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Theorem hauscmp

Description: A compact subspace of a T2 space is closed. (Contributed by Jeff Hankins, 16-Jan-2010) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Dec-2013)

Ref Expression
Hypothesis hauscmp.1 
|- X = U. J
Assertion hauscmp 
|- ( ( J e. Haus /\ S C_ X /\ ( J |`t S ) e. Comp ) -> S e. ( Clsd ` J ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 hauscmp.1 
 |-  X = U. J
2 simp2 
 |-  ( ( J e. Haus /\ S C_ X /\ ( J |`t S ) e. Comp ) -> S C_ X )
3 eqid 
 |-  { y e. J | E. w e. J ( x e. w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( X \ y ) ) } = { y e. J | E. w e. J ( x e. w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( X \ y ) ) }
4 simpl1 
 |-  ( ( ( J e. Haus /\ S C_ X /\ ( J |`t S ) e. Comp ) /\ x e. ( X \ S ) ) -> J e. Haus )
5 simpl2 
 |-  ( ( ( J e. Haus /\ S C_ X /\ ( J |`t S ) e. Comp ) /\ x e. ( X \ S ) ) -> S C_ X )
6 simpl3 
 |-  ( ( ( J e. Haus /\ S C_ X /\ ( J |`t S ) e. Comp ) /\ x e. ( X \ S ) ) -> ( J |`t S ) e. Comp )
7 simpr 
 |-  ( ( ( J e. Haus /\ S C_ X /\ ( J |`t S ) e. Comp ) /\ x e. ( X \ S ) ) -> x e. ( X \ S ) )
8 1 3 4 5 6 7 hauscmplem 
 |-  ( ( ( J e. Haus /\ S C_ X /\ ( J |`t S ) e. Comp ) /\ x e. ( X \ S ) ) -> E. z e. J ( x e. z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ ( X \ S ) ) )
9 haustop 
 |-  ( J e. Haus -> J e. Top )
10 9 3ad2ant1 
 |-  ( ( J e. Haus /\ S C_ X /\ ( J |`t S ) e. Comp ) -> J e. Top )
11 elssuni 
 |-  ( z e. J -> z C_ U. J )
12 11 1 sseqtrrdi 
 |-  ( z e. J -> z C_ X )
13 1 sscls 
 |-  ( ( J e. Top /\ z C_ X ) -> z C_ ( ( cls ` J ) ` z ) )
14 10 12 13 syl2an 
 |-  ( ( ( J e. Haus /\ S C_ X /\ ( J |`t S ) e. Comp ) /\ z e. J ) -> z C_ ( ( cls ` J ) ` z ) )
15 sstr2 
 |-  ( z C_ ( ( cls ` J ) ` z ) -> ( ( ( cls ` J ) ` z ) C_ ( X \ S ) -> z C_ ( X \ S ) ) )
16 14 15 syl 
 |-  ( ( ( J e. Haus /\ S C_ X /\ ( J |`t S ) e. Comp ) /\ z e. J ) -> ( ( ( cls ` J ) ` z ) C_ ( X \ S ) -> z C_ ( X \ S ) ) )
17 16 anim2d 
 |-  ( ( ( J e. Haus /\ S C_ X /\ ( J |`t S ) e. Comp ) /\ z e. J ) -> ( ( x e. z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ ( X \ S ) ) -> ( x e. z /\ z C_ ( X \ S ) ) ) )
18 17 reximdva 
 |-  ( ( J e. Haus /\ S C_ X /\ ( J |`t S ) e. Comp ) -> ( E. z e. J ( x e. z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ ( X \ S ) ) -> E. z e. J ( x e. z /\ z C_ ( X \ S ) ) ) )
19 18 adantr 
 |-  ( ( ( J e. Haus /\ S C_ X /\ ( J |`t S ) e. Comp ) /\ x e. ( X \ S ) ) -> ( E. z e. J ( x e. z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ ( X \ S ) ) -> E. z e. J ( x e. z /\ z C_ ( X \ S ) ) ) )
20 8 19 mpd 
 |-  ( ( ( J e. Haus /\ S C_ X /\ ( J |`t S ) e. Comp ) /\ x e. ( X \ S ) ) -> E. z e. J ( x e. z /\ z C_ ( X \ S ) ) )
21 20 ralrimiva 
 |-  ( ( J e. Haus /\ S C_ X /\ ( J |`t S ) e. Comp ) -> A. x e. ( X \ S ) E. z e. J ( x e. z /\ z C_ ( X \ S ) ) )
22 eltop2 
 |-  ( J e. Top -> ( ( X \ S ) e. J <-> A. x e. ( X \ S ) E. z e. J ( x e. z /\ z C_ ( X \ S ) ) ) )
23 10 22 syl 
 |-  ( ( J e. Haus /\ S C_ X /\ ( J |`t S ) e. Comp ) -> ( ( X \ S ) e. J <-> A. x e. ( X \ S ) E. z e. J ( x e. z /\ z C_ ( X \ S ) ) ) )
24 21 23 mpbird 
 |-  ( ( J e. Haus /\ S C_ X /\ ( J |`t S ) e. Comp ) -> ( X \ S ) e. J )
25 1 iscld 
 |-  ( J e. Top -> ( S e. ( Clsd ` J ) <-> ( S C_ X /\ ( X \ S ) e. J ) ) )
26 10 25 syl 
 |-  ( ( J e. Haus /\ S C_ X /\ ( J |`t S ) e. Comp ) -> ( S e. ( Clsd ` J ) <-> ( S C_ X /\ ( X \ S ) e. J ) ) )
27 2 24 26 mpbir2and 
 |-  ( ( J e. Haus /\ S C_ X /\ ( J |`t S ) e. Comp ) -> S e. ( Clsd ` J ) )