Theorem fznn

Description: Finite set of sequential integers starting at 1. (Contributed by NM, 31-Aug-2011) (Revised by Mario Carneiro, 18-Jun-2015)

	Ref	Expression
Assertion	fznn	|- ( N e. ZZ -> ( K e. ( 1 ... N ) <-> ( K e. NN /\ K <_ N ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb	|- ( K e. ( 1 ... N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
2		elnnuz	|- ( K e. NN <-> K e. ( ZZ>= ` 1 ) )
3	2	anbi1i	|- ( ( K e. NN /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
4	1 3	bitr4i	|- ( K e. ( 1 ... N ) <-> ( K e. NN /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
5		nnz	|- ( K e. NN -> K e. ZZ )
6		eluz	|- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` K ) <-> K <_ N ) )
7	5 6	sylan	|- ( ( K e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` K ) <-> K <_ N ) )
8	7	ancoms	|- ( ( N e. ZZ /\ K e. NN ) -> ( N e. ( ZZ>= ` K ) <-> K <_ N ) )
9	8	pm5.32da	|- ( N e. ZZ -> ( ( K e. NN /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) <-> ( K e. NN /\ K <_ N ) ) )
10	4 9	syl5bb	|- ( N e. ZZ -> ( K e. ( 1 ... N ) <-> ( K e. NN /\ K <_ N ) ) )