Theorem hlateq

Description: The equality of two Hilbert lattice elements is determined by the atoms under them. ( chrelat4i analog.) (Contributed by NM, 24-May-2012)

	Ref	Expression
Hypotheses	hlatle.b	|- B = ( Base ` K )
	hlatle.l	|- .<_ = ( le ` K )
	hlatle.a	|- A = ( Atoms ` K )
Assertion	hlateq	|- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( A. p e. A ( p .<_ X <-> p .<_ Y ) <-> X = Y ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlatle.b	|- B = ( Base ` K )
2		hlatle.l	|- .<_ = ( le ` K )
3		hlatle.a	|- A = ( Atoms ` K )
4		ralbiim	|- ( A. p e. A ( p .<_ X <-> p .<_ Y ) <-> ( A. p e. A ( p .<_ X -> p .<_ Y ) /\ A. p e. A ( p .<_ Y -> p .<_ X ) ) )
5	1 2 3	hlatle	|- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y <-> A. p e. A ( p .<_ X -> p .<_ Y ) ) )
6	1 2 3	hlatle	|- ( ( K e. HL /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( Y .<_ X <-> A. p e. A ( p .<_ Y -> p .<_ X ) ) )
7	6	3com23	|- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( Y .<_ X <-> A. p e. A ( p .<_ Y -> p .<_ X ) ) )
8	5 7	anbi12d	|- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ X ) <-> ( A. p e. A ( p .<_ X -> p .<_ Y ) /\ A. p e. A ( p .<_ Y -> p .<_ X ) ) ) )
9	4 8	bitr4id	|- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( A. p e. A ( p .<_ X <-> p .<_ Y ) <-> ( X .<_ Y /\ Y .<_ X ) ) )
10		hllat	|- ( K e. HL -> K e. Lat )
11	1 2	latasymb	|- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ X ) <-> X = Y ) )
12	10 11	syl3an1	|- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ X ) <-> X = Y ) )
13	9 12	bitrd	|- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( A. p e. A ( p .<_ X <-> p .<_ Y ) <-> X = Y ) )