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Theorem islmod

Description: The predicate "is a left module". (Contributed by NM, 4-Nov-2013) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014)

Ref Expression
Hypotheses islmod.v
|- V = ( Base ` W )
islmod.a
|- .+ = ( +g ` W )
islmod.s
|- .x. = ( .s ` W )
islmod.f
|- F = ( Scalar ` W )
islmod.k
|- K = ( Base ` F )
islmod.p
|- .+^ = ( +g ` F )
islmod.t
|- .X. = ( .r ` F )
islmod.u
|- .1. = ( 1r ` F )
Assertion islmod
|- ( W e. LMod <-> ( W e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 islmod.v
 |-  V = ( Base ` W )
2 islmod.a
 |-  .+ = ( +g ` W )
3 islmod.s
 |-  .x. = ( .s ` W )
4 islmod.f
 |-  F = ( Scalar ` W )
5 islmod.k
 |-  K = ( Base ` F )
6 islmod.p
 |-  .+^ = ( +g ` F )
7 islmod.t
 |-  .X. = ( .r ` F )
8 islmod.u
 |-  .1. = ( 1r ` F )
9 fveq2
 |-  ( g = W -> ( Base ` g ) = ( Base ` W ) )
10 9 1 eqtr4di
 |-  ( g = W -> ( Base ` g ) = V )
11 fveq2
 |-  ( g = W -> ( +g ` g ) = ( +g ` W ) )
12 11 2 eqtr4di
 |-  ( g = W -> ( +g ` g ) = .+ )
13 fveq2
 |-  ( g = W -> ( Scalar ` g ) = ( Scalar ` W ) )
14 13 4 eqtr4di
 |-  ( g = W -> ( Scalar ` g ) = F )
15 fveq2
 |-  ( g = W -> ( .s ` g ) = ( .s ` W ) )
16 15 3 eqtr4di
 |-  ( g = W -> ( .s ` g ) = .x. )
17 16 sbceq1d
 |-  ( g = W -> ( [. ( .s ` g ) / s ]. [. ( Base ` f ) / k ]. [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> [. .x. / s ]. [. ( Base ` f ) / k ]. [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) ) )
18 14 17 sbceqbid
 |-  ( g = W -> ( [. ( Scalar ` g ) / f ]. [. ( .s ` g ) / s ]. [. ( Base ` f ) / k ]. [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> [. F / f ]. [. .x. / s ]. [. ( Base ` f ) / k ]. [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) ) )
19 12 18 sbceqbid
 |-  ( g = W -> ( [. ( +g ` g ) / a ]. [. ( Scalar ` g ) / f ]. [. ( .s ` g ) / s ]. [. ( Base ` f ) / k ]. [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> [. .+ / a ]. [. F / f ]. [. .x. / s ]. [. ( Base ` f ) / k ]. [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) ) )
20 10 19 sbceqbid
 |-  ( g = W -> ( [. ( Base ` g ) / v ]. [. ( +g ` g ) / a ]. [. ( Scalar ` g ) / f ]. [. ( .s ` g ) / s ]. [. ( Base ` f ) / k ]. [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> [. V / v ]. [. .+ / a ]. [. F / f ]. [. .x. / s ]. [. ( Base ` f ) / k ]. [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) ) )
21 1 fvexi
 |-  V e. _V
22 2 fvexi
 |-  .+ e. _V
23 4 fvexi
 |-  F e. _V
24 simp3
 |-  ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> f = F )
25 24 fveq2d
 |-  ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( Base ` f ) = ( Base ` F ) )
26 25 5 eqtr4di
 |-  ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( Base ` f ) = K )
27 24 fveq2d
 |-  ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( +g ` f ) = ( +g ` F ) )
28 27 6 eqtr4di
 |-  ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( +g ` f ) = .+^ )
29 24 fveq2d
 |-  ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( .r ` f ) = ( .r ` F ) )
30 29 7 eqtr4di
 |-  ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( .r ` f ) = .X. )
31 30 sbceq1d
 |-  ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> [. .X. / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) ) )
32 7 fvexi
 |-  .X. e. _V
33 oveq
 |-  ( t = .X. -> ( q t r ) = ( q .X. r ) )
34 33 oveq1d
 |-  ( t = .X. -> ( ( q t r ) s w ) = ( ( q .X. r ) s w ) )
35 34 eqeq1d
 |-  ( t = .X. -> ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) <-> ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) ) )
36 35 anbi1d
 |-  ( t = .X. -> ( ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) <-> ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) )
37 36 anbi2d
 |-  ( t = .X. -> ( ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) <-> ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) )
38 37 2ralbidv
 |-  ( t = .X. -> ( A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) <-> A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) )
39 38 2ralbidv
 |-  ( t = .X. -> ( A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) <-> A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) )
40 39 anbi2d
 |-  ( t = .X. -> ( ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) ) )
41 32 40 sbcie
 |-  ( [. .X. / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) )
42 24 eleq1d
 |-  ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( f e. Ring <-> F e. Ring ) )
43 simp1
 |-  ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> v = V )
44 43 eleq2d
 |-  ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( ( r s w ) e. v <-> ( r s w ) e. V ) )
45 simp2
 |-  ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> a = .+ )
46 45 oveqd
 |-  ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( w a x ) = ( w .+ x ) )
47 46 oveq2d
 |-  ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( r s ( w a x ) ) = ( r s ( w .+ x ) ) )
48 45 oveqd
 |-  ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( ( r s w ) a ( r s x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) )
49 47 48 eqeq12d
 |-  ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) <-> ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) ) )
50 45 oveqd
 |-  ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( ( q s w ) a ( r s w ) ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) )
51 50 eqeq2d
 |-  ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) <-> ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) )
52 44 49 51 3anbi123d
 |-  ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) <-> ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) ) )
53 24 fveq2d
 |-  ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( 1r ` f ) = ( 1r ` F ) )
54 53 8 eqtr4di
 |-  ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( 1r ` f ) = .1. )
55 54 oveq1d
 |-  ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( ( 1r ` f ) s w ) = ( .1. s w ) )
56 55 eqeq1d
 |-  ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( ( ( 1r ` f ) s w ) = w <-> ( .1. s w ) = w ) )
57 56 anbi2d
 |-  ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) <-> ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) )
58 52 57 anbi12d
 |-  ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) <-> ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) ) )
59 43 58 raleqbidv
 |-  ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) <-> A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) ) )
60 43 59 raleqbidv
 |-  ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) <-> A. x e. V A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) ) )
61 60 2ralbidv
 |-  ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) <-> A. q e. k A. r e. k A. x e. V A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) ) )
62 42 61 anbi12d
 |-  ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> ( F e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. V A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) ) ) )
63 41 62 syl5bb
 |-  ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( [. .X. / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> ( F e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. V A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) ) ) )
64 31 63 bitrd
 |-  ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> ( F e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. V A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) ) ) )
65 28 64 sbceqbid
 |-  ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> [. .+^ / p ]. ( F e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. V A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) ) ) )
66 26 65 sbceqbid
 |-  ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( [. ( Base ` f ) / k ]. [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> [. K / k ]. [. .+^ / p ]. ( F e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. V A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) ) ) )
67 66 sbcbidv
 |-  ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( [. .x. / s ]. [. ( Base ` f ) / k ]. [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> [. .x. / s ]. [. K / k ]. [. .+^ / p ]. ( F e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. V A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) ) ) )
68 21 22 23 67 sbc3ie
 |-  ( [. V / v ]. [. .+ / a ]. [. F / f ]. [. .x. / s ]. [. ( Base ` f ) / k ]. [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> [. .x. / s ]. [. K / k ]. [. .+^ / p ]. ( F e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. V A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) ) )
69 3 fvexi
 |-  .x. e. _V
70 5 fvexi
 |-  K e. _V
71 6 fvexi
 |-  .+^ e. _V
72 simp2
 |-  ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> k = K )
73 simp1
 |-  ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> s = .x. )
74 73 oveqd
 |-  ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( r s w ) = ( r .x. w ) )
75 74 eleq1d
 |-  ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( ( r s w ) e. V <-> ( r .x. w ) e. V ) )
76 73 oveqd
 |-  ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( r s ( w .+ x ) ) = ( r .x. ( w .+ x ) ) )
77 73 oveqd
 |-  ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( r s x ) = ( r .x. x ) )
78 74 77 oveq12d
 |-  ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) )
79 76 78 eqeq12d
 |-  ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) <-> ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) ) )
80 simp3
 |-  ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> p = .+^ )
81 80 oveqd
 |-  ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( q p r ) = ( q .+^ r ) )
82 81 oveq1d
 |-  ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( ( q p r ) s w ) = ( ( q .+^ r ) s w ) )
83 73 oveqd
 |-  ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( ( q .+^ r ) s w ) = ( ( q .+^ r ) .x. w ) )
84 82 83 eqtrd
 |-  ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( ( q p r ) s w ) = ( ( q .+^ r ) .x. w ) )
85 73 oveqd
 |-  ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( q s w ) = ( q .x. w ) )
86 85 74 oveq12d
 |-  ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) )
87 84 86 eqeq12d
 |-  ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) <-> ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) )
88 75 79 87 3anbi123d
 |-  ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) <-> ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) ) )
89 73 oveqd
 |-  ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( ( q .X. r ) s w ) = ( ( q .X. r ) .x. w ) )
90 74 oveq2d
 |-  ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( q s ( r s w ) ) = ( q s ( r .x. w ) ) )
91 73 oveqd
 |-  ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( q s ( r .x. w ) ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) )
92 90 91 eqtrd
 |-  ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( q s ( r s w ) ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) )
93 89 92 eqeq12d
 |-  ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) <-> ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) ) )
94 73 oveqd
 |-  ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( .1. s w ) = ( .1. .x. w ) )
95 94 eqeq1d
 |-  ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( ( .1. s w ) = w <-> ( .1. .x. w ) = w ) )
96 93 95 anbi12d
 |-  ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) <-> ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) )
97 88 96 anbi12d
 |-  ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) <-> ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) )
98 97 2ralbidv
 |-  ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( A. x e. V A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) <-> A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) )
99 72 98 raleqbidv
 |-  ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( A. r e. k A. x e. V A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) <-> A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) )
100 72 99 raleqbidv
 |-  ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( A. q e. k A. r e. k A. x e. V A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) <-> A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) )
101 100 anbi2d
 |-  ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( ( F e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. V A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) ) <-> ( F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) ) )
102 69 70 71 101 sbc3ie
 |-  ( [. .x. / s ]. [. K / k ]. [. .+^ / p ]. ( F e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. V A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) ) <-> ( F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) )
103 68 102 bitri
 |-  ( [. V / v ]. [. .+ / a ]. [. F / f ]. [. .x. / s ]. [. ( Base ` f ) / k ]. [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> ( F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) )
104 20 103 bitrdi
 |-  ( g = W -> ( [. ( Base ` g ) / v ]. [. ( +g ` g ) / a ]. [. ( Scalar ` g ) / f ]. [. ( .s ` g ) / s ]. [. ( Base ` f ) / k ]. [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> ( F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) ) )
105 df-lmod
 |-  LMod = { g e. Grp | [. ( Base ` g ) / v ]. [. ( +g ` g ) / a ]. [. ( Scalar ` g ) / f ]. [. ( .s ` g ) / s ]. [. ( Base ` f ) / k ]. [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) }
106 104 105 elrab2
 |-  ( W e. LMod <-> ( W e. Grp /\ ( F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) ) )
107 3anass
 |-  ( ( W e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) <-> ( W e. Grp /\ ( F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) ) )
108 106 107 bitr4i
 |-  ( W e. LMod <-> ( W e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) )