Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
imaeqexov.1 |
|- ( x = ( y F z ) -> ( ph <-> ps ) ) |
2 |
|
df-rex |
|- ( E. x e. ( F " ( B X. C ) ) ph <-> E. x ( x e. ( F " ( B X. C ) ) /\ ph ) ) |
3 |
|
ovelimab |
|- ( ( F Fn A /\ ( B X. C ) C_ A ) -> ( x e. ( F " ( B X. C ) ) <-> E. y e. B E. z e. C x = ( y F z ) ) ) |
4 |
3
|
anbi1d |
|- ( ( F Fn A /\ ( B X. C ) C_ A ) -> ( ( x e. ( F " ( B X. C ) ) /\ ph ) <-> ( E. y e. B E. z e. C x = ( y F z ) /\ ph ) ) ) |
5 |
|
r19.41v |
|- ( E. z e. C ( x = ( y F z ) /\ ph ) <-> ( E. z e. C x = ( y F z ) /\ ph ) ) |
6 |
5
|
rexbii |
|- ( E. y e. B E. z e. C ( x = ( y F z ) /\ ph ) <-> E. y e. B ( E. z e. C x = ( y F z ) /\ ph ) ) |
7 |
|
r19.41v |
|- ( E. y e. B ( E. z e. C x = ( y F z ) /\ ph ) <-> ( E. y e. B E. z e. C x = ( y F z ) /\ ph ) ) |
8 |
6 7
|
bitr2i |
|- ( ( E. y e. B E. z e. C x = ( y F z ) /\ ph ) <-> E. y e. B E. z e. C ( x = ( y F z ) /\ ph ) ) |
9 |
4 8
|
bitrdi |
|- ( ( F Fn A /\ ( B X. C ) C_ A ) -> ( ( x e. ( F " ( B X. C ) ) /\ ph ) <-> E. y e. B E. z e. C ( x = ( y F z ) /\ ph ) ) ) |
10 |
9
|
exbidv |
|- ( ( F Fn A /\ ( B X. C ) C_ A ) -> ( E. x ( x e. ( F " ( B X. C ) ) /\ ph ) <-> E. x E. y e. B E. z e. C ( x = ( y F z ) /\ ph ) ) ) |
11 |
|
rexcom4 |
|- ( E. y e. B E. x E. z e. C ( x = ( y F z ) /\ ph ) <-> E. x E. y e. B E. z e. C ( x = ( y F z ) /\ ph ) ) |
12 |
|
rexcom4 |
|- ( E. z e. C E. x ( x = ( y F z ) /\ ph ) <-> E. x E. z e. C ( x = ( y F z ) /\ ph ) ) |
13 |
|
ovex |
|- ( y F z ) e. _V |
14 |
13 1
|
ceqsexv |
|- ( E. x ( x = ( y F z ) /\ ph ) <-> ps ) |
15 |
14
|
rexbii |
|- ( E. z e. C E. x ( x = ( y F z ) /\ ph ) <-> E. z e. C ps ) |
16 |
12 15
|
bitr3i |
|- ( E. x E. z e. C ( x = ( y F z ) /\ ph ) <-> E. z e. C ps ) |
17 |
16
|
rexbii |
|- ( E. y e. B E. x E. z e. C ( x = ( y F z ) /\ ph ) <-> E. y e. B E. z e. C ps ) |
18 |
11 17
|
bitr3i |
|- ( E. x E. y e. B E. z e. C ( x = ( y F z ) /\ ph ) <-> E. y e. B E. z e. C ps ) |
19 |
10 18
|
bitrdi |
|- ( ( F Fn A /\ ( B X. C ) C_ A ) -> ( E. x ( x e. ( F " ( B X. C ) ) /\ ph ) <-> E. y e. B E. z e. C ps ) ) |
20 |
2 19
|
bitrid |
|- ( ( F Fn A /\ ( B X. C ) C_ A ) -> ( E. x e. ( F " ( B X. C ) ) ph <-> E. y e. B E. z e. C ps ) ) |