Theorem iscn2

Description: The predicate "the class F is a continuous function from topology J to topology K ". Definition of continuous function in Munkres p. 102. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015)

	Ref	Expression
Hypotheses	iscn.1	|- X = U. J
	iscn.2	|- Y = U. K
Assertion	iscn2	|- ( F e. ( J Cn K ) <-> ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscn.1	|- X = U. J
2		iscn.2	|- Y = U. K
3		df-cn	|- Cn = ( j e. Top , k e. Top |-> { f e. ( U. k ^m U. j ) | A. y e. k ( `' f " y ) e. j } )
4	3	elmpocl	|- ( F e. ( J Cn K ) -> ( J e. Top /\ K e. Top ) )
5	1	toptopon	|- ( J e. Top <-> J e. ( TopOn ` X ) )
6	2	toptopon	|- ( K e. Top <-> K e. ( TopOn ` Y ) )
7		iscn	|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) ) )
8	5 6 7	syl2anb	|- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) ) )
9	4 8	biadanii	|- ( F e. ( J Cn K ) <-> ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) ) )