Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
eluzel2 |
|- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> A e. ZZ ) |
2 |
1
|
adantr |
|- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> A e. ZZ ) |
3 |
|
eluzelz |
|- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> B e. ZZ ) |
4 |
|
nn0z |
|- ( C e. NN0 -> C e. ZZ ) |
5 |
|
zaddcl |
|- ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( B + C ) e. ZZ ) |
6 |
3 4 5
|
syl2an |
|- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> ( B + C ) e. ZZ ) |
7 |
3
|
adantr |
|- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> B e. ZZ ) |
8 |
2 6 7
|
3jca |
|- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> ( A e. ZZ /\ ( B + C ) e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) |
9 |
|
eluzle |
|- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> A <_ B ) |
10 |
9
|
adantr |
|- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> A <_ B ) |
11 |
|
nn0ge0 |
|- ( C e. NN0 -> 0 <_ C ) |
12 |
11
|
adantl |
|- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> 0 <_ C ) |
13 |
|
eluzelre |
|- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> B e. RR ) |
14 |
|
nn0re |
|- ( C e. NN0 -> C e. RR ) |
15 |
|
addge01 |
|- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( 0 <_ C <-> B <_ ( B + C ) ) ) |
16 |
13 14 15
|
syl2an |
|- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> ( 0 <_ C <-> B <_ ( B + C ) ) ) |
17 |
12 16
|
mpbid |
|- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> B <_ ( B + C ) ) |
18 |
10 17
|
jca |
|- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> ( A <_ B /\ B <_ ( B + C ) ) ) |
19 |
|
elfz2 |
|- ( B e. ( A ... ( B + C ) ) <-> ( ( A e. ZZ /\ ( B + C ) e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A <_ B /\ B <_ ( B + C ) ) ) ) |
20 |
8 18 19
|
sylanbrc |
|- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> B e. ( A ... ( B + C ) ) ) |
21 |
|
fzosplit |
|- ( B e. ( A ... ( B + C ) ) -> ( A ..^ ( B + C ) ) = ( ( A ..^ B ) u. ( B ..^ ( B + C ) ) ) ) |
22 |
20 21
|
syl |
|- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> ( A ..^ ( B + C ) ) = ( ( A ..^ B ) u. ( B ..^ ( B + C ) ) ) ) |