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Theorem fzdif1

Description: Split the first element of a finite set of sequential integers. More generic than fzpred . Analogous to fzdif2 . (Contributed by AV, 12-Sep-2025)

Ref Expression
Assertion fzdif1 
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( M ... N ) \ { M } ) = ( ( M + 1 ) ... N ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 eldif 
 |-  ( x e. ( ( M ... N ) \ { M } ) <-> ( x e. ( M ... N ) /\ -. x e. { M } ) )
2 elsng 
 |-  ( x e. ( M ... N ) -> ( x e. { M } <-> x = M ) )
3 2 necon3bbid 
 |-  ( x e. ( M ... N ) -> ( -. x e. { M } <-> x =/= M ) )
4 fzne1 
 |-  ( ( x e. ( M ... N ) /\ x =/= M ) -> x e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
5 3 4 sylbida 
 |-  ( ( x e. ( M ... N ) /\ -. x e. { M } ) -> x e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
6 eluzel2 
 |-  ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
7 6 uzidd 
 |-  ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
8 peano2uz 
 |-  ( M e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
9 fzss1 
 |-  ( ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( M ... N ) )
10 7 8 9 3syl 
 |-  ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( M ... N ) )
11 10 sselda 
 |-  ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ x e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> x e. ( M ... N ) )
12 elfz2 
 |-  ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) <-> ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ x e. ZZ ) /\ ( ( M + 1 ) <_ x /\ x <_ N ) ) )
13 6 zred 
 |-  ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. RR )
14 13 adantl 
 |-  ( ( ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ x e. ZZ ) /\ ( ( M + 1 ) <_ x /\ x <_ N ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. RR )
15 simp3 
 |-  ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> x e. ZZ )
16 zltp1le 
 |-  ( ( M e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( M < x <-> ( M + 1 ) <_ x ) )
17 6 15 16 syl2anr 
 |-  ( ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ x e. ZZ ) /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( M < x <-> ( M + 1 ) <_ x ) )
18 17 biimprd 
 |-  ( ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ x e. ZZ ) /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( M + 1 ) <_ x -> M < x ) )
19 18 a1d 
 |-  ( ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ x e. ZZ ) /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( x <_ N -> ( ( M + 1 ) <_ x -> M < x ) ) )
20 19 ex 
 |-  ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( x <_ N -> ( ( M + 1 ) <_ x -> M < x ) ) ) )
21 20 com24 
 |-  ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( ( M + 1 ) <_ x -> ( x <_ N -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M < x ) ) ) )
22 21 imp42 
 |-  ( ( ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ x e. ZZ ) /\ ( ( M + 1 ) <_ x /\ x <_ N ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M < x )
23 14 22 gtned 
 |-  ( ( ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ x e. ZZ ) /\ ( ( M + 1 ) <_ x /\ x <_ N ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x =/= M )
24 23 ex 
 |-  ( ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ x e. ZZ ) /\ ( ( M + 1 ) <_ x /\ x <_ N ) ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> x =/= M ) )
25 12 24 sylbi 
 |-  ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> x =/= M ) )
26 25 impcom 
 |-  ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ x e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> x =/= M )
27 nelsn 
 |-  ( x =/= M -> -. x e. { M } )
28 26 27 syl 
 |-  ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ x e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> -. x e. { M } )
29 11 28 jca 
 |-  ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ x e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( x e. ( M ... N ) /\ -. x e. { M } ) )
30 29 ex 
 |-  ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( x e. ( M ... N ) /\ -. x e. { M } ) ) )
31 5 30 impbid2 
 |-  ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( x e. ( M ... N ) /\ -. x e. { M } ) <-> x e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
32 1 31 bitrid 
 |-  ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( x e. ( ( M ... N ) \ { M } ) <-> x e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
33 32 eqrdv 
 |-  ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( M ... N ) \ { M } ) = ( ( M + 1 ) ... N ) )