Theorem isoeq3

Description: Equality theorem for isomorphisms. (Contributed by NM, 17-May-2004)

	Ref	Expression
Assertion	isoeq3	|- ( S = T -> ( H Isom R , S ( A , B ) <-> H Isom R , T ( A , B ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq	|- ( S = T -> ( ( H ` x ) S ( H ` y ) <-> ( H ` x ) T ( H ` y ) ) )
2	1	bibi2d	|- ( S = T -> ( ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> ( x R y <-> ( H ` x ) T ( H ` y ) ) ) )
3	2	2ralbidv	|- ( S = T -> ( A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) T ( H ` y ) ) ) )
4	3	anbi2d	|- ( S = T -> ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) T ( H ` y ) ) ) ) )
5		df-isom	|- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
6		df-isom	|- ( H Isom R , T ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) T ( H ` y ) ) ) )
7	4 5 6	3bitr4g	|- ( S = T -> ( H Isom R , S ( A , B ) <-> H Isom R , T ( A , B ) ) )