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Theorem islpln3

Description: The predicate "is a lattice plane". (Contributed by NM, 17-Jun-2012)

Ref Expression
Hypotheses islpln3.b 
|- B = ( Base ` K )
islpln3.l 
|- .<_ = ( le ` K )
islpln3.j 
|- .\/ = ( join ` K )
islpln3.a 
|- A = ( Atoms ` K )
islpln3.n 
|- N = ( LLines ` K )
islpln3.p 
|- P = ( LPlanes ` K )
Assertion islpln3 
|- ( ( K e. HL /\ X e. B ) -> ( X e. P <-> E. y e. N E. p e. A ( -. p .<_ y /\ X = ( y .\/ p ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 islpln3.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 islpln3.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 islpln3.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 islpln3.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
5 islpln3.n 
 |-  N = ( LLines ` K )
6 islpln3.p 
 |-  P = ( LPlanes ` K )
7 eqid 
 |-  (
8 1 7 5 6 islpln4 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B ) -> ( X e. P <-> E. y e. N y (
9 simpll 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B ) /\ y e. N ) -> K e. HL )
10 1 5 llnbase 
 |-  ( y e. N -> y e. B )
11 10 adantl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B ) /\ y e. N ) -> y e. B )
12 simplr 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B ) /\ y e. N ) -> X e. B )
13 1 2 3 7 4 cvrval3 
 |-  ( ( K e. HL /\ y e. B /\ X e. B ) -> ( y (  E. p e. A ( -. p .<_ y /\ ( y .\/ p ) = X ) ) )
14 9 11 12 13 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B ) /\ y e. N ) -> ( y (  E. p e. A ( -. p .<_ y /\ ( y .\/ p ) = X ) ) )
15 eqcom 
 |-  ( ( y .\/ p ) = X <-> X = ( y .\/ p ) )
16 15 a1i 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B ) /\ y e. N ) /\ p e. A ) -> ( ( y .\/ p ) = X <-> X = ( y .\/ p ) ) )
17 16 anbi2d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B ) /\ y e. N ) /\ p e. A ) -> ( ( -. p .<_ y /\ ( y .\/ p ) = X ) <-> ( -. p .<_ y /\ X = ( y .\/ p ) ) ) )
18 17 rexbidva 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B ) /\ y e. N ) -> ( E. p e. A ( -. p .<_ y /\ ( y .\/ p ) = X ) <-> E. p e. A ( -. p .<_ y /\ X = ( y .\/ p ) ) ) )
19 14 18 bitrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B ) /\ y e. N ) -> ( y (  E. p e. A ( -. p .<_ y /\ X = ( y .\/ p ) ) ) )
20 19 rexbidva 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B ) -> ( E. y e. N y (  E. y e. N E. p e. A ( -. p .<_ y /\ X = ( y .\/ p ) ) ) )
21 8 20 bitrd 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B ) -> ( X e. P <-> E. y e. N E. p e. A ( -. p .<_ y /\ X = ( y .\/ p ) ) ) )