Theorem grpsubsub

Description: Double group subtraction. (Contributed by NM, 24-Feb-2008) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014)

	Ref	Expression
Hypotheses	grpsubadd.b	|- B = ( Base ` G )
	grpsubadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
	grpsubadd.m	|- .- = ( -g ` G )
Assertion	grpsubsub	|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .- ( Y .- Z ) ) = ( X .+ ( Z .- Y ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubadd.b	|- B = ( Base ` G )
2		grpsubadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
3		grpsubadd.m	|- .- = ( -g ` G )
4		simpr1	|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> X e. B )
5	1 3	grpsubcl	|- ( ( G e. Grp /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( Y .- Z ) e. B )
6	5	3adant3r1	|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Y .- Z ) e. B )
7		eqid	|- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
8	1 2 7 3	grpsubval	|- ( ( X e. B /\ ( Y .- Z ) e. B ) -> ( X .- ( Y .- Z ) ) = ( X .+ ( ( invg ` G ) ` ( Y .- Z ) ) ) )
9	4 6 8	syl2anc	|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .- ( Y .- Z ) ) = ( X .+ ( ( invg ` G ) ` ( Y .- Z ) ) ) )
10	1 3 7	grpinvsub	|- ( ( G e. Grp /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` ( Y .- Z ) ) = ( Z .- Y ) )
11	10	3adant3r1	|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( invg ` G ) ` ( Y .- Z ) ) = ( Z .- Y ) )
12	11	oveq2d	|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .+ ( ( invg ` G ) ` ( Y .- Z ) ) ) = ( X .+ ( Z .- Y ) ) )
13	9 12	eqtrd	|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .- ( Y .- Z ) ) = ( X .+ ( Z .- Y ) ) )