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Theorem ismndo1

Description: The predicate "is a monoid". (Contributed by FL, 2-Nov-2009) (Revised by Mario Carneiro, 22-Dec-2013) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypothesis ismndo1.1 
|- X = dom dom G
Assertion ismndo1 
|- ( G e. A -> ( G e. MndOp <-> ( G : ( X X. X ) --> X /\ A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. x e. X A. y e. X ( ( x G y ) = y /\ ( y G x ) = y ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ismndo1.1 
 |-  X = dom dom G
2 1 ismndo 
 |-  ( G e. A -> ( G e. MndOp <-> ( G e. SemiGrp /\ E. x e. X A. y e. X ( ( x G y ) = y /\ ( y G x ) = y ) ) ) )
3 1 smgrpmgm 
 |-  ( G e. SemiGrp -> G : ( X X. X ) --> X )
4 3 ad2antrl 
 |-  ( ( G e. A /\ ( G e. SemiGrp /\ E. x e. X A. y e. X ( ( x G y ) = y /\ ( y G x ) = y ) ) ) -> G : ( X X. X ) --> X )
5 1 smgrpassOLD 
 |-  ( G e. SemiGrp -> A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) )
6 5 ad2antrl 
 |-  ( ( G e. A /\ ( G e. SemiGrp /\ E. x e. X A. y e. X ( ( x G y ) = y /\ ( y G x ) = y ) ) ) -> A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) )
7 simprr 
 |-  ( ( G e. A /\ ( G e. SemiGrp /\ E. x e. X A. y e. X ( ( x G y ) = y /\ ( y G x ) = y ) ) ) -> E. x e. X A. y e. X ( ( x G y ) = y /\ ( y G x ) = y ) )
8 4 6 7 3jca 
 |-  ( ( G e. A /\ ( G e. SemiGrp /\ E. x e. X A. y e. X ( ( x G y ) = y /\ ( y G x ) = y ) ) ) -> ( G : ( X X. X ) --> X /\ A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. x e. X A. y e. X ( ( x G y ) = y /\ ( y G x ) = y ) ) )
9 3simpa 
 |-  ( ( G : ( X X. X ) --> X /\ A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. x e. X A. y e. X ( ( x G y ) = y /\ ( y G x ) = y ) ) -> ( G : ( X X. X ) --> X /\ A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) ) )
10 1 issmgrpOLD 
 |-  ( G e. A -> ( G e. SemiGrp <-> ( G : ( X X. X ) --> X /\ A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) ) ) )
11 9 10 syl5ibr 
 |-  ( G e. A -> ( ( G : ( X X. X ) --> X /\ A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. x e. X A. y e. X ( ( x G y ) = y /\ ( y G x ) = y ) ) -> G e. SemiGrp ) )
12 11 imp 
 |-  ( ( G e. A /\ ( G : ( X X. X ) --> X /\ A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. x e. X A. y e. X ( ( x G y ) = y /\ ( y G x ) = y ) ) ) -> G e. SemiGrp )
13 simpr3 
 |-  ( ( G e. A /\ ( G : ( X X. X ) --> X /\ A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. x e. X A. y e. X ( ( x G y ) = y /\ ( y G x ) = y ) ) ) -> E. x e. X A. y e. X ( ( x G y ) = y /\ ( y G x ) = y ) )
14 12 13 jca 
 |-  ( ( G e. A /\ ( G : ( X X. X ) --> X /\ A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. x e. X A. y e. X ( ( x G y ) = y /\ ( y G x ) = y ) ) ) -> ( G e. SemiGrp /\ E. x e. X A. y e. X ( ( x G y ) = y /\ ( y G x ) = y ) ) )
15 8 14 impbida 
 |-  ( G e. A -> ( ( G e. SemiGrp /\ E. x e. X A. y e. X ( ( x G y ) = y /\ ( y G x ) = y ) ) <-> ( G : ( X X. X ) --> X /\ A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. x e. X A. y e. X ( ( x G y ) = y /\ ( y G x ) = y ) ) ) )
16 2 15 bitrd 
 |-  ( G e. A -> ( G e. MndOp <-> ( G : ( X X. X ) --> X /\ A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. x e. X A. y e. X ( ( x G y ) = y /\ ( y G x ) = y ) ) ) )