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Theorem isgrpda

Description: Properties that determine a group operation. (Contributed by Jeff Madsen, 1-Dec-2009) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses isgrpda.1 
|- ( ph -> X e. _V )
isgrpda.2 
|- ( ph -> G : ( X X. X ) --> X )
isgrpda.3 
|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) )
isgrpda.4 
|- ( ph -> U e. X )
isgrpda.5 
|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( U G x ) = x )
isgrpda.6 
|- ( ( ph /\ x e. X ) -> E. n e. X ( n G x ) = U )
Assertion isgrpda 
|- ( ph -> G e. GrpOp )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 isgrpda.1 
 |-  ( ph -> X e. _V )
2 isgrpda.2 
 |-  ( ph -> G : ( X X. X ) --> X )
3 isgrpda.3 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) )
4 isgrpda.4 
 |-  ( ph -> U e. X )
5 isgrpda.5 
 |-  ( ( ph /\ x e. X ) -> ( U G x ) = x )
6 isgrpda.6 
 |-  ( ( ph /\ x e. X ) -> E. n e. X ( n G x ) = U )
7 3 ralrimivvva 
 |-  ( ph -> A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) )
8 oveq1 
 |-  ( y = n -> ( y G x ) = ( n G x ) )
9 8 eqeq1d 
 |-  ( y = n -> ( ( y G x ) = U <-> ( n G x ) = U ) )
10 9 cbvrexvw 
 |-  ( E. y e. X ( y G x ) = U <-> E. n e. X ( n G x ) = U )
11 6 10 sylibr 
 |-  ( ( ph /\ x e. X ) -> E. y e. X ( y G x ) = U )
12 5 11 jca 
 |-  ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( U G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = U ) )
13 12 ralrimiva 
 |-  ( ph -> A. x e. X ( ( U G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = U ) )
14 oveq1 
 |-  ( u = U -> ( u G x ) = ( U G x ) )
15 14 eqeq1d 
 |-  ( u = U -> ( ( u G x ) = x <-> ( U G x ) = x ) )
16 eqeq2 
 |-  ( u = U -> ( ( y G x ) = u <-> ( y G x ) = U ) )
17 16 rexbidv 
 |-  ( u = U -> ( E. y e. X ( y G x ) = u <-> E. y e. X ( y G x ) = U ) )
18 15 17 anbi12d 
 |-  ( u = U -> ( ( ( u G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = u ) <-> ( ( U G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = U ) ) )
19 18 ralbidv 
 |-  ( u = U -> ( A. x e. X ( ( u G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = u ) <-> A. x e. X ( ( U G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = U ) ) )
20 19 rspcev 
 |-  ( ( U e. X /\ A. x e. X ( ( U G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = U ) ) -> E. u e. X A. x e. X ( ( u G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = u ) )
21 4 13 20 syl2anc 
 |-  ( ph -> E. u e. X A. x e. X ( ( u G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = u ) )
22 4 adantr 
 |-  ( ( ph /\ x e. X ) -> U e. X )
23 simpr 
 |-  ( ( ph /\ x e. X ) -> x e. X )
24 5 eqcomd 
 |-  ( ( ph /\ x e. X ) -> x = ( U G x ) )
25 rspceov 
 |-  ( ( U e. X /\ x e. X /\ x = ( U G x ) ) -> E. y e. X E. z e. X x = ( y G z ) )
26 22 23 24 25 syl3anc 
 |-  ( ( ph /\ x e. X ) -> E. y e. X E. z e. X x = ( y G z ) )
27 26 ralrimiva 
 |-  ( ph -> A. x e. X E. y e. X E. z e. X x = ( y G z ) )
28 foov 
 |-  ( G : ( X X. X ) -onto-> X <-> ( G : ( X X. X ) --> X /\ A. x e. X E. y e. X E. z e. X x = ( y G z ) ) )
29 2 27 28 sylanbrc 
 |-  ( ph -> G : ( X X. X ) -onto-> X )
30 forn 
 |-  ( G : ( X X. X ) -onto-> X -> ran G = X )
31 29 30 syl 
 |-  ( ph -> ran G = X )
32 31 sqxpeqd 
 |-  ( ph -> ( ran G X. ran G ) = ( X X. X ) )
33 32 31 feq23d 
 |-  ( ph -> ( G : ( ran G X. ran G ) --> ran G <-> G : ( X X. X ) --> X ) )
34 31 raleqdv 
 |-  ( ph -> ( A. z e. ran G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) <-> A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) ) )
35 31 34 raleqbidv 
 |-  ( ph -> ( A. y e. ran G A. z e. ran G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) <-> A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) ) )
36 31 35 raleqbidv 
 |-  ( ph -> ( A. x e. ran G A. y e. ran G A. z e. ran G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) <-> A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) ) )
37 31 rexeqdv 
 |-  ( ph -> ( E. y e. ran G ( y G x ) = u <-> E. y e. X ( y G x ) = u ) )
38 37 anbi2d 
 |-  ( ph -> ( ( ( u G x ) = x /\ E. y e. ran G ( y G x ) = u ) <-> ( ( u G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = u ) ) )
39 31 38 raleqbidv 
 |-  ( ph -> ( A. x e. ran G ( ( u G x ) = x /\ E. y e. ran G ( y G x ) = u ) <-> A. x e. X ( ( u G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = u ) ) )
40 31 39 rexeqbidv 
 |-  ( ph -> ( E. u e. ran G A. x e. ran G ( ( u G x ) = x /\ E. y e. ran G ( y G x ) = u ) <-> E. u e. X A. x e. X ( ( u G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = u ) ) )
41 33 36 40 3anbi123d 
 |-  ( ph -> ( ( G : ( ran G X. ran G ) --> ran G /\ A. x e. ran G A. y e. ran G A. z e. ran G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. u e. ran G A. x e. ran G ( ( u G x ) = x /\ E. y e. ran G ( y G x ) = u ) ) <-> ( G : ( X X. X ) --> X /\ A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. u e. X A. x e. X ( ( u G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = u ) ) ) )
42 2 7 21 41 mpbir3and 
 |-  ( ph -> ( G : ( ran G X. ran G ) --> ran G /\ A. x e. ran G A. y e. ran G A. z e. ran G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. u e. ran G A. x e. ran G ( ( u G x ) = x /\ E. y e. ran G ( y G x ) = u ) ) )
43 1 1 xpexd 
 |-  ( ph -> ( X X. X ) e. _V )
44 fex 
 |-  ( ( G : ( X X. X ) --> X /\ ( X X. X ) e. _V ) -> G e. _V )
45 2 43 44 syl2anc 
 |-  ( ph -> G e. _V )
46 eqid 
 |-  ran G = ran G
47 46 isgrpo 
 |-  ( G e. _V -> ( G e. GrpOp <-> ( G : ( ran G X. ran G ) --> ran G /\ A. x e. ran G A. y e. ran G A. z e. ran G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. u e. ran G A. x e. ran G ( ( u G x ) = x /\ E. y e. ran G ( y G x ) = u ) ) ) )
48 45 47 syl 
 |-  ( ph -> ( G e. GrpOp <-> ( G : ( ran G X. ran G ) --> ran G /\ A. x e. ran G A. y e. ran G A. z e. ran G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. u e. ran G A. x e. ran G ( ( u G x ) = x /\ E. y e. ran G ( y G x ) = u ) ) ) )
49 42 48 mpbird 
 |-  ( ph -> G e. GrpOp )