Theorem grppncan

Description: Cancellation law for subtraction ( pncan analog). (Contributed by NM, 16-Apr-2014)

	Ref	Expression
Hypotheses	grpsubadd.b	|- B = ( Base ` G )
	grpsubadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
	grpsubadd.m	|- .- = ( -g ` G )
Assertion	grppncan	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ Y ) .- Y ) = X )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubadd.b	|- B = ( Base ` G )
2		grpsubadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
3		grpsubadd.m	|- .- = ( -g ` G )
4		simp1	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> G e. Grp )
5		simp2	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
6		simp3	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
7	1 2 3	grpaddsubass	|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- Y ) = ( X .+ ( Y .- Y ) ) )
8	4 5 6 6 7	syl13anc	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ Y ) .- Y ) = ( X .+ ( Y .- Y ) ) )
9		eqid	|- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
10	1 9 3	grpsubid	|- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( Y .- Y ) = ( 0g ` G ) )
11	10	oveq2d	|- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( X .+ ( Y .- Y ) ) = ( X .+ ( 0g ` G ) ) )
12	11	3adant2	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ ( Y .- Y ) ) = ( X .+ ( 0g ` G ) ) )
13	1 2 9	grprid	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ ( 0g ` G ) ) = X )
14	13	3adant3	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ ( 0g ` G ) ) = X )
15	8 12 14	3eqtrd	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ Y ) .- Y ) = X )