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Theorem islvol3

Description: The predicate "is a 3-dim lattice volume". (Contributed by NM, 1-Jul-2012)

Ref Expression
Hypotheses islvol3.b 
|- B = ( Base ` K )
islvol3.l 
|- .<_ = ( le ` K )
islvol3.j 
|- .\/ = ( join ` K )
islvol3.a 
|- A = ( Atoms ` K )
islvol3.p 
|- P = ( LPlanes ` K )
islvol3.v 
|- V = ( LVols ` K )
Assertion islvol3 
|- ( ( K e. HL /\ X e. B ) -> ( X e. V <-> E. y e. P E. p e. A ( -. p .<_ y /\ X = ( y .\/ p ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 islvol3.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 islvol3.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 islvol3.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 islvol3.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
5 islvol3.p 
 |-  P = ( LPlanes ` K )
6 islvol3.v 
 |-  V = ( LVols ` K )
7 eqid 
 |-  (
8 1 7 5 6 islvol4 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B ) -> ( X e. V <-> E. y e. P y (
9 simpll 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B ) /\ y e. P ) -> K e. HL )
10 1 5 lplnbase 
 |-  ( y e. P -> y e. B )
11 10 adantl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B ) /\ y e. P ) -> y e. B )
12 simplr 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B ) /\ y e. P ) -> X e. B )
13 1 2 3 7 4 cvrval3 
 |-  ( ( K e. HL /\ y e. B /\ X e. B ) -> ( y (  E. p e. A ( -. p .<_ y /\ ( y .\/ p ) = X ) ) )
14 9 11 12 13 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B ) /\ y e. P ) -> ( y (  E. p e. A ( -. p .<_ y /\ ( y .\/ p ) = X ) ) )
15 eqcom 
 |-  ( ( y .\/ p ) = X <-> X = ( y .\/ p ) )
16 15 a1i 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B ) /\ y e. P ) /\ p e. A ) -> ( ( y .\/ p ) = X <-> X = ( y .\/ p ) ) )
17 16 anbi2d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B ) /\ y e. P ) /\ p e. A ) -> ( ( -. p .<_ y /\ ( y .\/ p ) = X ) <-> ( -. p .<_ y /\ X = ( y .\/ p ) ) ) )
18 17 rexbidva 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B ) /\ y e. P ) -> ( E. p e. A ( -. p .<_ y /\ ( y .\/ p ) = X ) <-> E. p e. A ( -. p .<_ y /\ X = ( y .\/ p ) ) ) )
19 14 18 bitrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B ) /\ y e. P ) -> ( y (  E. p e. A ( -. p .<_ y /\ X = ( y .\/ p ) ) ) )
20 19 rexbidva 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B ) -> ( E. y e. P y (  E. y e. P E. p e. A ( -. p .<_ y /\ X = ( y .\/ p ) ) ) )
21 8 20 bitrd 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B ) -> ( X e. V <-> E. y e. P E. p e. A ( -. p .<_ y /\ X = ( y .\/ p ) ) ) )