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Theorem ipdiri

Description: Distributive law for inner product. Equation I3 of Ponnusamy p. 362. (Contributed by NM, 27-Apr-2007) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses ip1i.1 
|- X = ( BaseSet ` U )
ip1i.2 
|- G = ( +v ` U )
ip1i.4 
|- S = ( .sOLD ` U )
ip1i.7 
|- P = ( .iOLD ` U )
ip1i.9 
|- U e. CPreHilOLD
Assertion ipdiri 
|- ( ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) -> ( ( A G B ) P C ) = ( ( A P C ) + ( B P C ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ip1i.1 
 |-  X = ( BaseSet ` U )
2 ip1i.2 
 |-  G = ( +v ` U )
3 ip1i.4 
 |-  S = ( .sOLD ` U )
4 ip1i.7 
 |-  P = ( .iOLD ` U )
5 ip1i.9 
 |-  U e. CPreHilOLD
6 oveq1 
 |-  ( A = if ( A e. X , A , ( 0vec ` U ) ) -> ( A G B ) = ( if ( A e. X , A , ( 0vec ` U ) ) G B ) )
7 6 oveq1d 
 |-  ( A = if ( A e. X , A , ( 0vec ` U ) ) -> ( ( A G B ) P C ) = ( ( if ( A e. X , A , ( 0vec ` U ) ) G B ) P C ) )
8 oveq1 
 |-  ( A = if ( A e. X , A , ( 0vec ` U ) ) -> ( A P C ) = ( if ( A e. X , A , ( 0vec ` U ) ) P C ) )
9 8 oveq1d 
 |-  ( A = if ( A e. X , A , ( 0vec ` U ) ) -> ( ( A P C ) + ( B P C ) ) = ( ( if ( A e. X , A , ( 0vec ` U ) ) P C ) + ( B P C ) ) )
10 7 9 eqeq12d 
 |-  ( A = if ( A e. X , A , ( 0vec ` U ) ) -> ( ( ( A G B ) P C ) = ( ( A P C ) + ( B P C ) ) <-> ( ( if ( A e. X , A , ( 0vec ` U ) ) G B ) P C ) = ( ( if ( A e. X , A , ( 0vec ` U ) ) P C ) + ( B P C ) ) ) )
11 oveq2 
 |-  ( B = if ( B e. X , B , ( 0vec ` U ) ) -> ( if ( A e. X , A , ( 0vec ` U ) ) G B ) = ( if ( A e. X , A , ( 0vec ` U ) ) G if ( B e. X , B , ( 0vec ` U ) ) ) )
12 11 oveq1d 
 |-  ( B = if ( B e. X , B , ( 0vec ` U ) ) -> ( ( if ( A e. X , A , ( 0vec ` U ) ) G B ) P C ) = ( ( if ( A e. X , A , ( 0vec ` U ) ) G if ( B e. X , B , ( 0vec ` U ) ) ) P C ) )
13 oveq1 
 |-  ( B = if ( B e. X , B , ( 0vec ` U ) ) -> ( B P C ) = ( if ( B e. X , B , ( 0vec ` U ) ) P C ) )
14 13 oveq2d 
 |-  ( B = if ( B e. X , B , ( 0vec ` U ) ) -> ( ( if ( A e. X , A , ( 0vec ` U ) ) P C ) + ( B P C ) ) = ( ( if ( A e. X , A , ( 0vec ` U ) ) P C ) + ( if ( B e. X , B , ( 0vec ` U ) ) P C ) ) )
15 12 14 eqeq12d 
 |-  ( B = if ( B e. X , B , ( 0vec ` U ) ) -> ( ( ( if ( A e. X , A , ( 0vec ` U ) ) G B ) P C ) = ( ( if ( A e. X , A , ( 0vec ` U ) ) P C ) + ( B P C ) ) <-> ( ( if ( A e. X , A , ( 0vec ` U ) ) G if ( B e. X , B , ( 0vec ` U ) ) ) P C ) = ( ( if ( A e. X , A , ( 0vec ` U ) ) P C ) + ( if ( B e. X , B , ( 0vec ` U ) ) P C ) ) ) )
16 oveq2 
 |-  ( C = if ( C e. X , C , ( 0vec ` U ) ) -> ( ( if ( A e. X , A , ( 0vec ` U ) ) G if ( B e. X , B , ( 0vec ` U ) ) ) P C ) = ( ( if ( A e. X , A , ( 0vec ` U ) ) G if ( B e. X , B , ( 0vec ` U ) ) ) P if ( C e. X , C , ( 0vec ` U ) ) ) )
17 oveq2 
 |-  ( C = if ( C e. X , C , ( 0vec ` U ) ) -> ( if ( A e. X , A , ( 0vec ` U ) ) P C ) = ( if ( A e. X , A , ( 0vec ` U ) ) P if ( C e. X , C , ( 0vec ` U ) ) ) )
18 oveq2 
 |-  ( C = if ( C e. X , C , ( 0vec ` U ) ) -> ( if ( B e. X , B , ( 0vec ` U ) ) P C ) = ( if ( B e. X , B , ( 0vec ` U ) ) P if ( C e. X , C , ( 0vec ` U ) ) ) )
19 17 18 oveq12d 
 |-  ( C = if ( C e. X , C , ( 0vec ` U ) ) -> ( ( if ( A e. X , A , ( 0vec ` U ) ) P C ) + ( if ( B e. X , B , ( 0vec ` U ) ) P C ) ) = ( ( if ( A e. X , A , ( 0vec ` U ) ) P if ( C e. X , C , ( 0vec ` U ) ) ) + ( if ( B e. X , B , ( 0vec ` U ) ) P if ( C e. X , C , ( 0vec ` U ) ) ) ) )
20 16 19 eqeq12d 
 |-  ( C = if ( C e. X , C , ( 0vec ` U ) ) -> ( ( ( if ( A e. X , A , ( 0vec ` U ) ) G if ( B e. X , B , ( 0vec ` U ) ) ) P C ) = ( ( if ( A e. X , A , ( 0vec ` U ) ) P C ) + ( if ( B e. X , B , ( 0vec ` U ) ) P C ) ) <-> ( ( if ( A e. X , A , ( 0vec ` U ) ) G if ( B e. X , B , ( 0vec ` U ) ) ) P if ( C e. X , C , ( 0vec ` U ) ) ) = ( ( if ( A e. X , A , ( 0vec ` U ) ) P if ( C e. X , C , ( 0vec ` U ) ) ) + ( if ( B e. X , B , ( 0vec ` U ) ) P if ( C e. X , C , ( 0vec ` U ) ) ) ) ) )
21 eqid 
 |-  ( 0vec ` U ) = ( 0vec ` U )
22 1 21 5 elimph 
 |-  if ( A e. X , A , ( 0vec ` U ) ) e. X
23 1 21 5 elimph 
 |-  if ( B e. X , B , ( 0vec ` U ) ) e. X
24 1 21 5 elimph 
 |-  if ( C e. X , C , ( 0vec ` U ) ) e. X
25 1 2 3 4 5 22 23 24 ipdirilem 
 |-  ( ( if ( A e. X , A , ( 0vec ` U ) ) G if ( B e. X , B , ( 0vec ` U ) ) ) P if ( C e. X , C , ( 0vec ` U ) ) ) = ( ( if ( A e. X , A , ( 0vec ` U ) ) P if ( C e. X , C , ( 0vec ` U ) ) ) + ( if ( B e. X , B , ( 0vec ` U ) ) P if ( C e. X , C , ( 0vec ` U ) ) ) )
26 10 15 20 25 dedth3h 
 |-  ( ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) -> ( ( A G B ) P C ) = ( ( A P C ) + ( B P C ) ) )