Theorem iscfil

Description: The property of being a Cauchy filter. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015)

	Ref	Expression
Assertion	iscfil	|- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( F e. ( CauFil ` D ) <-> ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. F ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cfilfval	|- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( CauFil ` D ) = { f e. ( Fil ` X ) | A. x e. RR+ E. y e. f ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) } )
2	1	eleq2d	|- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( F e. ( CauFil ` D ) <-> F e. { f e. ( Fil ` X ) | A. x e. RR+ E. y e. f ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) } ) )
3		rexeq	|- ( f = F -> ( E. y e. f ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) <-> E. y e. F ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) )
4	3	ralbidv	|- ( f = F -> ( A. x e. RR+ E. y e. f ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) <-> A. x e. RR+ E. y e. F ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) )
5	4	elrab	|- ( F e. { f e. ( Fil ` X ) | A. x e. RR+ E. y e. f ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) } <-> ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. F ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) )
6	2 5	bitrdi	|- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( F e. ( CauFil ` D ) <-> ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. F ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) ) )