Theorem isoeq4

Description: Equality theorem for isomorphisms. (Contributed by NM, 17-May-2004)

	Ref	Expression
Assertion	isoeq4	|- ( A = C -> ( H Isom R , S ( A , B ) <-> H Isom R , S ( C , B ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oeq2	|- ( A = C -> ( H : A -1-1-onto-> B <-> H : C -1-1-onto-> B ) )
2		raleq	|- ( A = C -> ( A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> A. y e. C ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
3	2	raleqbi1dv	|- ( A = C -> ( A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> A. x e. C A. y e. C ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
4	1 3	anbi12d	|- ( A = C -> ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) <-> ( H : C -1-1-onto-> B /\ A. x e. C A. y e. C ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) )
5		df-isom	|- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
6		df-isom	|- ( H Isom R , S ( C , B ) <-> ( H : C -1-1-onto-> B /\ A. x e. C A. y e. C ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
7	4 5 6	3bitr4g	|- ( A = C -> ( H Isom R , S ( A , B ) <-> H Isom R , S ( C , B ) ) )