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Theorem hausflim

Description: A condition for a topology to be Hausdorff in terms of filters. A topology is Hausdorff iff every filter has at most one limit point. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Sep-2009) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015)

Ref Expression
Hypothesis flimcf.1 
|- X = U. J
Assertion hausflim 
|- ( J e. Haus <-> ( J e. Top /\ A. f e. ( Fil ` X ) E* x x e. ( J fLim f ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 flimcf.1 
 |-  X = U. J
2 haustop 
 |-  ( J e. Haus -> J e. Top )
3 hausflimi 
 |-  ( J e. Haus -> E* x x e. ( J fLim f ) )
4 3 ralrimivw 
 |-  ( J e. Haus -> A. f e. ( Fil ` X ) E* x x e. ( J fLim f ) )
5 2 4 jca 
 |-  ( J e. Haus -> ( J e. Top /\ A. f e. ( Fil ` X ) E* x x e. ( J fLim f ) ) )
6 simpl 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> J e. Top )
7 1 toptopon 
 |-  ( J e. Top <-> J e. ( TopOn ` X ) )
8 6 7 sylib 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> J e. ( TopOn ` X ) )
9 simprll 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> z e. X )
10 9 snssd 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> { z } C_ X )
11 9 snn0d 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> { z } =/= (/) )
12 neifil 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ { z } C_ X /\ { z } =/= (/) ) -> ( ( nei ` J ) ` { z } ) e. ( Fil ` X ) )
13 8 10 11 12 syl3anc 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { z } ) e. ( Fil ` X ) )
14 filfbas 
 |-  ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) e. ( Fil ` X ) -> ( ( nei ` J ) ` { z } ) e. ( fBas ` X ) )
15 13 14 syl 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { z } ) e. ( fBas ` X ) )
16 simprlr 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> w e. X )
17 16 snssd 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> { w } C_ X )
18 16 snn0d 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> { w } =/= (/) )
19 neifil 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ { w } C_ X /\ { w } =/= (/) ) -> ( ( nei ` J ) ` { w } ) e. ( Fil ` X ) )
20 8 17 18 19 syl3anc 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { w } ) e. ( Fil ` X ) )
21 filfbas 
 |-  ( ( ( nei ` J ) ` { w } ) e. ( Fil ` X ) -> ( ( nei ` J ) ` { w } ) e. ( fBas ` X ) )
22 20 21 syl 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { w } ) e. ( fBas ` X ) )
23 fbunfip 
 |-  ( ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) e. ( fBas ` X ) /\ ( ( nei ` J ) ` { w } ) e. ( fBas ` X ) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) <-> A. u e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) A. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) =/= (/) ) )
24 15 22 23 syl2anc 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) <-> A. u e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) A. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) =/= (/) ) )
25 1 neisspw 
 |-  ( J e. Top -> ( ( nei ` J ) ` { z } ) C_ ~P X )
26 1 neisspw 
 |-  ( J e. Top -> ( ( nei ` J ) ` { w } ) C_ ~P X )
27 25 26 unssd 
 |-  ( J e. Top -> ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) C_ ~P X )
28 27 adantr 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) C_ ~P X )
29 28 a1d 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) C_ ~P X ) )
30 ssun1 
 |-  ( ( nei ` J ) ` { z } ) C_ ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) )
31 filn0 
 |-  ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) e. ( Fil ` X ) -> ( ( nei ` J ) ` { z } ) =/= (/) )
32 13 31 syl 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { z } ) =/= (/) )
33 ssn0 
 |-  ( ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) C_ ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) /\ ( ( nei ` J ) ` { z } ) =/= (/) ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) =/= (/) )
34 30 32 33 sylancr 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) =/= (/) )
35 34 a1d 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) =/= (/) ) )
36 idd 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) -> -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) )
37 29 35 36 3jcad 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) -> ( ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) C_ ~P X /\ ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) =/= (/) /\ -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) )
38 1 topopn 
 |-  ( J e. Top -> X e. J )
39 38 adantr 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> X e. J )
40 fsubbas 
 |-  ( X e. J -> ( ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) <-> ( ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) C_ ~P X /\ ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) =/= (/) /\ -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) )
41 39 40 syl 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) <-> ( ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) C_ ~P X /\ ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) =/= (/) /\ -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) )
42 fgcl 
 |-  ( ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) -> ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) e. ( Fil ` X ) )
43 42 adantl 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) ) -> ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) e. ( Fil ` X ) )
44 simplrr 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) ) -> z =/= w )
45 9 adantr 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) ) -> z e. X )
46 16 adantr 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) ) -> w e. X )
47 fvex 
 |-  ( ( nei ` J ) ` { z } ) e. _V
48 fvex 
 |-  ( ( nei ` J ) ` { w } ) e. _V
49 47 48 unex 
 |-  ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) e. _V
50 ssfii 
 |-  ( ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) e. _V -> ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) C_ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) )
51 49 50 ax-mp 
 |-  ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) C_ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) )
52 ssfg 
 |-  ( ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) -> ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) C_ ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) )
53 52 adantl 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) ) -> ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) C_ ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) )
54 51 53 sstrid 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) C_ ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) )
55 30 54 sstrid 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { z } ) C_ ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) )
56 8 adantr 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) ) -> J e. ( TopOn ` X ) )
57 elflim 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) e. ( Fil ` X ) ) -> ( z e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) <-> ( z e. X /\ ( ( nei ` J ) ` { z } ) C_ ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) ) )
58 56 43 57 syl2anc 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) ) -> ( z e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) <-> ( z e. X /\ ( ( nei ` J ) ` { z } ) C_ ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) ) )
59 45 55 58 mpbir2and 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) ) -> z e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) )
60 54 unssbd 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { w } ) C_ ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) )
61 elflim 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) e. ( Fil ` X ) ) -> ( w e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) <-> ( w e. X /\ ( ( nei ` J ) ` { w } ) C_ ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) ) )
62 56 43 61 syl2anc 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) ) -> ( w e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) <-> ( w e. X /\ ( ( nei ` J ) ` { w } ) C_ ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) ) )
63 46 60 62 mpbir2and 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) ) -> w e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) )
64 eleq1w 
 |-  ( x = z -> ( x e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) <-> z e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) ) )
65 eleq1w 
 |-  ( x = w -> ( x e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) <-> w e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) ) )
66 64 65 moi 
 |-  ( ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ E* x x e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) /\ ( z e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) /\ w e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) ) ) -> z = w )
67 66 3com23 
 |-  ( ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) /\ w e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) ) /\ E* x x e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) ) -> z = w )
68 67 3expia 
 |-  ( ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) /\ w e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) ) ) -> ( E* x x e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) -> z = w ) )
69 45 46 59 63 68 syl22anc 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) ) -> ( E* x x e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) -> z = w ) )
70 69 necon3ad 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) ) -> ( z =/= w -> -. E* x x e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) ) )
71 44 70 mpd 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) ) -> -. E* x x e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) )
72 oveq2 
 |-  ( f = ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) -> ( J fLim f ) = ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) )
73 72 eleq2d 
 |-  ( f = ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) -> ( x e. ( J fLim f ) <-> x e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) ) )
74 73 mobidv 
 |-  ( f = ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) -> ( E* x x e. ( J fLim f ) <-> E* x x e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) ) )
75 74 notbid 
 |-  ( f = ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) -> ( -. E* x x e. ( J fLim f ) <-> -. E* x x e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) ) )
76 75 rspcev 
 |-  ( ( ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) e. ( Fil ` X ) /\ -. E* x x e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) ) -> E. f e. ( Fil ` X ) -. E* x x e. ( J fLim f ) )
77 43 71 76 syl2anc 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) ) -> E. f e. ( Fil ` X ) -. E* x x e. ( J fLim f ) )
78 77 ex 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) -> E. f e. ( Fil ` X ) -. E* x x e. ( J fLim f ) ) )
79 41 78 sylbird 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( ( ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) C_ ~P X /\ ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) =/= (/) /\ -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) -> E. f e. ( Fil ` X ) -. E* x x e. ( J fLim f ) ) )
80 37 79 syld 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) -> E. f e. ( Fil ` X ) -. E* x x e. ( J fLim f ) ) )
81 24 80 sylbird 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( A. u e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) A. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) =/= (/) -> E. f e. ( Fil ` X ) -. E* x x e. ( J fLim f ) ) )
82 df-ne 
 |-  ( ( u i^i v ) =/= (/) <-> -. ( u i^i v ) = (/) )
83 82 ralbii 
 |-  ( A. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) =/= (/) <-> A. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) -. ( u i^i v ) = (/) )
84 ralnex 
 |-  ( A. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) -. ( u i^i v ) = (/) <-> -. E. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) = (/) )
85 83 84 bitri 
 |-  ( A. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) =/= (/) <-> -. E. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) = (/) )
86 85 ralbii 
 |-  ( A. u e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) A. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) =/= (/) <-> A. u e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) -. E. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) = (/) )
87 ralnex 
 |-  ( A. u e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) -. E. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) = (/) <-> -. E. u e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) = (/) )
88 86 87 bitri 
 |-  ( A. u e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) A. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) =/= (/) <-> -. E. u e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) = (/) )
89 rexnal 
 |-  ( E. f e. ( Fil ` X ) -. E* x x e. ( J fLim f ) <-> -. A. f e. ( Fil ` X ) E* x x e. ( J fLim f ) )
90 81 88 89 3imtr3g 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( -. E. u e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) = (/) -> -. A. f e. ( Fil ` X ) E* x x e. ( J fLim f ) ) )
91 90 con4d 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( A. f e. ( Fil ` X ) E* x x e. ( J fLim f ) -> E. u e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) = (/) ) )
92 91 imp 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) E* x x e. ( J fLim f ) ) -> E. u e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) = (/) )
93 92 an32s 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ A. f e. ( Fil ` X ) E* x x e. ( J fLim f ) ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> E. u e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) = (/) )
94 93 expr 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ A. f e. ( Fil ` X ) E* x x e. ( J fLim f ) ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( z =/= w -> E. u e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) = (/) ) )
95 94 ralrimivva 
 |-  ( ( J e. Top /\ A. f e. ( Fil ` X ) E* x x e. ( J fLim f ) ) -> A. z e. X A. w e. X ( z =/= w -> E. u e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) = (/) ) )
96 simpl 
 |-  ( ( J e. Top /\ A. f e. ( Fil ` X ) E* x x e. ( J fLim f ) ) -> J e. Top )
97 96 7 sylib 
 |-  ( ( J e. Top /\ A. f e. ( Fil ` X ) E* x x e. ( J fLim f ) ) -> J e. ( TopOn ` X ) )
98 hausnei2 
 |-  ( J e. ( TopOn ` X ) -> ( J e. Haus <-> A. z e. X A. w e. X ( z =/= w -> E. u e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) = (/) ) ) )
99 97 98 syl 
 |-  ( ( J e. Top /\ A. f e. ( Fil ` X ) E* x x e. ( J fLim f ) ) -> ( J e. Haus <-> A. z e. X A. w e. X ( z =/= w -> E. u e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) = (/) ) ) )
100 95 99 mpbird 
 |-  ( ( J e. Top /\ A. f e. ( Fil ` X ) E* x x e. ( J fLim f ) ) -> J e. Haus )
101 5 100 impbii 
 |-  ( J e. Haus <-> ( J e. Top /\ A. f e. ( Fil ` X ) E* x x e. ( J fLim f ) ) )