Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
gsum2d.b |
|- B = ( Base ` G ) |
2 |
|
gsum2d.z |
|- .0. = ( 0g ` G ) |
3 |
|
gsum2d.g |
|- ( ph -> G e. CMnd ) |
4 |
|
gsum2d.a |
|- ( ph -> A e. V ) |
5 |
|
gsum2d.r |
|- ( ph -> Rel A ) |
6 |
|
gsum2d.d |
|- ( ph -> D e. W ) |
7 |
|
gsum2d.s |
|- ( ph -> dom A C_ D ) |
8 |
|
gsum2d.f |
|- ( ph -> F : A --> B ) |
9 |
|
gsum2d.w |
|- ( ph -> F finSupp .0. ) |
10 |
9
|
fsuppimpd |
|- ( ph -> ( F supp .0. ) e. Fin ) |
11 |
|
dmfi |
|- ( ( F supp .0. ) e. Fin -> dom ( F supp .0. ) e. Fin ) |
12 |
10 11
|
syl |
|- ( ph -> dom ( F supp .0. ) e. Fin ) |
13 |
|
reseq2 |
|- ( x = (/) -> ( A |` x ) = ( A |` (/) ) ) |
14 |
|
res0 |
|- ( A |` (/) ) = (/) |
15 |
13 14
|
eqtrdi |
|- ( x = (/) -> ( A |` x ) = (/) ) |
16 |
15
|
reseq2d |
|- ( x = (/) -> ( F |` ( A |` x ) ) = ( F |` (/) ) ) |
17 |
|
res0 |
|- ( F |` (/) ) = (/) |
18 |
16 17
|
eqtrdi |
|- ( x = (/) -> ( F |` ( A |` x ) ) = (/) ) |
19 |
18
|
oveq2d |
|- ( x = (/) -> ( G gsum ( F |` ( A |` x ) ) ) = ( G gsum (/) ) ) |
20 |
|
mpteq1 |
|- ( x = (/) -> ( j e. x |-> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) = ( j e. (/) |-> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) |
21 |
|
mpt0 |
|- ( j e. (/) |-> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) = (/) |
22 |
20 21
|
eqtrdi |
|- ( x = (/) -> ( j e. x |-> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) = (/) ) |
23 |
22
|
oveq2d |
|- ( x = (/) -> ( G gsum ( j e. x |-> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) = ( G gsum (/) ) ) |
24 |
19 23
|
eqeq12d |
|- ( x = (/) -> ( ( G gsum ( F |` ( A |` x ) ) ) = ( G gsum ( j e. x |-> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) <-> ( G gsum (/) ) = ( G gsum (/) ) ) ) |
25 |
24
|
imbi2d |
|- ( x = (/) -> ( ( ph -> ( G gsum ( F |` ( A |` x ) ) ) = ( G gsum ( j e. x |-> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ) <-> ( ph -> ( G gsum (/) ) = ( G gsum (/) ) ) ) ) |
26 |
|
reseq2 |
|- ( x = y -> ( A |` x ) = ( A |` y ) ) |
27 |
26
|
reseq2d |
|- ( x = y -> ( F |` ( A |` x ) ) = ( F |` ( A |` y ) ) ) |
28 |
27
|
oveq2d |
|- ( x = y -> ( G gsum ( F |` ( A |` x ) ) ) = ( G gsum ( F |` ( A |` y ) ) ) ) |
29 |
|
mpteq1 |
|- ( x = y -> ( j e. x |-> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) = ( j e. y |-> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) |
30 |
29
|
oveq2d |
|- ( x = y -> ( G gsum ( j e. x |-> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) = ( G gsum ( j e. y |-> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ) |
31 |
28 30
|
eqeq12d |
|- ( x = y -> ( ( G gsum ( F |` ( A |` x ) ) ) = ( G gsum ( j e. x |-> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) <-> ( G gsum ( F |` ( A |` y ) ) ) = ( G gsum ( j e. y |-> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ) ) |
32 |
31
|
imbi2d |
|- ( x = y -> ( ( ph -> ( G gsum ( F |` ( A |` x ) ) ) = ( G gsum ( j e. x |-> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ) <-> ( ph -> ( G gsum ( F |` ( A |` y ) ) ) = ( G gsum ( j e. y |-> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ) ) ) |
33 |
|
reseq2 |
|- ( x = ( y u. { z } ) -> ( A |` x ) = ( A |` ( y u. { z } ) ) ) |
34 |
33
|
reseq2d |
|- ( x = ( y u. { z } ) -> ( F |` ( A |` x ) ) = ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) ) |
35 |
34
|
oveq2d |
|- ( x = ( y u. { z } ) -> ( G gsum ( F |` ( A |` x ) ) ) = ( G gsum ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) ) ) |
36 |
|
mpteq1 |
|- ( x = ( y u. { z } ) -> ( j e. x |-> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) = ( j e. ( y u. { z } ) |-> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) |
37 |
36
|
oveq2d |
|- ( x = ( y u. { z } ) -> ( G gsum ( j e. x |-> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) = ( G gsum ( j e. ( y u. { z } ) |-> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ) |
38 |
35 37
|
eqeq12d |
|- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( G gsum ( F |` ( A |` x ) ) ) = ( G gsum ( j e. x |-> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) <-> ( G gsum ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) ) = ( G gsum ( j e. ( y u. { z } ) |-> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ) ) |
39 |
38
|
imbi2d |
|- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( ph -> ( G gsum ( F |` ( A |` x ) ) ) = ( G gsum ( j e. x |-> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ) <-> ( ph -> ( G gsum ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) ) = ( G gsum ( j e. ( y u. { z } ) |-> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ) ) ) |
40 |
|
reseq2 |
|- ( x = dom ( F supp .0. ) -> ( A |` x ) = ( A |` dom ( F supp .0. ) ) ) |
41 |
40
|
reseq2d |
|- ( x = dom ( F supp .0. ) -> ( F |` ( A |` x ) ) = ( F |` ( A |` dom ( F supp .0. ) ) ) ) |
42 |
41
|
oveq2d |
|- ( x = dom ( F supp .0. ) -> ( G gsum ( F |` ( A |` x ) ) ) = ( G gsum ( F |` ( A |` dom ( F supp .0. ) ) ) ) ) |
43 |
|
mpteq1 |
|- ( x = dom ( F supp .0. ) -> ( j e. x |-> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) = ( j e. dom ( F supp .0. ) |-> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) |
44 |
43
|
oveq2d |
|- ( x = dom ( F supp .0. ) -> ( G gsum ( j e. x |-> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) = ( G gsum ( j e. dom ( F supp .0. ) |-> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ) |
45 |
42 44
|
eqeq12d |
|- ( x = dom ( F supp .0. ) -> ( ( G gsum ( F |` ( A |` x ) ) ) = ( G gsum ( j e. x |-> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) <-> ( G gsum ( F |` ( A |` dom ( F supp .0. ) ) ) ) = ( G gsum ( j e. dom ( F supp .0. ) |-> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ) ) |
46 |
45
|
imbi2d |
|- ( x = dom ( F supp .0. ) -> ( ( ph -> ( G gsum ( F |` ( A |` x ) ) ) = ( G gsum ( j e. x |-> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ) <-> ( ph -> ( G gsum ( F |` ( A |` dom ( F supp .0. ) ) ) ) = ( G gsum ( j e. dom ( F supp .0. ) |-> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ) ) ) |
47 |
|
eqidd |
|- ( ph -> ( G gsum (/) ) = ( G gsum (/) ) ) |
48 |
|
oveq1 |
|- ( ( G gsum ( F |` ( A |` y ) ) ) = ( G gsum ( j e. y |-> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) -> ( ( G gsum ( F |` ( A |` y ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsum ( F |` ( A |` { z } ) ) ) ) = ( ( G gsum ( j e. y |-> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsum ( F |` ( A |` { z } ) ) ) ) ) |
49 |
|
eqid |
|- ( +g ` G ) = ( +g ` G ) |
50 |
3
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> G e. CMnd ) |
51 |
|
resexg |
|- ( A e. V -> ( A |` ( y u. { z } ) ) e. _V ) |
52 |
4 51
|
syl |
|- ( ph -> ( A |` ( y u. { z } ) ) e. _V ) |
53 |
52
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( A |` ( y u. { z } ) ) e. _V ) |
54 |
|
resss |
|- ( A |` ( y u. { z } ) ) C_ A |
55 |
|
fssres |
|- ( ( F : A --> B /\ ( A |` ( y u. { z } ) ) C_ A ) -> ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) : ( A |` ( y u. { z } ) ) --> B ) |
56 |
8 54 55
|
sylancl |
|- ( ph -> ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) : ( A |` ( y u. { z } ) ) --> B ) |
57 |
56
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) : ( A |` ( y u. { z } ) ) --> B ) |
58 |
8
|
ffund |
|- ( ph -> Fun F ) |
59 |
|
funres |
|- ( Fun F -> Fun ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) ) |
60 |
58 59
|
syl |
|- ( ph -> Fun ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) ) |
61 |
60
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> Fun ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) ) |
62 |
10
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( F supp .0. ) e. Fin ) |
63 |
|
fex |
|- ( ( F : A --> B /\ A e. V ) -> F e. _V ) |
64 |
8 4 63
|
syl2anc |
|- ( ph -> F e. _V ) |
65 |
2
|
fvexi |
|- .0. e. _V |
66 |
|
ressuppss |
|- ( ( F e. _V /\ .0. e. _V ) -> ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) supp .0. ) C_ ( F supp .0. ) ) |
67 |
64 65 66
|
sylancl |
|- ( ph -> ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) supp .0. ) C_ ( F supp .0. ) ) |
68 |
67
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) supp .0. ) C_ ( F supp .0. ) ) |
69 |
62 68
|
ssfid |
|- ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) supp .0. ) e. Fin ) |
70 |
|
resexg |
|- ( F e. _V -> ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) e. _V ) |
71 |
64 70
|
syl |
|- ( ph -> ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) e. _V ) |
72 |
|
isfsupp |
|- ( ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) e. _V /\ .0. e. _V ) -> ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) finSupp .0. <-> ( Fun ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) /\ ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) supp .0. ) e. Fin ) ) ) |
73 |
71 65 72
|
sylancl |
|- ( ph -> ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) finSupp .0. <-> ( Fun ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) /\ ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) supp .0. ) e. Fin ) ) ) |
74 |
73
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) finSupp .0. <-> ( Fun ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) /\ ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) supp .0. ) e. Fin ) ) ) |
75 |
61 69 74
|
mpbir2and |
|- ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) finSupp .0. ) |
76 |
|
simprr |
|- ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> -. z e. y ) |
77 |
|
disjsn |
|- ( ( y i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. y ) |
78 |
76 77
|
sylibr |
|- ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( y i^i { z } ) = (/) ) |
79 |
78
|
reseq2d |
|- ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( A |` ( y i^i { z } ) ) = ( A |` (/) ) ) |
80 |
|
resindi |
|- ( A |` ( y i^i { z } ) ) = ( ( A |` y ) i^i ( A |` { z } ) ) |
81 |
79 80 14
|
3eqtr3g |
|- ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( ( A |` y ) i^i ( A |` { z } ) ) = (/) ) |
82 |
|
resundi |
|- ( A |` ( y u. { z } ) ) = ( ( A |` y ) u. ( A |` { z } ) ) |
83 |
82
|
a1i |
|- ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( A |` ( y u. { z } ) ) = ( ( A |` y ) u. ( A |` { z } ) ) ) |
84 |
1 2 49 50 53 57 75 81 83
|
gsumsplit |
|- ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( G gsum ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) ) = ( ( G gsum ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) |` ( A |` y ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsum ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) |` ( A |` { z } ) ) ) ) ) |
85 |
|
ssun1 |
|- y C_ ( y u. { z } ) |
86 |
|
ssres2 |
|- ( y C_ ( y u. { z } ) -> ( A |` y ) C_ ( A |` ( y u. { z } ) ) ) |
87 |
|
resabs1 |
|- ( ( A |` y ) C_ ( A |` ( y u. { z } ) ) -> ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) |` ( A |` y ) ) = ( F |` ( A |` y ) ) ) |
88 |
85 86 87
|
mp2b |
|- ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) |` ( A |` y ) ) = ( F |` ( A |` y ) ) |
89 |
88
|
oveq2i |
|- ( G gsum ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) |` ( A |` y ) ) ) = ( G gsum ( F |` ( A |` y ) ) ) |
90 |
|
ssun2 |
|- { z } C_ ( y u. { z } ) |
91 |
|
ssres2 |
|- ( { z } C_ ( y u. { z } ) -> ( A |` { z } ) C_ ( A |` ( y u. { z } ) ) ) |
92 |
|
resabs1 |
|- ( ( A |` { z } ) C_ ( A |` ( y u. { z } ) ) -> ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) |` ( A |` { z } ) ) = ( F |` ( A |` { z } ) ) ) |
93 |
90 91 92
|
mp2b |
|- ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) |` ( A |` { z } ) ) = ( F |` ( A |` { z } ) ) |
94 |
93
|
oveq2i |
|- ( G gsum ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) |` ( A |` { z } ) ) ) = ( G gsum ( F |` ( A |` { z } ) ) ) |
95 |
89 94
|
oveq12i |
|- ( ( G gsum ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) |` ( A |` y ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsum ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) |` ( A |` { z } ) ) ) ) = ( ( G gsum ( F |` ( A |` y ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsum ( F |` ( A |` { z } ) ) ) ) |
96 |
84 95
|
eqtrdi |
|- ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( G gsum ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) ) = ( ( G gsum ( F |` ( A |` y ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsum ( F |` ( A |` { z } ) ) ) ) ) |
97 |
|
simprl |
|- ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> y e. Fin ) |
98 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
gsum2dlem1 |
|- ( ph -> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) e. B ) |
99 |
98
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ j e. y ) -> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) e. B ) |
100 |
|
vex |
|- z e. _V |
101 |
100
|
a1i |
|- ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> z e. _V ) |
102 |
|
sneq |
|- ( j = z -> { j } = { z } ) |
103 |
102
|
imaeq2d |
|- ( j = z -> ( A " { j } ) = ( A " { z } ) ) |
104 |
|
oveq1 |
|- ( j = z -> ( j F k ) = ( z F k ) ) |
105 |
103 104
|
mpteq12dv |
|- ( j = z -> ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) = ( k e. ( A " { z } ) |-> ( z F k ) ) ) |
106 |
105
|
oveq2d |
|- ( j = z -> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) = ( G gsum ( k e. ( A " { z } ) |-> ( z F k ) ) ) ) |
107 |
106
|
eleq1d |
|- ( j = z -> ( ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) e. B <-> ( G gsum ( k e. ( A " { z } ) |-> ( z F k ) ) ) e. B ) ) |
108 |
107
|
imbi2d |
|- ( j = z -> ( ( ph -> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) e. B ) <-> ( ph -> ( G gsum ( k e. ( A " { z } ) |-> ( z F k ) ) ) e. B ) ) ) |
109 |
108 98
|
chvarvv |
|- ( ph -> ( G gsum ( k e. ( A " { z } ) |-> ( z F k ) ) ) e. B ) |
110 |
109
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( G gsum ( k e. ( A " { z } ) |-> ( z F k ) ) ) e. B ) |
111 |
1 49 50 97 99 101 76 110 106
|
gsumunsn |
|- ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( G gsum ( j e. ( y u. { z } ) |-> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) = ( ( G gsum ( j e. y |-> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsum ( k e. ( A " { z } ) |-> ( z F k ) ) ) ) ) |
112 |
102
|
reseq2d |
|- ( j = z -> ( A |` { j } ) = ( A |` { z } ) ) |
113 |
112
|
reseq2d |
|- ( j = z -> ( F |` ( A |` { j } ) ) = ( F |` ( A |` { z } ) ) ) |
114 |
113
|
oveq2d |
|- ( j = z -> ( G gsum ( F |` ( A |` { j } ) ) ) = ( G gsum ( F |` ( A |` { z } ) ) ) ) |
115 |
106 114
|
eqeq12d |
|- ( j = z -> ( ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) = ( G gsum ( F |` ( A |` { j } ) ) ) <-> ( G gsum ( k e. ( A " { z } ) |-> ( z F k ) ) ) = ( G gsum ( F |` ( A |` { z } ) ) ) ) ) |
116 |
115
|
imbi2d |
|- ( j = z -> ( ( ph -> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) = ( G gsum ( F |` ( A |` { j } ) ) ) ) <-> ( ph -> ( G gsum ( k e. ( A " { z } ) |-> ( z F k ) ) ) = ( G gsum ( F |` ( A |` { z } ) ) ) ) ) ) |
117 |
|
imaexg |
|- ( A e. V -> ( A " { j } ) e. _V ) |
118 |
4 117
|
syl |
|- ( ph -> ( A " { j } ) e. _V ) |
119 |
|
vex |
|- j e. _V |
120 |
|
vex |
|- k e. _V |
121 |
119 120
|
elimasn |
|- ( k e. ( A " { j } ) <-> <. j , k >. e. A ) |
122 |
|
df-ov |
|- ( j F k ) = ( F ` <. j , k >. ) |
123 |
8
|
ffvelrnda |
|- ( ( ph /\ <. j , k >. e. A ) -> ( F ` <. j , k >. ) e. B ) |
124 |
122 123
|
eqeltrid |
|- ( ( ph /\ <. j , k >. e. A ) -> ( j F k ) e. B ) |
125 |
121 124
|
sylan2b |
|- ( ( ph /\ k e. ( A " { j } ) ) -> ( j F k ) e. B ) |
126 |
125
|
fmpttd |
|- ( ph -> ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) : ( A " { j } ) --> B ) |
127 |
|
funmpt |
|- Fun ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) |
128 |
127
|
a1i |
|- ( ph -> Fun ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) |
129 |
|
rnfi |
|- ( ( F supp .0. ) e. Fin -> ran ( F supp .0. ) e. Fin ) |
130 |
10 129
|
syl |
|- ( ph -> ran ( F supp .0. ) e. Fin ) |
131 |
121
|
biimpi |
|- ( k e. ( A " { j } ) -> <. j , k >. e. A ) |
132 |
119 120
|
opelrn |
|- ( <. j , k >. e. ( F supp .0. ) -> k e. ran ( F supp .0. ) ) |
133 |
132
|
con3i |
|- ( -. k e. ran ( F supp .0. ) -> -. <. j , k >. e. ( F supp .0. ) ) |
134 |
131 133
|
anim12i |
|- ( ( k e. ( A " { j } ) /\ -. k e. ran ( F supp .0. ) ) -> ( <. j , k >. e. A /\ -. <. j , k >. e. ( F supp .0. ) ) ) |
135 |
|
eldif |
|- ( k e. ( ( A " { j } ) \ ran ( F supp .0. ) ) <-> ( k e. ( A " { j } ) /\ -. k e. ran ( F supp .0. ) ) ) |
136 |
|
eldif |
|- ( <. j , k >. e. ( A \ ( F supp .0. ) ) <-> ( <. j , k >. e. A /\ -. <. j , k >. e. ( F supp .0. ) ) ) |
137 |
134 135 136
|
3imtr4i |
|- ( k e. ( ( A " { j } ) \ ran ( F supp .0. ) ) -> <. j , k >. e. ( A \ ( F supp .0. ) ) ) |
138 |
|
ssidd |
|- ( ph -> ( F supp .0. ) C_ ( F supp .0. ) ) |
139 |
65
|
a1i |
|- ( ph -> .0. e. _V ) |
140 |
8 138 4 139
|
suppssr |
|- ( ( ph /\ <. j , k >. e. ( A \ ( F supp .0. ) ) ) -> ( F ` <. j , k >. ) = .0. ) |
141 |
122 140
|
syl5eq |
|- ( ( ph /\ <. j , k >. e. ( A \ ( F supp .0. ) ) ) -> ( j F k ) = .0. ) |
142 |
137 141
|
sylan2 |
|- ( ( ph /\ k e. ( ( A " { j } ) \ ran ( F supp .0. ) ) ) -> ( j F k ) = .0. ) |
143 |
142 118
|
suppss2 |
|- ( ph -> ( ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) supp .0. ) C_ ran ( F supp .0. ) ) |
144 |
130 143
|
ssfid |
|- ( ph -> ( ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) supp .0. ) e. Fin ) |
145 |
118
|
mptexd |
|- ( ph -> ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) e. _V ) |
146 |
|
isfsupp |
|- ( ( ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) e. _V /\ .0. e. _V ) -> ( ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) finSupp .0. <-> ( Fun ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) /\ ( ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) supp .0. ) e. Fin ) ) ) |
147 |
145 65 146
|
sylancl |
|- ( ph -> ( ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) finSupp .0. <-> ( Fun ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) /\ ( ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) supp .0. ) e. Fin ) ) ) |
148 |
128 144 147
|
mpbir2and |
|- ( ph -> ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) finSupp .0. ) |
149 |
|
2ndconst |
|- ( j e. _V -> ( 2nd |` ( { j } X. ( A " { j } ) ) ) : ( { j } X. ( A " { j } ) ) -1-1-onto-> ( A " { j } ) ) |
150 |
119 149
|
mp1i |
|- ( ph -> ( 2nd |` ( { j } X. ( A " { j } ) ) ) : ( { j } X. ( A " { j } ) ) -1-1-onto-> ( A " { j } ) ) |
151 |
1 2 3 118 126 148 150
|
gsumf1o |
|- ( ph -> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) = ( G gsum ( ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) o. ( 2nd |` ( { j } X. ( A " { j } ) ) ) ) ) ) |
152 |
|
1st2nd2 |
|- ( x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) -> x = <. ( 1st ` x ) , ( 2nd ` x ) >. ) |
153 |
|
xp1st |
|- ( x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) -> ( 1st ` x ) e. { j } ) |
154 |
|
elsni |
|- ( ( 1st ` x ) e. { j } -> ( 1st ` x ) = j ) |
155 |
153 154
|
syl |
|- ( x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) -> ( 1st ` x ) = j ) |
156 |
155
|
opeq1d |
|- ( x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) -> <. ( 1st ` x ) , ( 2nd ` x ) >. = <. j , ( 2nd ` x ) >. ) |
157 |
152 156
|
eqtrd |
|- ( x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) -> x = <. j , ( 2nd ` x ) >. ) |
158 |
157
|
fveq2d |
|- ( x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) -> ( F ` x ) = ( F ` <. j , ( 2nd ` x ) >. ) ) |
159 |
|
df-ov |
|- ( j F ( 2nd ` x ) ) = ( F ` <. j , ( 2nd ` x ) >. ) |
160 |
158 159
|
eqtr4di |
|- ( x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) -> ( F ` x ) = ( j F ( 2nd ` x ) ) ) |
161 |
160
|
mpteq2ia |
|- ( x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) |-> ( F ` x ) ) = ( x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) |-> ( j F ( 2nd ` x ) ) ) |
162 |
8
|
feqmptd |
|- ( ph -> F = ( x e. A |-> ( F ` x ) ) ) |
163 |
162
|
reseq1d |
|- ( ph -> ( F |` ( A |` { j } ) ) = ( ( x e. A |-> ( F ` x ) ) |` ( A |` { j } ) ) ) |
164 |
|
resss |
|- ( A |` { j } ) C_ A |
165 |
|
resmpt |
|- ( ( A |` { j } ) C_ A -> ( ( x e. A |-> ( F ` x ) ) |` ( A |` { j } ) ) = ( x e. ( A |` { j } ) |-> ( F ` x ) ) ) |
166 |
164 165
|
ax-mp |
|- ( ( x e. A |-> ( F ` x ) ) |` ( A |` { j } ) ) = ( x e. ( A |` { j } ) |-> ( F ` x ) ) |
167 |
|
ressn |
|- ( A |` { j } ) = ( { j } X. ( A " { j } ) ) |
168 |
167
|
mpteq1i |
|- ( x e. ( A |` { j } ) |-> ( F ` x ) ) = ( x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) |-> ( F ` x ) ) |
169 |
166 168
|
eqtri |
|- ( ( x e. A |-> ( F ` x ) ) |` ( A |` { j } ) ) = ( x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) |-> ( F ` x ) ) |
170 |
163 169
|
eqtrdi |
|- ( ph -> ( F |` ( A |` { j } ) ) = ( x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) |-> ( F ` x ) ) ) |
171 |
|
xp2nd |
|- ( x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) -> ( 2nd ` x ) e. ( A " { j } ) ) |
172 |
171
|
adantl |
|- ( ( ph /\ x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) ) -> ( 2nd ` x ) e. ( A " { j } ) ) |
173 |
|
fo2nd |
|- 2nd : _V -onto-> _V |
174 |
|
fof |
|- ( 2nd : _V -onto-> _V -> 2nd : _V --> _V ) |
175 |
173 174
|
mp1i |
|- ( ph -> 2nd : _V --> _V ) |
176 |
175
|
feqmptd |
|- ( ph -> 2nd = ( x e. _V |-> ( 2nd ` x ) ) ) |
177 |
176
|
reseq1d |
|- ( ph -> ( 2nd |` ( { j } X. ( A " { j } ) ) ) = ( ( x e. _V |-> ( 2nd ` x ) ) |` ( { j } X. ( A " { j } ) ) ) ) |
178 |
|
ssv |
|- ( { j } X. ( A " { j } ) ) C_ _V |
179 |
|
resmpt |
|- ( ( { j } X. ( A " { j } ) ) C_ _V -> ( ( x e. _V |-> ( 2nd ` x ) ) |` ( { j } X. ( A " { j } ) ) ) = ( x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) |-> ( 2nd ` x ) ) ) |
180 |
178 179
|
ax-mp |
|- ( ( x e. _V |-> ( 2nd ` x ) ) |` ( { j } X. ( A " { j } ) ) ) = ( x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) |-> ( 2nd ` x ) ) |
181 |
177 180
|
eqtrdi |
|- ( ph -> ( 2nd |` ( { j } X. ( A " { j } ) ) ) = ( x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) |-> ( 2nd ` x ) ) ) |
182 |
|
eqidd |
|- ( ph -> ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) = ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) |
183 |
|
oveq2 |
|- ( k = ( 2nd ` x ) -> ( j F k ) = ( j F ( 2nd ` x ) ) ) |
184 |
172 181 182 183
|
fmptco |
|- ( ph -> ( ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) o. ( 2nd |` ( { j } X. ( A " { j } ) ) ) ) = ( x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) |-> ( j F ( 2nd ` x ) ) ) ) |
185 |
161 170 184
|
3eqtr4a |
|- ( ph -> ( F |` ( A |` { j } ) ) = ( ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) o. ( 2nd |` ( { j } X. ( A " { j } ) ) ) ) ) |
186 |
185
|
oveq2d |
|- ( ph -> ( G gsum ( F |` ( A |` { j } ) ) ) = ( G gsum ( ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) o. ( 2nd |` ( { j } X. ( A " { j } ) ) ) ) ) ) |
187 |
151 186
|
eqtr4d |
|- ( ph -> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) = ( G gsum ( F |` ( A |` { j } ) ) ) ) |
188 |
116 187
|
chvarvv |
|- ( ph -> ( G gsum ( k e. ( A " { z } ) |-> ( z F k ) ) ) = ( G gsum ( F |` ( A |` { z } ) ) ) ) |
189 |
188
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( G gsum ( k e. ( A " { z } ) |-> ( z F k ) ) ) = ( G gsum ( F |` ( A |` { z } ) ) ) ) |
190 |
189
|
oveq2d |
|- ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( ( G gsum ( j e. y |-> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsum ( k e. ( A " { z } ) |-> ( z F k ) ) ) ) = ( ( G gsum ( j e. y |-> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsum ( F |` ( A |` { z } ) ) ) ) ) |
191 |
111 190
|
eqtrd |
|- ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( G gsum ( j e. ( y u. { z } ) |-> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) = ( ( G gsum ( j e. y |-> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsum ( F |` ( A |` { z } ) ) ) ) ) |
192 |
96 191
|
eqeq12d |
|- ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( ( G gsum ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) ) = ( G gsum ( j e. ( y u. { z } ) |-> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) <-> ( ( G gsum ( F |` ( A |` y ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsum ( F |` ( A |` { z } ) ) ) ) = ( ( G gsum ( j e. y |-> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsum ( F |` ( A |` { z } ) ) ) ) ) ) |
193 |
48 192
|
syl5ibr |
|- ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( ( G gsum ( F |` ( A |` y ) ) ) = ( G gsum ( j e. y |-> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) -> ( G gsum ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) ) = ( G gsum ( j e. ( y u. { z } ) |-> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ) ) |
194 |
193
|
expcom |
|- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ph -> ( ( G gsum ( F |` ( A |` y ) ) ) = ( G gsum ( j e. y |-> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) -> ( G gsum ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) ) = ( G gsum ( j e. ( y u. { z } ) |-> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ) ) ) |
195 |
194
|
a2d |
|- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( ph -> ( G gsum ( F |` ( A |` y ) ) ) = ( G gsum ( j e. y |-> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ) -> ( ph -> ( G gsum ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) ) = ( G gsum ( j e. ( y u. { z } ) |-> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ) ) ) |
196 |
25 32 39 46 47 195
|
findcard2s |
|- ( dom ( F supp .0. ) e. Fin -> ( ph -> ( G gsum ( F |` ( A |` dom ( F supp .0. ) ) ) ) = ( G gsum ( j e. dom ( F supp .0. ) |-> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ) ) |
197 |
12 196
|
mpcom |
|- ( ph -> ( G gsum ( F |` ( A |` dom ( F supp .0. ) ) ) ) = ( G gsum ( j e. dom ( F supp .0. ) |-> ( G gsum ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ) |