Theorem grpinvsub

Description: Inverse of a group subtraction. (Contributed by NM, 9-Sep-2014)

	Ref	Expression
Hypotheses	grpsubcl.b	|- B = ( Base ` G )
	grpsubcl.m	|- .- = ( -g ` G )
	grpinvsub.n	|- N = ( invg ` G )
Assertion	grpinvsub	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( X .- Y ) ) = ( Y .- X ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubcl.b	|- B = ( Base ` G )
2		grpsubcl.m	|- .- = ( -g ` G )
3		grpinvsub.n	|- N = ( invg ` G )
4	1 3	grpinvcl	|- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( N ` Y ) e. B )
5	4	3adant2	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` Y ) e. B )
6		eqid	|- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
7	1 6 3	grpinvadd	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ ( N ` Y ) e. B ) -> ( N ` ( X ( +g ` G ) ( N ` Y ) ) ) = ( ( N ` ( N ` Y ) ) ( +g ` G ) ( N ` X ) ) )
8	5 7	syld3an3	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( X ( +g ` G ) ( N ` Y ) ) ) = ( ( N ` ( N ` Y ) ) ( +g ` G ) ( N ` X ) ) )
9	1 3	grpinvinv	|- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( N ` ( N ` Y ) ) = Y )
10	9	3adant2	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( N ` Y ) ) = Y )
11	10	oveq1d	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( N ` ( N ` Y ) ) ( +g ` G ) ( N ` X ) ) = ( Y ( +g ` G ) ( N ` X ) ) )
12	8 11	eqtrd	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( X ( +g ` G ) ( N ` Y ) ) ) = ( Y ( +g ` G ) ( N ` X ) ) )
13	1 6 3 2	grpsubval	|- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X ( +g ` G ) ( N ` Y ) ) )
14	13	3adant1	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X ( +g ` G ) ( N ` Y ) ) )
15	14	fveq2d	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( X .- Y ) ) = ( N ` ( X ( +g ` G ) ( N ` Y ) ) ) )
16	1 6 3 2	grpsubval	|- ( ( Y e. B /\ X e. B ) -> ( Y .- X ) = ( Y ( +g ` G ) ( N ` X ) ) )
17	16	ancoms	|- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( Y .- X ) = ( Y ( +g ` G ) ( N ` X ) ) )
18	17	3adant1	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( Y .- X ) = ( Y ( +g ` G ) ( N ` X ) ) )
19	12 15 18	3eqtr4d	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( X .- Y ) ) = ( Y .- X ) )