Metamath Proof Explorer

Theorem isirred2

Description: Expand out the class difference from isirred . (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014)

Ref Expression
Hypotheses isirred2.1 
|- B = ( Base ` R )
isirred2.2 
|- U = ( Unit ` R )
isirred2.3 
|- I = ( Irred ` R )
isirred2.4 
|- .x. = ( .r ` R )
Assertion isirred2 
|- ( X e. I <-> ( X e. B /\ -. X e. U /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .x. y ) = X -> ( x e. U \/ y e. U ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 isirred2.1 
 |-  B = ( Base ` R )
2 isirred2.2 
 |-  U = ( Unit ` R )
3 isirred2.3 
 |-  I = ( Irred ` R )
4 isirred2.4 
 |-  .x. = ( .r ` R )
5 eldif 
 |-  ( X e. ( B \ U ) <-> ( X e. B /\ -. X e. U ) )
6 eldif 
 |-  ( x e. ( B \ U ) <-> ( x e. B /\ -. x e. U ) )
7 eldif 
 |-  ( y e. ( B \ U ) <-> ( y e. B /\ -. y e. U ) )
8 6 7 anbi12i 
 |-  ( ( x e. ( B \ U ) /\ y e. ( B \ U ) ) <-> ( ( x e. B /\ -. x e. U ) /\ ( y e. B /\ -. y e. U ) ) )
9 an4 
 |-  ( ( ( x e. B /\ -. x e. U ) /\ ( y e. B /\ -. y e. U ) ) <-> ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( -. x e. U /\ -. y e. U ) ) )
10 8 9 bitri 
 |-  ( ( x e. ( B \ U ) /\ y e. ( B \ U ) ) <-> ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( -. x e. U /\ -. y e. U ) ) )
11 10 imbi1i 
 |-  ( ( ( x e. ( B \ U ) /\ y e. ( B \ U ) ) -> ( x .x. y ) =/= X ) <-> ( ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( -. x e. U /\ -. y e. U ) ) -> ( x .x. y ) =/= X ) )
12 impexp 
 |-  ( ( ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( -. x e. U /\ -. y e. U ) ) -> ( x .x. y ) =/= X ) <-> ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( ( -. x e. U /\ -. y e. U ) -> ( x .x. y ) =/= X ) ) )
13 pm4.56 
 |-  ( ( -. x e. U /\ -. y e. U ) <-> -. ( x e. U \/ y e. U ) )
14 df-ne 
 |-  ( ( x .x. y ) =/= X <-> -. ( x .x. y ) = X )
15 13 14 imbi12i 
 |-  ( ( ( -. x e. U /\ -. y e. U ) -> ( x .x. y ) =/= X ) <-> ( -. ( x e. U \/ y e. U ) -> -. ( x .x. y ) = X ) )
16 con34b 
 |-  ( ( ( x .x. y ) = X -> ( x e. U \/ y e. U ) ) <-> ( -. ( x e. U \/ y e. U ) -> -. ( x .x. y ) = X ) )
17 15 16 bitr4i 
 |-  ( ( ( -. x e. U /\ -. y e. U ) -> ( x .x. y ) =/= X ) <-> ( ( x .x. y ) = X -> ( x e. U \/ y e. U ) ) )
18 17 imbi2i 
 |-  ( ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( ( -. x e. U /\ -. y e. U ) -> ( x .x. y ) =/= X ) ) <-> ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( ( x .x. y ) = X -> ( x e. U \/ y e. U ) ) ) )
19 12 18 bitri 
 |-  ( ( ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( -. x e. U /\ -. y e. U ) ) -> ( x .x. y ) =/= X ) <-> ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( ( x .x. y ) = X -> ( x e. U \/ y e. U ) ) ) )
20 11 19 bitri 
 |-  ( ( ( x e. ( B \ U ) /\ y e. ( B \ U ) ) -> ( x .x. y ) =/= X ) <-> ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( ( x .x. y ) = X -> ( x e. U \/ y e. U ) ) ) )
21 20 2albii 
 |-  ( A. x A. y ( ( x e. ( B \ U ) /\ y e. ( B \ U ) ) -> ( x .x. y ) =/= X ) <-> A. x A. y ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( ( x .x. y ) = X -> ( x e. U \/ y e. U ) ) ) )
22 r2al 
 |-  ( A. x e. ( B \ U ) A. y e. ( B \ U ) ( x .x. y ) =/= X <-> A. x A. y ( ( x e. ( B \ U ) /\ y e. ( B \ U ) ) -> ( x .x. y ) =/= X ) )
23 r2al 
 |-  ( A. x e. B A. y e. B ( ( x .x. y ) = X -> ( x e. U \/ y e. U ) ) <-> A. x A. y ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( ( x .x. y ) = X -> ( x e. U \/ y e. U ) ) ) )
24 21 22 23 3bitr4i 
 |-  ( A. x e. ( B \ U ) A. y e. ( B \ U ) ( x .x. y ) =/= X <-> A. x e. B A. y e. B ( ( x .x. y ) = X -> ( x e. U \/ y e. U ) ) )
25 5 24 anbi12i 
 |-  ( ( X e. ( B \ U ) /\ A. x e. ( B \ U ) A. y e. ( B \ U ) ( x .x. y ) =/= X ) <-> ( ( X e. B /\ -. X e. U ) /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .x. y ) = X -> ( x e. U \/ y e. U ) ) ) )
26 eqid 
 |-  ( B \ U ) = ( B \ U )
27 1 2 3 26 4 isirred 
 |-  ( X e. I <-> ( X e. ( B \ U ) /\ A. x e. ( B \ U ) A. y e. ( B \ U ) ( x .x. y ) =/= X ) )
28 df-3an 
 |-  ( ( X e. B /\ -. X e. U /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .x. y ) = X -> ( x e. U \/ y e. U ) ) ) <-> ( ( X e. B /\ -. X e. U ) /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .x. y ) = X -> ( x e. U \/ y e. U ) ) ) )
29 25 27 28 3bitr4i 
 |-  ( X e. I <-> ( X e. B /\ -. X e. U /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .x. y ) = X -> ( x e. U \/ y e. U ) ) ) )