Theorem isorel

Description: An isomorphism connects binary relations via its function values. (Contributed by NM, 27-Apr-2004)

	Ref	Expression
Assertion	isorel	|- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( C e. A /\ D e. A ) ) -> ( C R D <-> ( H ` C ) S ( H ` D ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-isom	|- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
2	1	simprbi	|- ( H Isom R , S ( A , B ) -> A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) )
3		breq1	|- ( x = C -> ( x R y <-> C R y ) )
4		fveq2	|- ( x = C -> ( H ` x ) = ( H ` C ) )
5	4	breq1d	|- ( x = C -> ( ( H ` x ) S ( H ` y ) <-> ( H ` C ) S ( H ` y ) ) )
6	3 5	bibi12d	|- ( x = C -> ( ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> ( C R y <-> ( H ` C ) S ( H ` y ) ) ) )
7		breq2	|- ( y = D -> ( C R y <-> C R D ) )
8		fveq2	|- ( y = D -> ( H ` y ) = ( H ` D ) )
9	8	breq2d	|- ( y = D -> ( ( H ` C ) S ( H ` y ) <-> ( H ` C ) S ( H ` D ) ) )
10	7 9	bibi12d	|- ( y = D -> ( ( C R y <-> ( H ` C ) S ( H ` y ) ) <-> ( C R D <-> ( H ` C ) S ( H ` D ) ) ) )
11	6 10	rspc2v	|- ( ( C e. A /\ D e. A ) -> ( A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) -> ( C R D <-> ( H ` C ) S ( H ` D ) ) ) )
12	2 11	mpan9	|- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( C e. A /\ D e. A ) ) -> ( C R D <-> ( H ` C ) S ( H ` D ) ) )