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Theorem grpinvid2

Description: The inverse of a group element expressed in terms of the identity element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011)

Ref Expression
Hypotheses grpinv.b 
|- B = ( Base ` G )
grpinv.p 
|- .+ = ( +g ` G )
grpinv.u 
|- .0. = ( 0g ` G )
grpinv.n 
|- N = ( invg ` G )
Assertion grpinvid2 
|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( N ` X ) = Y <-> ( Y .+ X ) = .0. ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 grpinv.b 
 |-  B = ( Base ` G )
2 grpinv.p 
 |-  .+ = ( +g ` G )
3 grpinv.u 
 |-  .0. = ( 0g ` G )
4 grpinv.n 
 |-  N = ( invg ` G )
5 oveq1 
 |-  ( ( N ` X ) = Y -> ( ( N ` X ) .+ X ) = ( Y .+ X ) )
6 5 adantl 
 |-  ( ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( N ` X ) = Y ) -> ( ( N ` X ) .+ X ) = ( Y .+ X ) )
7 1 2 3 4 grplinv 
 |-  ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( N ` X ) .+ X ) = .0. )
8 7 3adant3 
 |-  ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( N ` X ) .+ X ) = .0. )
9 8 adantr 
 |-  ( ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( N ` X ) = Y ) -> ( ( N ` X ) .+ X ) = .0. )
10 6 9 eqtr3d 
 |-  ( ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( N ` X ) = Y ) -> ( Y .+ X ) = .0. )
11 1 4 grpinvcl 
 |-  ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )
12 1 2 3 grplid 
 |-  ( ( G e. Grp /\ ( N ` X ) e. B ) -> ( .0. .+ ( N ` X ) ) = ( N ` X ) )
13 11 12 syldan 
 |-  ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( .0. .+ ( N ` X ) ) = ( N ` X ) )
14 13 3adant3 
 |-  ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( .0. .+ ( N ` X ) ) = ( N ` X ) )
15 14 eqcomd 
 |-  ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` X ) = ( .0. .+ ( N ` X ) ) )
16 15 adantr 
 |-  ( ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Y .+ X ) = .0. ) -> ( N ` X ) = ( .0. .+ ( N ` X ) ) )
17 oveq1 
 |-  ( ( Y .+ X ) = .0. -> ( ( Y .+ X ) .+ ( N ` X ) ) = ( .0. .+ ( N ` X ) ) )
18 17 adantl 
 |-  ( ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Y .+ X ) = .0. ) -> ( ( Y .+ X ) .+ ( N ` X ) ) = ( .0. .+ ( N ` X ) ) )
19 simprr 
 |-  ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> Y e. B )
20 simprl 
 |-  ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> X e. B )
21 11 adantrr 
 |-  ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( N ` X ) e. B )
22 19 20 21 3jca 
 |-  ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( Y e. B /\ X e. B /\ ( N ` X ) e. B ) )
23 1 2 grpass 
 |-  ( ( G e. Grp /\ ( Y e. B /\ X e. B /\ ( N ` X ) e. B ) ) -> ( ( Y .+ X ) .+ ( N ` X ) ) = ( Y .+ ( X .+ ( N ` X ) ) ) )
24 22 23 syldan 
 |-  ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( Y .+ X ) .+ ( N ` X ) ) = ( Y .+ ( X .+ ( N ` X ) ) ) )
25 24 3impb 
 |-  ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( Y .+ X ) .+ ( N ` X ) ) = ( Y .+ ( X .+ ( N ` X ) ) ) )
26 1 2 3 4 grprinv 
 |-  ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ ( N ` X ) ) = .0. )
27 26 oveq2d 
 |-  ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( Y .+ ( X .+ ( N ` X ) ) ) = ( Y .+ .0. ) )
28 27 3adant3 
 |-  ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( Y .+ ( X .+ ( N ` X ) ) ) = ( Y .+ .0. ) )
29 1 2 3 grprid 
 |-  ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( Y .+ .0. ) = Y )
30 29 3adant2 
 |-  ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( Y .+ .0. ) = Y )
31 25 28 30 3eqtrd 
 |-  ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( Y .+ X ) .+ ( N ` X ) ) = Y )
32 31 adantr 
 |-  ( ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Y .+ X ) = .0. ) -> ( ( Y .+ X ) .+ ( N ` X ) ) = Y )
33 16 18 32 3eqtr2d 
 |-  ( ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Y .+ X ) = .0. ) -> ( N ` X ) = Y )
34 10 33 impbida 
 |-  ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( N ` X ) = Y <-> ( Y .+ X ) = .0. ) )