Theorem grpnpncan

Description: Cancellation law for group subtraction. ( npncan analog.) (Contributed by NM, 15-Feb-2008) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014)

	Ref	Expression
Hypotheses	grpsubadd.b	|- B = ( Base ` G )
	grpsubadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
	grpsubadd.m	|- .- = ( -g ` G )
Assertion	grpnpncan	|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Y ) .+ ( Y .- Z ) ) = ( X .- Z ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubadd.b	|- B = ( Base ` G )
2		grpsubadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
3		grpsubadd.m	|- .- = ( -g ` G )
4		simpl	|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> G e. Grp )
5	1 3	grpsubcl	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) e. B )
6	5	3adant3r3	|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .- Y ) e. B )
7		simpr2	|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. B )
8		simpr3	|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. B )
9	1 2 3	grpaddsubass	|- ( ( G e. Grp /\ ( ( X .- Y ) e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( X .- Y ) .+ Y ) .- Z ) = ( ( X .- Y ) .+ ( Y .- Z ) ) )
10	4 6 7 8 9	syl13anc	|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( X .- Y ) .+ Y ) .- Z ) = ( ( X .- Y ) .+ ( Y .- Z ) ) )
11	1 2 3	grpnpcan	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .- Y ) .+ Y ) = X )
12	11	3adant3r3	|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Y ) .+ Y ) = X )
13	12	oveq1d	|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( X .- Y ) .+ Y ) .- Z ) = ( X .- Z ) )
14	10 13	eqtr3d	|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Y ) .+ ( Y .- Z ) ) = ( X .- Z ) )