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Theorem issubmnd

Description: Characterize a submonoid by closure properties. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015)

Ref Expression
Hypotheses issubmnd.b 
|- B = ( Base ` G )
issubmnd.p 
|- .+ = ( +g ` G )
issubmnd.z 
|- .0. = ( 0g ` G )
issubmnd.h 
|- H = ( G |`s S )
Assertion issubmnd 
|- ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) -> ( H e. Mnd <-> A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 issubmnd.b 
 |-  B = ( Base ` G )
2 issubmnd.p 
 |-  .+ = ( +g ` G )
3 issubmnd.z 
 |-  .0. = ( 0g ` G )
4 issubmnd.h 
 |-  H = ( G |`s S )
5 simplr 
 |-  ( ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ H e. Mnd ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> H e. Mnd )
6 simprl 
 |-  ( ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ H e. Mnd ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> x e. S )
7 simpll2 
 |-  ( ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ H e. Mnd ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> S C_ B )
8 4 1 ressbas2 
 |-  ( S C_ B -> S = ( Base ` H ) )
9 7 8 syl 
 |-  ( ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ H e. Mnd ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> S = ( Base ` H ) )
10 6 9 eleqtrd 
 |-  ( ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ H e. Mnd ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> x e. ( Base ` H ) )
11 simprr 
 |-  ( ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ H e. Mnd ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> y e. S )
12 11 9 eleqtrd 
 |-  ( ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ H e. Mnd ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> y e. ( Base ` H ) )
13 eqid 
 |-  ( Base ` H ) = ( Base ` H )
14 eqid 
 |-  ( +g ` H ) = ( +g ` H )
15 13 14 mndcl 
 |-  ( ( H e. Mnd /\ x e. ( Base ` H ) /\ y e. ( Base ` H ) ) -> ( x ( +g ` H ) y ) e. ( Base ` H ) )
16 5 10 12 15 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ H e. Mnd ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x ( +g ` H ) y ) e. ( Base ` H ) )
17 1 fvexi 
 |-  B e. _V
18 17 ssex 
 |-  ( S C_ B -> S e. _V )
19 18 3ad2ant2 
 |-  ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) -> S e. _V )
20 4 2 ressplusg 
 |-  ( S e. _V -> .+ = ( +g ` H ) )
21 19 20 syl 
 |-  ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) -> .+ = ( +g ` H ) )
22 21 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ H e. Mnd ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> .+ = ( +g ` H ) )
23 22 oveqd 
 |-  ( ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ H e. Mnd ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( x ( +g ` H ) y ) )
24 16 23 9 3eltr4d 
 |-  ( ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ H e. Mnd ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
25 24 ralrimivva 
 |-  ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ H e. Mnd ) -> A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S )
26 simpl2 
 |-  ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) -> S C_ B )
27 26 8 syl 
 |-  ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) -> S = ( Base ` H ) )
28 21 adantr 
 |-  ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) -> .+ = ( +g ` H ) )
29 ovrspc2v 
 |-  ( ( ( u e. S /\ v e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) -> ( u .+ v ) e. S )
30 29 ancoms 
 |-  ( ( A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( u e. S /\ v e. S ) ) -> ( u .+ v ) e. S )
31 30 3impb 
 |-  ( ( A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ u e. S /\ v e. S ) -> ( u .+ v ) e. S )
32 31 3adant1l 
 |-  ( ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) /\ u e. S /\ v e. S ) -> ( u .+ v ) e. S )
33 simpl1 
 |-  ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) -> G e. Mnd )
34 26 sseld 
 |-  ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) -> ( u e. S -> u e. B ) )
35 26 sseld 
 |-  ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) -> ( v e. S -> v e. B ) )
36 26 sseld 
 |-  ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) -> ( w e. S -> w e. B ) )
37 34 35 36 3anim123d 
 |-  ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) -> ( ( u e. S /\ v e. S /\ w e. S ) -> ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) )
38 37 imp 
 |-  ( ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) /\ ( u e. S /\ v e. S /\ w e. S ) ) -> ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) )
39 1 2 mndass 
 |-  ( ( G e. Mnd /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u .+ v ) .+ w ) = ( u .+ ( v .+ w ) ) )
40 33 38 39 syl2an2r 
 |-  ( ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) /\ ( u e. S /\ v e. S /\ w e. S ) ) -> ( ( u .+ v ) .+ w ) = ( u .+ ( v .+ w ) ) )
41 simpl3 
 |-  ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) -> .0. e. S )
42 26 sselda 
 |-  ( ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) /\ u e. S ) -> u e. B )
43 1 2 3 mndlid 
 |-  ( ( G e. Mnd /\ u e. B ) -> ( .0. .+ u ) = u )
44 33 42 43 syl2an2r 
 |-  ( ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) /\ u e. S ) -> ( .0. .+ u ) = u )
45 1 2 3 mndrid 
 |-  ( ( G e. Mnd /\ u e. B ) -> ( u .+ .0. ) = u )
46 33 42 45 syl2an2r 
 |-  ( ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) /\ u e. S ) -> ( u .+ .0. ) = u )
47 27 28 32 40 41 44 46 ismndd 
 |-  ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) -> H e. Mnd )
48 25 47 impbida 
 |-  ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) -> ( H e. Mnd <-> A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) )