Theorem iindif2

Description: Indexed intersection of class difference. Generalization of half of theorem "De Morgan's laws" in Enderton p. 31. Use uniiun to recover Enderton's theorem. (Contributed by NM, 5-Oct-2006)

	Ref	Expression
Assertion	iindif2	|- ( A =/= (/) -> |^|_ x e. A ( B \ C ) = ( B \ U_ x e. A C ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.28zv	|- ( A =/= (/) -> ( A. x e. A ( y e. B /\ -. y e. C ) <-> ( y e. B /\ A. x e. A -. y e. C ) ) )
2		eldif	|- ( y e. ( B \ C ) <-> ( y e. B /\ -. y e. C ) )
3	2	bicomi	|- ( ( y e. B /\ -. y e. C ) <-> y e. ( B \ C ) )
4	3	ralbii	|- ( A. x e. A ( y e. B /\ -. y e. C ) <-> A. x e. A y e. ( B \ C ) )
5		ralnex	|- ( A. x e. A -. y e. C <-> -. E. x e. A y e. C )
6		eliun	|- ( y e. U_ x e. A C <-> E. x e. A y e. C )
7	5 6	xchbinxr	|- ( A. x e. A -. y e. C <-> -. y e. U_ x e. A C )
8	7	anbi2i	|- ( ( y e. B /\ A. x e. A -. y e. C ) <-> ( y e. B /\ -. y e. U_ x e. A C ) )
9	1 4 8	3bitr3g	|- ( A =/= (/) -> ( A. x e. A y e. ( B \ C ) <-> ( y e. B /\ -. y e. U_ x e. A C ) ) )
10		eliin	|- ( y e. _V -> ( y e. |^|_ x e. A ( B \ C ) <-> A. x e. A y e. ( B \ C ) ) )
11	10	elv	|- ( y e. |^|_ x e. A ( B \ C ) <-> A. x e. A y e. ( B \ C ) )
12		eldif	|- ( y e. ( B \ U_ x e. A C ) <-> ( y e. B /\ -. y e. U_ x e. A C ) )
13	9 11 12	3bitr4g	|- ( A =/= (/) -> ( y e. |^|_ x e. A ( B \ C ) <-> y e. ( B \ U_ x e. A C ) ) )
14	13	eqrdv	|- ( A =/= (/) -> |^|_ x e. A ( B \ C ) = ( B \ U_ x e. A C ) )