Id ` E )
4 funcid.f 
 |-  ( ph -> F ( D Func E ) G )
5 funcid.x 
 |-  ( ph -> X e. B )
6 id 
 |-  ( x = X -> x = X )
7 6 6 oveq12d 
 |-  ( x = X -> ( x G x ) = ( X G X ) )
8 fveq2 
 |-  ( x = X -> ( .1. ` x ) = ( .1. ` X ) )
9 7 8 fveq12d 
 |-  ( x = X -> ( ( x G x ) ` ( .1. ` x ) ) = ( ( X G X ) ` ( .1. ` X ) ) )
10 2fveq3 
 |-  ( x = X -> ( I ` ( F ` x ) ) = ( I ` ( F ` X ) ) )
11 9 10 eqeq12d 
 |-  ( x = X -> ( ( ( x G x ) ` ( .1. ` x ) ) = ( I ` ( F ` x ) ) <-> ( ( X G X ) ` ( .1. ` X ) ) = ( I ` ( F ` X ) ) ) )
12 eqid 
 |-  ( Base ` E ) = ( Base ` E )
13 eqid 
 |-  ( Hom ` D ) = ( Hom ` D )
14 eqid 
 |-  ( Hom ` E ) = ( Hom ` E )
15 eqid 
 |-  ( comp ` D ) = ( comp ` D )
16 eqid 
 |-  ( comp ` E ) = ( comp ` E )
17 df-br 
 |-  ( F ( D Func E ) G <-> <. F , G >. e. ( D Func E ) )
18 4 17 sylib 
 |-  ( ph -> <. F , G >. e. ( D Func E ) )
19 funcrcl 
 |-  ( <. F , G >. e. ( D Func E ) -> ( D e. Cat /\ E e. Cat ) )
20 18 19 syl 
 |-  ( ph -> ( D e. Cat /\ E e. Cat ) )
21 20 simpld 
 |-  ( ph -> D e. Cat )
22 20 simprd 
 |-  ( ph -> E e. Cat )
23 1 12 13 14 2 3 15 16 21 22 isfunc 
 |-  ( ph -> ( F ( D Func E ) G <-> ( F : B --> ( Base ` E ) /\ G e. X_ z e. ( B X. B ) ( ( ( F ` ( 1st ` z ) ) ( Hom ` E ) ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( ( Hom ` D ) ` z ) ) /\ A. x e. B ( ( ( x G x ) ` ( .1. ` x ) ) = ( I ` ( F ` x ) ) /\ A. y e. B A. z e. B A. m e. ( x ( Hom ` D ) y ) A. n e. ( y ( Hom ` D ) z ) ( ( x G z ) ` ( n ( <. x , y >. ( comp ` D ) z ) m ) ) = ( ( ( y G z ) ` n ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. ( comp ` E ) ( F ` z ) ) ( ( x G y ) ` m ) ) ) ) ) )
24 4 23 mpbid 
 |-  ( ph -> ( F : B --> ( Base ` E ) /\ G e. X_ z e. ( B X. B ) ( ( ( F ` ( 1st ` z ) ) ( Hom ` E ) ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( ( Hom ` D ) ` z ) ) /\ A. x e. B ( ( ( x G x ) ` ( .1. ` x ) ) = ( I ` ( F ` x ) ) /\ A. y e. B A. z e. B A. m e. ( x ( Hom ` D ) y ) A. n e. ( y ( Hom ` D ) z ) ( ( x G z ) ` ( n ( <. x , y >. ( comp ` D ) z ) m ) ) = ( ( ( y G z ) ` n ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. ( comp ` E ) ( F ` z ) ) ( ( x G y ) ` m ) ) ) ) )
25 24 simp3d 
 |-  ( ph -> A. x e. B ( ( ( x G x ) ` ( .1. ` x ) ) = ( I ` ( F ` x ) ) /\ A. y e. B A. z e. B A. m e. ( x ( Hom ` D ) y ) A. n e. ( y ( Hom ` D ) z ) ( ( x G z ) ` ( n ( <. x , y >. ( comp ` D ) z ) m ) ) = ( ( ( y G z ) ` n ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. ( comp ` E ) ( F ` z ) ) ( ( x G y ) ` m ) ) ) )
26 simpl 
 |-  ( ( ( ( x G x ) ` ( .1. ` x ) ) = ( I ` ( F ` x ) ) /\ A. y e. B A. z e. B A. m e. ( x ( Hom ` D ) y ) A. n e. ( y ( Hom ` D ) z ) ( ( x G z ) ` ( n ( <. x , y >. ( comp ` D ) z ) m ) ) = ( ( ( y G z ) ` n ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. ( comp ` E ) ( F ` z ) ) ( ( x G y ) ` m ) ) ) -> ( ( x G x ) ` ( .1. ` x ) ) = ( I ` ( F ` x ) ) )
27 26 ralimi 
 |-  ( A. x e. B ( ( ( x G x ) ` ( .1. ` x ) ) = ( I ` ( F ` x ) ) /\ A. y e. B A. z e. B A. m e. ( x ( Hom ` D ) y ) A. n e. ( y ( Hom ` D ) z ) ( ( x G z ) ` ( n ( <. x , y >. ( comp ` D ) z ) m ) ) = ( ( ( y G z ) ` n ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. ( comp ` E ) ( F ` z ) ) ( ( x G y ) ` m ) ) ) -> A. x e. B ( ( x G x ) ` ( .1. ` x ) ) = ( I ` ( F ` x ) ) )
28 25 27 syl 
 |-  ( ph -> A. x e. B ( ( x G x ) ` ( .1. ` x ) ) = ( I ` ( F ` x ) ) )
29 11 28 5 rspcdva 
 |-  ( ph -> ( ( X G X ) ` ( .1. ` X ) ) = ( I ` ( F ` X ) ) )