Theorem istendod

Description: Deduce the predicate "is a trace-preserving endomorphism". (Contributed by NM, 9-Jun-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	tendoset.l	|- .<_ = ( le ` K )
	tendoset.h	|- H = ( LHyp ` K )
	tendoset.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
	tendoset.r	|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
	tendoset.e	|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
	istendod.1	|- ( ph -> ( K e. V /\ W e. H ) )
	istendod.2	|- ( ph -> S : T --> T )
	istendod.3	|- ( ( ph /\ f e. T /\ g e. T ) -> ( S ` ( f o. g ) ) = ( ( S ` f ) o. ( S ` g ) ) )
	istendod.4	|- ( ( ph /\ f e. T ) -> ( R ` ( S ` f ) ) .<_ ( R ` f ) )
Assertion	istendod	|- ( ph -> S e. E )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tendoset.l	|- .<_ = ( le ` K )
2		tendoset.h	|- H = ( LHyp ` K )
3		tendoset.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
4		tendoset.r	|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
5		tendoset.e	|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
6		istendod.1	|- ( ph -> ( K e. V /\ W e. H ) )
7		istendod.2	|- ( ph -> S : T --> T )
8		istendod.3	|- ( ( ph /\ f e. T /\ g e. T ) -> ( S ` ( f o. g ) ) = ( ( S ` f ) o. ( S ` g ) ) )
9		istendod.4	|- ( ( ph /\ f e. T ) -> ( R ` ( S ` f ) ) .<_ ( R ` f ) )
10	8	3expb	|- ( ( ph /\ ( f e. T /\ g e. T ) ) -> ( S ` ( f o. g ) ) = ( ( S ` f ) o. ( S ` g ) ) )
11	10	ralrimivva	|- ( ph -> A. f e. T A. g e. T ( S ` ( f o. g ) ) = ( ( S ` f ) o. ( S ` g ) ) )
12	9	ralrimiva	|- ( ph -> A. f e. T ( R ` ( S ` f ) ) .<_ ( R ` f ) )
13	1 2 3 4 5	istendo	|- ( ( K e. V /\ W e. H ) -> ( S e. E <-> ( S : T --> T /\ A. f e. T A. g e. T ( S ` ( f o. g ) ) = ( ( S ` f ) o. ( S ` g ) ) /\ A. f e. T ( R ` ( S ` f ) ) .<_ ( R ` f ) ) ) )
14	6 13	syl	|- ( ph -> ( S e. E <-> ( S : T --> T /\ A. f e. T A. g e. T ( S ` ( f o. g ) ) = ( ( S ` f ) o. ( S ` g ) ) /\ A. f e. T ( R ` ( S ` f ) ) .<_ ( R ` f ) ) ) )
15	7 11 12 14	mpbir3and	|- ( ph -> S e. E )